2023年矩阵的秩（教学课件）.ppt

第三节第三节 矩阵的秩矩阵的秩 一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念 二、初等变换求矩阵的秩二、初等变换求矩阵的秩 三、矩阵秩的性质三、矩阵秩的性质 矩阵的初等变换和线性方程组 四、小结四、小结 思考题思考题 返回返回 上页上页 下页下页 定义定义1 在在 mn 矩阵矩阵 A 中任取中任取 k 行和行和 k 列列(k m,k n)，由交点上的由交点上的 k2 个元素按照原顺序排成的个元素按照原顺序排成的 k 阶行列式，阶行列式，称为矩阵称为矩阵 A 的的 k 阶阶子行列式子行列式(简称简称 k 阶阶子式子式).一一、矩阵秩的概念、矩阵秩的概念 当一个当一个 k 阶子式等于零时，称为阶子式等于零时，称为 k 阶阶零子式零子式.mn 矩阵矩阵 A 的的 k 阶子式共有阶子式共有 个个.knkmCC (否那么称为非零子式否那么称为非零子式)返回返回 上页上页 下页下页 如果矩阵如果矩阵 A 中至少有一个中至少有一个 r 阶非零子式，阶非零子式，那么矩阵那么矩阵 A 的非零子式的最高阶数为的非零子式的最高阶数为 r.这是因为，根据行列式展开定理，由所有这是因为，根据行列式展开定理，由所有 r+1 阶子阶子式都等于零，可推出所有更高阶的子式都等于零式都等于零，可推出所有更高阶的子式都等于零.定义定义2 如果矩阵如果矩阵 A 的非零子式的最高阶数为的非零子式的最高阶数为 r，那，那么数么数 r 称为矩阵称为矩阵 A 的秩，的秩，记作记作:秩秩(A)、rank(A)或或 R(A)并且所有并且所有 r+1 阶子式阶子式(如果有的话如果有的话)都等于零，都等于零，返回返回 上页上页 下页下页 规定规定:零矩阵的秩等于零，即零矩阵的秩等于零，即 .0)(OR设设 A 为为 mn 阶矩阵，显然有阶矩阵，显然有),min()(0nmAR)()(TARAR 对于矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形，矩阵对于矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形，矩阵的秩等于非零行的行数的秩等于非零行的行数.这是因为：行列式与其转置行列式相等，从而这是因为：行列式与其转置行列式相等，从而A和和AT 中的子式对应相等中的子式对应相等.返回返回 上页上页 下页下页 例如，设例如，设，00000000003260042321A有有 2 个非零行个非零行.(1)任意的任意的 3 阶子式必含有一个全零行，阶子式必含有一个全零行，(2)取非零行所在行、非零行的首个非零元所在列，取非零行所在行、非零行的首个非零元所在列，因此，非零子式的最高阶为因此，非零子式的最高阶为 2，.2)(AR(此论证可推广至任意的行阶梯形、行最简形、标准形此论证可推广至任意的行阶梯形、行最简形、标准形)因此，所因此，所 所有的所有的 3 阶子式都等于阶子式都等于 0；交点上的交点上的 22 个元素个元素必必构成一个构成一个 2 阶非零子式阶非零子式.返回返回 上页上页 下页下页 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵(其其 n 阶子式只有一个阶子式只有一个 )，AnAR )(可逆矩阵又称可逆矩阵又称满秩矩阵满秩矩阵；不可逆矩阵又称不可逆矩阵又称降秩矩阵降秩矩阵.非零子式的最高阶数非零子式的最高阶数 n 有有 n 阶非零子式阶非零子式(最高阶的子式最高阶的子式)nAR )(若若 0 A (即即 A 可逆可逆)(即即 A不可逆不可逆)0 A若若 返回返回 上页上页 下页下页 对于对于 n 阶方阵阶方阵 A，以下条件等价，以下条件等价(即互为充要条件即互为充要条件)：A是可逆矩阵是可逆矩阵 A是非奇异矩阵是非奇异矩阵 A是满秩矩阵是满秩矩阵 0 A nAR )(A A可表示为假设干初等矩阵的乘积可表示为假设干初等矩阵的乘积 A E r 关于可逆矩阵的阶段小结关于可逆矩阵的阶段小结 返回返回 上页上页 下页下页 对于对于 n 阶方阵阶方阵 A，以下条件等价：，以下条件等价：A是不可逆矩阵是不可逆矩阵 A是奇异矩阵是奇异矩阵 A是降秩矩阵是降秩矩阵 0 A nAR )(A A不能表示为假设干初等矩阵的乘积不能表示为假设干初等矩阵的乘积 A 不能通过初等行变换化为不能通过初等行变换化为 E 该命题的逆否命题是该命题的逆否命题是 返回返回 上页上页 下页下页 二二、初等变换求矩阵的秩、初等变换求矩阵的秩 设设 A 是任意一个是任意一个 mn 矩阵，矩阵，A 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 有限次初等有限次初等行行变换变换【问题问题】对矩阵作初等变换，是否会改变矩阵的秩？对矩阵作初等变换，是否会改变矩阵的秩？定理定理 初等行、列变换不改变矩阵的秩，初等行、列变换不改变矩阵的秩，即：假设即：假设 AB，那么，那么 R(A)=R(B)(证明略，参见课本证明略，参见课本 p.68)返回返回 上页上页 下页下页 初等变换求矩阵初等变换求矩阵 A 的秩的方法如下：的秩的方法如下：A 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 初等变换初等变换 秩秩(A)=行阶梯形矩阵中非零行的行数行阶梯形矩阵中非零行的行数.例例 1 1 设设 41461351021632305023A求矩阵求矩阵 A 的秩，并求出一个最高阶非零子式的秩，并求出一个最高阶非零子式.说明说明 求矩阵的秩的过程中，求矩阵的秩的过程中，行、列变换行、列变换可兼用，但可兼用，但多用行变换把矩阵化为行阶梯形多用行变换把矩阵化为行阶梯形.返回返回 上页上页 下页下页 解解 对对 A 作初等行变换，将其化为行阶梯形作初等行变换，将其化为行阶梯形.41461351021632305023ArB 00000840001134041461 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 B 有三个非零行，故有三个非零行，故.3)()(BRARA 的非零子式的最高阶数是的非零子式的最高阶数是 3，下面求一个，下面求一个 3 阶非阶非零子式零子式.注意注意 行阶梯形矩阵的形式不是唯一的，与具体行阶梯形矩阵的形式不是唯一的，与具体的变换步骤有关，但非零行的行数是唯一确定的的变换步骤有关，但非零行的行数是唯一确定的.返回返回 上页上页 下页下页 在行阶梯形矩阵在行阶梯形矩阵 B 中，中，三个非零行的首个非零元所三个非零行的首个非零元所在列分别为：第在列分别为：第 1、2、4 列列.在在 A 和和 B 中分别取第中分别取第1、2、4列，构成矩阵列，构成矩阵 A1和和B1，1615026235231A 000400140161 1B故故 A1至少有至少有 一个一个 3 阶非零子式阶非零子式.3)()(11BRAR有有 显然，采用和显然，采用和 完全相同的初等行变换的步骤，完全相同的初等行变换的步骤，r BA r 11 BA返回返回 上页上页 下页下页 A1总共有总共有 个个 3 阶子式，阶子式，计算其前三行构成的子式：计算其前三行构成的子式：43334 CC502623523.016这个子式便是这个子式便是 A1的一个的一个 3 阶非零子式，阶非零子式，同时也是同时也是 A 的一个的一个 3 阶非零子式阶非零子式.返回返回 上页上页 下页下页,6063324208421221 A 4321b例例 2 2 设设 求矩阵求矩阵 A 以及以及(A,b)的秩的秩.分析分析),(),(dCbAr 其中其中 C 就是就是 A 的行阶梯形矩阵的行阶梯形矩阵.故，从故，从(C,d)中可同时看出中可同时看出 R(A)和和 R(A,b).构造矩阵构造矩阵(A,b)，再化为行阶梯形矩阵再化为行阶梯形矩阵(C,d)，返回返回 上页上页 下页下页 解解 46063332422084211221),(bA 00000100000120011221r.3),(,2)(bARAR返回返回 上页上页 下页下页 三三、矩阵秩的性质、矩阵秩的性质 前面已提出了矩阵秩的一些根本性质，归纳起来有前面已提出了矩阵秩的一些根本性质，归纳起来有 性质性质 1 nmAR,min)(0性质性质 2 )()(TARAR 性质性质 3 假设假设 AB，那么，那么 R(A)=R(B)下面进一步介绍几个常用的性质下面进一步介绍几个常用的性质.返回返回 上页上页 下页下页 性质性质 4 假设假设 P,Q可逆，那么可逆，那么 R(PAQ)=R(PA)=R(AQ)=R(A)证证 P,Q可逆可逆 P,Q可表示为假设干初等矩阵的乘积可表示为假设干初等矩阵的乘积 又，初等变换不改变矩阵的秩，又，初等变换不改变矩阵的秩，故结论成立故结论成立.返回返回 上页上页 下页下页 性质性质 5 证证 A 的最高阶非零子式肯定是的最高阶非零子式肯定是(A,B)的非零子式，的非零子式，)()(),()(),(maxBRARBARBRAR(但不一定是最高阶非零子式但不一定是最高阶非零子式)故故),()(BARAR同理，同理，),()(BARBR结合以上两式，有结合以上两式，有),()(),(maxBARBRAR 那么那么 C 和和 D 中分别含有中分别含有 r 个和个和 s 个非零列个非零列.设设R(A)=r,R(B)=s.A 列阶梯形列阶梯形 C 初等列变换初等列变换 B 列阶梯形列阶梯形 D 初等列变换初等列变换 从而从而 ,),(),(DCBAc返回返回 上页上页 下页下页 故可设故可设 OOCAr1 (C,D)中有中有 r+s 个非零列，个非零列，)()(),(BRARBARsrDCRBAR),(),(即即 OODBs 1 进一步把进一步把(C,D)化为列阶梯形，化为列阶梯形，非零列的数目不会超过非零列的数目不会超过 r+s.)()()(),(maxBRARBARBRAR 返回返回 上页上页 下页下页 利用性质利用性质 2 和性质和性质 5，可进一步证明，可进一步证明 证证 TTBARBAR,)()(),()(),(maxTTTTTTBRARBARBRAR根据性质根据性质 5，)()()(),(maxBRARBARBRAR 根据性质根据性质 2，其中，其中)()(TBRBR )()(TARAR 于是于是 返回返回 上页上页 下页下页 性质性质 6 证证 设设 A,B 皆为皆为 mn 矩阵，矩阵，)()()(BRARBAR),(BBA),(BBA 构造分块矩阵构造分块矩阵 .nnnEEE),(BA(分块初等矩阵，可逆分块初等矩阵，可逆)因此因此 即，将即，将(A+B,B)的第二列子块的第二列子块右乘右乘(En)加至加至第一列子块第一列子块.),(),(BARBBAR于是于是),(),(BARBBAR即即)()()(BRARBAR)()(BRAR)(BAR返回返回 上页上页 下页下页 性质性质 7 证证 设设 A为为 mn 矩阵，矩阵，B 为为 ns 矩阵矩阵)(),(min)(BRARABR),(ABA构造分块矩阵构造分块矩阵 .),(ABA snEBE),(OA 即，将即，将(A,AB)的第一列子块的第一列子块右乘右乘(B)加至第加至第二列子块二列子块.于是于是),(),(OARABAR即即)()(ARABR)(AR )(ABR构造分块矩阵构造分块矩阵 .mnEAE即，将即，将 的第一行子块的第一行子块左乘左乘(A)加至第二行加至第二行.因此因此 OBRABBR)()(BRABR)(BR 即即 ABB ABB OB ABB)(ABR返回返回 上页上页 下页下页 将两式结合，有将两式结合，有 )()(ARABR)()(BRABR )()(BRABR)(),(min)(BRARABR 由于由于 返回返回 上页上页 下页下页 性质性质 8 此外，利用下一章的知识，还可证明：此外，利用下一章的知识，还可证明：假设假设 AmnBns=Oms，那么那么 nBRAR)()(n 为为 A 的列数或的列数或 B 的行数的行数)返回返回 上页上页 下页下页 例例 3 3 设设 A 为为 n 阶方阵，证明阶方阵，证明 证证 nEAREAR)()(EAEEA2)()()2()()(ERAEREARn其中其中)()(EARAER故故 nEAREAR)()(返回返回 上页上页 下页下页 初等变换法初等变换法 1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念 2.求矩阵秩的