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2023年届新课标高中数学理第一轮总复习第 第讲 基本不等式及其应用(教学课件).ppt
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2023年届新课标高中数学理第一轮总复习第 第讲 基本不等式及其应用教学课件 2023 年届 新课 标高 学理 第一轮 复习 基本 不等式 及其 应用 教学 课件
第第4141讲讲 311.1.1xyxx若,则的最小值是 211111111211 31111213.xyxxxxxxxxyxx 因为,所以,当且仅当,解析即时,等号成立所以的最小值是:4 11 l g l g 42l gl.gxyx yx y 已知,且,则的最大值是211lg0lg0lglg()42100lglg4.xyxylgxlgyxyxyxy因 为,所 以,所 以,当 且 仅 当取“”,所 以的 最解大 值 是析:3.2 3 3.abab ab若实数、满足,则 的最小值是623 3 233236.aba babab 因为,所以解释:62 302.40.xyx yx y 已 知 ,且,则的 最 小值 是 2 362 322(1)6(23)x yxyxyxyxy 因 为,当 且 仅 当时 取 等 号所 以当 且 仅 当,时析:取 等 号解4).1(.59ax yxx yya 已 知 不 等 式对 任 意 正 实 数,恒 成 立,则 正 实 数 的 最 小 值 为 21()1121()9912(1)134.4.axyxyaaxyyxaaaxyxyaaaaaa 因为,且,所以,所以,即所以 的最小析值为解:利用根本不等式利用根本不等式的转化求最值的转化求最值【例1】x0,y0,且2x8yxy0,求xy的最小值及此时x、y的值 8228018282()()1 0+821 0+2=1 88228211 26.1 261 8.xyx yxyyxxyxyxyxyyxxyyxxyxyyxxyxyxyxy因 为,所 以,所 以当 且 仅 当,即时,等 号 成 立 又,所 以,故 当,时,的 最【小 值 是解 析】此题是一个二元条件最值问题,看似平淡,但思想方法深刻、解法灵活多样,本解法是其中之一对于xy与xy在同一等式中出现的问题往往可以利用根本不等式“将它们联系起来进行放缩,以此来求取值范围是非常有效的 2xyxy52(1)1xxyxx 求 函 数【变的式 练 习 1】最 大 值 104145402 4=44 5 12123 1.xttttyttttttytxx 令,则,则 ,因为,所以,所以 ,当且仅当,即,时取,故函数的最大【解值为析】注意根本不等式注意根本不等式的适用条件的适用条件 224sin2.sinyxx【求】的 最 小 值例222222222222222222224131sinsinsinsinsin1sinsin1sin11sin2sin2sinsin1sin1sin2.sin33sin133.sinsin4sin5.sinyxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxx方 法:,当,即时,可 以 取 等 号,即 当 时,的 最 小 值 是又 当 时,即的 最 小 值 是所 以 函 数 的 最【】小 值 是解 析2222m in42s in01441.011040,1415.3s in01.40,215.txtyttytyttytttytttxtyttty方 法:令,则,所 以当时,即在上 是 减 函 数,所 以 当时,的 最 小 值 是方 法:令,则因 为 函 数在上 是 减 函 数,所 以,当时,22222“2”44sin2sin4sinsin4sin2xyxyyxxyxxx 本 题 是 利 用 基 本 不 等 式 求 函 数 的 最 值 问 题 用 基 本 不 等 式时,要 注 意 正、定、等 三 要 素 缺 一 不 可!下 面 的 解 法 太 有 诱 惑 力 了:,因 此 的 最小 值 是,为 什 么 不 对 呢?因 为 等 号 只 有 在 才 能 取 到,而 这 是 不 可 能 的!这 类 问 题 用 导数 方 法 求 解 是 非 常 有 效 的 2212212122bcRfxxxxbxcgxxfx已 知、,在 区 间,上,函 数 与 函 数在 同一 点 取 得 相 同 的 最 小 值,求在 区 间【变,上 的式 练 习】最 大 值 22221111213113.4()()24xxgxxxxxxxxxgxfxgxbcbfxxb xcx因 为,当 且 仅 当,即时,“”成 立,即的 最 小 值 为【因 为与在 同 一 点 处 取 得 相 同 最 小值,而的 图 象 是 开 口 向 上 的解 析】抛 物 线,22112 2124234.41(1)3.2 224.fxbcbbcfxxxxfx且,所 以只 能 在 顶 点 处 取 得 最 小 值,所 以,即 时,所 以所 以又,所 以 当时,的 最 大 值 为利用根本不等式利用根本不等式解实际问题解实际问题【例3】某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?*2()0.20.20.20.220.20.21 00.91 00.121 01 01213(101 01 0)103.10 x xyxxxxxxxxyxxxxxxxxyN设 使 用年 的 年 平 均 费 用 为万 元,由 已 知 条 件 可 知 年 维 修 费 构 成 一 个 以万 元 为 首项,万 元 为 公 差 的 等 差 数 列,因 此 使 用年 的 总维 修 费 用 为万 元,所 以,当 且 仅 当时取 等 号所 以 当时,取 最 小 值答:这 种 汽 车 使 用年 时,【解 析】年 平 均 费 用 最 小 解决应用题时,先要认真阅读题目,理解题意,处理好题目中的数量关系,选择适当的数学模型,将实际问题转化为数学问题,再用数学知识和方法加以解决 【变式练习3】2022年5月12日四川省汶川县发生了8.0级大地震,牵动了全国各地人民的心为了安置广阔灾民,抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状,房高2.5米),前后墙用2.5米高的彩色钢板,两侧用2.5米高的复合钢板,两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米,用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格),每米单价:彩色钢板为450元,复合钢板为200元 房顶用其他材料建造,每平方米材料费为200元每套房材料费控制在32000元以内,试计算:(1)设房前面墙的长为x,两侧墙的长为y,所用材料费为P,试用x,y表示P;(2)求简易房面积S的最大值是多少?并求S最大时,前面墙的长度应设计为多少米?124502200200900400200900400200.2320002009004002002 900400PxyxyxyxyPxyxySxyPPSxySS,即 依题意,且,则可得【解析】,22 0 01 2 0 03 2 0 0 0()61 6 0001 01 0 09 0 04 0 01 0 02 0.310 02 03SSPSSSSxyx yxSS得,即,得,当 且 仅 当,即时,取 最 大 值答:简 易 房 面 积的 最 大 值 为平 方 米,此 时 前 面 墙 的 长 度 应 设 计 为米 11.(3)3_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _y xxx函 数 的 值 域 是(,15,)13333231232354(15)yxxxyxxyx ,当时,当 时 取“”;当时,当 时 取“”,所 以 函 数 的 值 域 是,析】,【解2.假设log2xlog2y4,那么xy的最小值为 _.222logloglog4162848.xyxyxyx yxyx yx y因 为,所 以 ,所 以,当 且 仅 当时,“【”成 立 故的】最 小 值 为解 析8 6 223,7.3.af x xxxA 已 知 函 数的 图 象 过 点,则 此 函 数 的 最 小 值 是 223,7734.42022-24 22262646.afxxxxAaaxfxxxxxx 函 数的 图 象 过 点,所 以,所 以 因 为,所 以,当 且 仅 当时,等 号 成 立 故 此 函 数 的解最 小 值 是析:220041.1112loglog4.xyxyxyxy已知,且 求 的最小值;求的最大值 11111()(4)44525925941163119.xyxyxyyxyxxyxyyxxyxyxy因 为 ,当 且 仅 当,即,时 取 等 号 所 以的 最 小【解值 为析】22222222212 loglogloglog(4)41 41log()log4421611482loglog4.xyxyx yxyxyxyxy,当且仅当,即 ,时取等号所以的最大值为 422.4812213.45.xxfxfxxabf abb设函数求的最大值及此时的 的值;证明:对任意的实数、,恒有 4221 62148281 61 61 622884222222822322.2xxxxxxxxxfxxxfx【解,+当 且 仅 当.即时,的 最 大 值 为析】2222221923(3)3443()3322133.4122.223213.4bbbbbbbfxabfabb证明:因为,所以的最小值为由知,的最大值为而,所以对任意的实数、,恒有 本节内容是不等式的根底知识,主要从三个方面考查:一是利用根本不等式求两个正数的和的最小值,或积的最大值,或者将一个式子转化为可以利用根本不等式求最值的问题;二是利用根本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法等);三是将一个实际问题构造成函数模型,利用根本不等式来解决 12“”1 2 3 xyxyxyxy利用基本不等式时,要注意 正、定、等 三要素正,即,都是正数;定,即不等式另一边为定值;等,即当且仅当 时取 2sin0sinsin2222sin2sin22sinxyxxyxxxxx如:当时,虽然有,但并不是 的最小值,因为不可能成立又如:并不一定有,因为 的符号没有确定 22“”00121xyxyxyxyxy 利 用 基 本 不 等 式时,要 注 意 积 定 和 最 小,和 定 积 最 大 这 一口 诀,并 适 当 运 用 拆、拼、凑 等 技 巧 但 应 注 意,一 般 不 要 出 现 两 次 不 等 号 例 如:已 知,且 ,求的 最 小 值 10011216.22002213113216.xyxyxyxyxyxxyyxyxy方 法:因 为,且,所 以 当时,的 最 小 值 为方 法:因 为,由,得,所 以的 最 小 值 为3121212224 2214 2.xyxyxyxyxyxy方法:因为 ,所以,所以,所以 的最小值为123221221221xyxyxyxyxyxyxyxy三 种 方 法 似 乎 都 有 道 理,但 结 果 却 不 一 样,哪 一 种 对 呢?其 实 三 种 都 不 对 方 法、方 法都 是 误 用 了 等 号 成 立 的 条 件;方 法中,是 当 且 仅 当时 取“”,而是 当 且 仅 当时 取“”,与不 可 能 同 时 成 立,所 以 错 了 00121212()()323232222221121322.xyxyyxxyxyxyxyyxxyyxxxyyxyxy本 题 比 较 好 的 方 法 是:因 为,且 ,所 以 ,当 且 仅 当,即时,“”成 立,所 以的 最 小 值 为 2223122()2130242.xyxyxyxyxxxxyxyyx 记 住 下 列 结 论,对 解 题 是 有 帮 助 的:;当时,;当、同 号 时,40031_2_.ababa bababababab当两个正数、的和 与积出现在同一个式子中时,可以利用基本不等式互相转化来求取值范围如:已知,且 ,则;就可以这样来求:221323(3)(1)0.1099)23()2()4()12066)ababababababababababababababab因为 ,所以因为,所以,即,因为 ,所以,所以,所以,

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