2023年第二讲证明不等式的基本方法一（教学课件）.ppt

前面已经学习了一些证明不等式的方法，我们知前面已经学习了一些证明不等式的方法，我们知道，关于数的大小的基本事实、不等式的基本性质、道，关于数的大小的基本事实、不等式的基本性质、基本不等式以及绝对值不等式基本不等式以及绝对值不等式xa和和xa的解的解集的规律等，都可以作为证明不等式的依据集的规律等，都可以作为证明不等式的依据.下面，下面，我们来进一步学习体会证明不等式的基本方法我们来进一步学习体会证明不等式的基本方法.一一 问题的引入问题的引入 第二讲证明不等式的基本方法第二讲证明不等式的基本方法(一一)尝试尝试 1 1：作差比较作差比较，作差作差变形变形定符号定符号 根据根据 ab0ab，欲证，欲证 ab只需证只需证 ab0.证明：证明：3322()()aba bab =22()()aabbab=22()()abab=2()()ab ab,a b是正数，且是正数，且ab,0a b,2()ab 0 0 3322()()aba bab0,3322aba bab 注：注：比较法比较法是证明不等式的基本方法，也是是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法最重要的方法,另外，另外，有时有时还还可可作商比较作商比较 思考思考：已知已知a b,是正数，且是正数，且ab，求证：，求证：aba bab3322 二二 新知学习新知学习 尝试尝试 2 2：转化尝试，转化尝试，就是就是不断寻找并简化不断寻找并简化欲证不等式成欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止为止.其逻辑关系是：其逻辑关系是：12nBBBBA.思考思考：已知已知a b,是正数，且是正数，且ab，求证：，求证：aba bab3322 证明：证明：0,0,abab且且 要证要证3322aba b ab,只要证只要证22()()()a b aab bab a b,只要证只要证22aabbab,只要证只要证2220aabb.0ab,2()0ab即即2220aabb得证得证.注：注：分析法分析法的思维特点是：的思维特点是：执果索因执果索因.对于思路不对于思路不明显明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外另外,不等式的基本性质告诉我们不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这可以对不等式做这样或那样的变形样或那样的变形,分析时贵在变形分析时贵在变形 尝试尝试 3 3:联想尝试联想尝试，就是由已知的不等式及题设条件就是由已知的不等式及题设条件出发出发产生产生联想联想,大胆尝试大胆尝试,巧巧用用已知不等式及已知不等式及不等不等式性质式性质做做适当变形适当变形，推导出要求证明的不等式推导出要求证明的不等式.其其逻辑关系是：逻辑关系是：12nABBBB.思考思考：已知已知a b,是正数，且是正数，且ab，求证：，求证：aba bab3322 证明：证明：0,0,abab且且 3222aaba b,3222bbaab,32322222aabbbaa bab,3322aba bab 注：注：综合综合法法的思维特点是：的思维特点是：执执因因索索果果.基本不等式以基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系样或那样的联系,作由此及彼的联想作由此及彼的联想往往能启发我们往往能启发我们证明的方向证明的方向.尝试时贵在联想尝试时贵在联想 证明不等式的常用的方法有证明不等式的常用的方法有:比较法、综合法、分析法比较法、综合法、分析法，它们各有其它们各有其优点优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应解题有法，但无定法，具体运用时，应该对具体问题的特点作具体分析，选择合适该对具体问题的特点作具体分析，选择合适的方法的方法.当问题比较复杂时当问题比较复杂时,通常用分析法寻通常用分析法寻找证明的思路找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个而用综合法来叙述、表达整个证明过程证明过程.1 1若实数若实数1x，求证：，求证：242 23(1)(1).xxxx 证明：证明：24223(1)(1)xxxx =2424233331222xxxxxxx =432(1)xxx =222(1)(1)xxx =22132(1)().24xx 22131,(1)0,()0,24xxx且且 22132(1)()0,24xx242 23(1)(1).xxxx 2 2.已知已知1a ,1b ,求证求证:1abab 证明证明:要证要证:1abab,只要证只要证221abab 即即2222122aba baabb,只要证只要证22221a bab,只要证只要证222210a bab,只要证只要证22(1)(1)0ab 1a ,1b 21a ,21b 2210,10ab 22(1)(1)0ab,1abab 3非负实数非负实数 x1、x2，且，且 x1+x21，求证求证：12121111xxxx 证明：证明：12120,0,1,xxxx 121210,10,10 xxxx 要证要证12121111xxxx，只要只要证证221212(11)(11)xxxx 即证：即证：12121 2121222 122 1xxxxx xxxxx 只要证：只要证：120 x x 120 x x 成立，故原不等式也成立。成立，故原不等式也成立。1 2,naa a R1 21naa a 12(1)(1)(1)2nna aa 4,且且 求证求证:1 1 2212,12,12证明nnaaaa aa 121 2(1)(1)(1)2.nnnaa a a a a 1 21na a a12(1)(1)(1)2nna a a 5.a,b,c都为正数，且都为正数，且a+b+c=1，求证求证:414141 2 1abc .2 4141 41 412 4141 41 412 4141 41 41ababbcbccaca (4 1 4 1 4 14 1 4 1 4 1)2 12)3(abcabc 证明证明 414141 2 1abc