2023年行列式定义性质与计算（教学课件）.ppt

线性代数 下页 结束 返回 线 性 代 数 下页 任课教师任课教师：梁颖 部部 门：信息学院门：信息学院 办公室：文理大楼办公室：文理大楼720室室 电电 话：话：13012749681 E-mail：liangyingsdau.edu 线性代数 下页 结束 返回 乔布斯说：对一千件事情说不。“我对做过的事情感到自豪，但对决定不做的事情同样感到自豪。15岁觉得游泳难，放弃游泳，到18岁遇到一个你喜欢的人约你去游泳，你只好说“我不会耶。18岁觉得英文难，放弃英文，28岁出现一个很棒但要会英文的工作，你只好说“我不会耶。人生前期越嫌麻烦，越懒得学，后来就越可能错过让你动心的人和事，错过新风景。【康永，给残酷社会的善意短信】线性代数 下页 结束 返回 学习是一个渐进和螺旋式上升的过程 线性代数 下页 结束 返回 一一、研究对象研究对象 二二、核心方法核心方法 下页 以行列式以行列式、矩阵为工具矩阵为工具，以讨论线性方程组的解为根底以讨论线性方程组的解为根底，研究线性研究线性空间的结构空间的结构、线性变换的形式线性变换的形式.?线性代数?研究对象与逻辑结构概述 通过通过初等变换初等变换，将方程组化为最简形式的同解方程组求解将方程组化为最简形式的同解方程组求解.主要流程为：主要流程为：方程组方程组 行最简形矩阵行最简形矩阵 方程组的解方程组的解 初等行变换初等行变换 矩阵矩阵 线性代数 下页 结束 返回 三三、逻辑结构逻辑结构 下页 方程组有解？方程组有解？是唯一解？是唯一解？无解，停无解，停 求唯一解，停求唯一解，停 求通解，停求通解，停 Y N Y N 例例1,0043214321xxxxxxxx,10021321321xxxxxxxx显然，此方程组无解显然，此方程组无解.例例2 显然，此方程组有无穷多解显然，此方程组有无穷多解.例例4 此方程组如何求解此方程组如何求解？例例3,132121xxxx显然，此方程组有唯一解显然，此方程组有唯一解.a11x1a12x2 a1nxn b1 a21x1a22x2 a2nxn b2 am1x1am2x2 amnxnbm ，线性代数 下页 结束 返回 下页 附：附：关于关于作业作业和和作业纸作业纸问题问题 1统一要求使用专用的作业纸；作业纸缺乏者统一要求使用专用的作业纸；作业纸缺乏者，可联可联 合购置使用合购置使用，由课代表负责办理；由课代表负责办理；2作业由课代表同学收齐后作业由课代表同学收齐后，于下周周一课前交给于下周周一课前交给 任课老师任课老师，并注意以下问题：并注意以下问题：作业首页上写清楚个人的学号；作业首页上写清楚个人的学号；课代表同学负责：课代表同学负责：将每个同学的作业的左上角将每个同学的作业的左上角 用订书机订好用订书机订好建议用班费为课代表配订书机建议用班费为课代表配订书机，也可同也可同一专业合买一个订书机一专业合买一个订书机；将收齐后的作业按从小到将收齐后的作业按从小到大的学号顺序排序大的学号顺序排序.四四、根本要求根本要求 理解内在逻辑理解内在逻辑，掌握运算技能；记录分析思路掌握运算技能；记录分析思路，及时完成作业及时完成作业.线性代数 下页 结束 返回 2 2 行列式的性质与计算行列式的性质与计算 下页 1 1 行列式的概念行列式的概念 第第1 1章章 行列式行列式 3 3 克莱姆法那么克莱姆法那么 2.1 行列式的性质行列式的性质 2.2 行列式按行列展开法那么行列式按行列展开法那么 线性代数 下页 结束 返回 本章要求本章要求 1理解行列式的概念理解行列式的概念，掌握行列式的性质；掌握行列式的性质；2会应用行列式的性质和行列式按行会应用行列式的性质和行列式按行列列 展开定理计算行列式；展开定理计算行列式；3会用克莱姆法那么解低阶线性方程组会用克莱姆法那么解低阶线性方程组.本章重点本章重点 计算计算行列式行列式 下页 第第1 1章章 行列式行列式 线性代数 下页 结束 返回 第第1 1章章 行列式行列式 1.1 1.1 二三阶行列式二三阶行列式 考虑用消元法解二元一次方程组考虑用消元法解二元一次方程组 (a11a22 a12a21)x2 a11b2 b1a21 22221211212111bxaxabxaxa，(a11a22 a12a21)x1 b1a22 a12b2 第第1 1节节 行列式的概念行列式的概念 用用a22和和a12分别乘以两个方程的两端分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减然后两个方程相减，消去消去x2得得 同理同理，消去消去x1得得 021122211 aaaa当当 时，方程组的解为方程组的解为 211222112121221aaaababax1 1 22 1 121 1 2 21 2 2 1,ab abxaaaa下页 二阶行列式二阶行列式 线性代数 下页 结束 返回 021122211 aaaa当当 时时，方程组的解为方程组的解为 211222112121221aaaababax1 1 22 1 121 1 2 21 2 2 1,ab abxaaaa为便于表达和记忆为便于表达和记忆，引入符号引入符号 1 11 22 12 2aaaa21122211aaaaD=D1=11 222 2baba212122baba 称称D为为二阶行列式二阶行列式.按照二阶行列式定义可得按照二阶行列式定义可得 D2=1 112 12abab121211baba 于是于是，当当D0 0时时，方程组的解为方程组的解为 .,2211DDxDDx下页 线性代数 下页 结束 返回 j=1，2，3 111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 0jjDDxD，333231232221131211aaaaaaaaaD 类似引入符号 其中D1,D2,D3分别为将D的第1、2、3列列换为常数项常数项后得到的行列式.下页 三阶行列式三阶行列式 求解三元方程组 称D为三阶行列式三阶行列式.1 12 23 31 22 33 11 32 13 21 32 23 11 22 13 31 12 33 2aaa aaa aaaaaa aaa aaa当 线性代数 下页 结束 返回 21543 是一个是一个5级排列级排列.如如，3421 是是4级排列；级排列；例例1写出所有的写出所有的3级排列级排列.解：解：所有的所有的3级排列为级排列为：321.312，231，213，132，123，1.2 1.2 排列排列 定义定义1 n 个自然数个自然数1,2,n 按一定的次序排成的一个无重复数字按一定的次序排成的一个无重复数字的有序数组称为一个的有序数组称为一个 n 级排列级排列，记为记为i1i2in.显然显然，n 级排列共级排列共有有n!个个.其中其中，排列排列12n称为称为自然排列自然排列.下页 线性代数 下页 结束 返回 3 4 2 1 逆序数的计算方法逆序数的计算方法(向前看法向前看法)4 3 2 1 从而得从而得(3421)55.5 逆序及逆序数逆序及逆序数 定义定义2 2 在一个在一个n n 级排列级排列i i1 1i i2 2 inin中中，假设一个较大的假设一个较大的数排在一个数排在一个 较小数的前面较小数的前面，那么称这两个数构成一个逆序那么称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的一个排列中逆序的总总 数数，称为这个排列的逆序数称为这个排列的逆序数，记为记为(i(i1 1i i2 2 in)in).下页 线性代数 下页 结束 返回 奇排列与偶排列奇排列与偶排列 逆序及逆序数逆序及逆序数 逆序数是奇数的排列逆序数是奇数的排列，称为奇排列称为奇排列.逆序数是偶数或逆序数是偶数或0的排列的排列，称为偶排列称为偶排列.如如 3421是奇排列，是奇排列，1234是偶排列是偶排列，因为因为(3421)55.因为因为(1234)00.下页 定义定义2 2 在一个在一个n n 级排列级排列i i1 1i i2 2 inin中中，假设一个较大的假设一个较大的数排在一个数排在一个 较小数的前面较小数的前面，那么称这两个数构成一个逆序那么称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的一个排列中逆序的总总 数数，称为这个排列的逆序数称为这个排列的逆序数，记为记为(i(i1 1i i2 2 in)in).线性代数 下页 结束 返回 在一个级排列中，仅将其中两个数字对调而其余数字不动，这样一次对调称为一个对换.假设将排列中两个相邻的数字对换，那么称为相邻对换，简称邻换.定理1 对换改变排列的奇偶性.也就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列.线性代数 下页 结束 返回 定义定义4 符号符号 nnnnnnaaaaaaaaa 212222111211称为称为n阶行列式阶行列式，它表示代数和它表示代数和 其中和式中的排列其中和式中的排列 j1 j2 jn要取遍所有要取遍所有n级排列级排列.元素元素ai j 列标 行标 1.3 1.3 n 阶行列式阶行列式 nnjnjjjjjaaa.)1(212121).(下页 n 阶行列式定义阶行列式定义 2 2、3 3阶行列式的定义阶行列式的定义 线性代数 下页 结束 返回 a11 a21 an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann (1)n 阶行列式共有阶行列式共有n!项项.之前的符号是之前的符号是(2)在行列式中在行列式中,项项 nnjjjaaa 2121n 个元素的乘积个元素的乘积.是取自不同行不同列的是取自不同行不同列的 行列式有时简记为行列式有时简记为|a ij|.一阶行列式一阶行列式|a|就是就是a.=说明：说明：nnjnjjjjjaaa.)1(212121).(下页(3)项项 nnjjjaaa 21211 2(.)(1)nj jj线性代数 下页 结束 返回 在乘积在乘积 a14a23a31a44 a14a23a31a44 a14a23a31a42 a14a23a31a42 例如，四阶行列式例如，四阶行列式 a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44 (1)(4312)a14a23a31a42为为行列式中的一项行列式中的一项.表示的代数和中有表示的代数和中有4!24项项.a14a23a31a42取自不同行不同列取自不同行不同列,的列标排列为的列标排列为4312 所以它不是行列式中的一项所以它不是行列式中的一项.中有两个取自第四列的元素，中有两个取自第四列的元素，下页(为奇排列为奇排列)，线性代数 下页 结束 返回 a11 a21 an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann =nnjnjjjjjaaa.)1(212121).(下页 a11 a21 an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann =1 21 2(.)1 2(1).nni i ii iina aa 定义定义4 线性代数 下页 结束 返回 1 11 22 12 2aaaa2112)21(2211)12()1()1(aaaaD=行列式计算行列式计算 解：解：根据行列式定义根据行列式定义 21122211aaaa2112122110)1()1(aaaa例例1计算计算2 阶行列式阶行列式D=1 11 22 12 2aaaa注注：3 3阶行列式的计算类似阶行列式的计算类似，略略.下页 线性代数 下页 结束 返回 例例2计算计算 n 阶下三角形行列式阶下三角形行列式D的值的值 其中其中aii 0(i 1,2,n).D a11 a21 a31 an1 0 a22 a32 an2 0 0 a33 an3 0 0 0 ann 解：解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D (1)(1 2 n)a11a22a33 ann 第一行只能取第一行只能取a11，第三行只能取第三行只能取a33，第二行只能取第二行只能取a22，第第 n 行只能取行只能取ann.，这样这样不为零不为零的的乘积