第三十四讲根本不等式及其应用回归课本1.算术平均数如果a,b∈R+,那么叫做这两个正数的算术平均数.2.几何平均数如果a,b∈R+,那么叫做这两个正数的几何平均数.2abab3.重要不等式如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,取“=〞);均值定理:如果a,b∈R+,那么(当且仅当a=b时,取“=〞).均值定理可以表达为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.2abab≥22222222(1);(2);(3)2(0);22(4)4.a;(5)2()b.22.ababbaabababababababab变式形式≥≤≤上述不等式中等号成立的充要条为≤件均≤5.x、y都是正数,那么(1)假设x+y=S(和为定值),那么当x=y时,积xy取最大值(2)假设xy=P(积为定值),那么当x=y时,和x+y取得最小值即两个正数的和为定值,那么可求其积的最大值;积为定值,那么可求其和的最小值.应用此结论要注意三个条件;“一正二定三相等〞,即:①各项或各因式为正;②和或积为定值;③各项或各因式都能取得相等的值.21.4S2.P考点陪练1.函数y=log2x+logx2的值域是()A.(-∞,-2]B.[2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案:D2.x+3y=2,那么3x+27y的最小值为()答案:A3.6.39.22.4ABCD2223.:a12a;2;2;1.()A.0B.1C.2111D.3abxxabxx给出下列各式①②③④其中正确的≤个≥≥数是答案:C224.0a1,0b1,ab,.(.).2.2AabBabCabDab设且下列各式中值最大的是答案:B2222.2.2112.5.a0,b0,(.2)abABababbabaCabDababab≥≥≥设下列不等式中不成立的是≥3322222:A,B,Cababababab0abab0,C.Da0,0,2b12..bababaababab解析由且得所以成立显然成立可变形为≥≥≥≥所以成立中令时不成立答案:D类型一证明不等式解题准备:证明不等式是均值不等式的一个根本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点:(1)均值不等式成立的前提条件;(2)通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式;(3)注意“1〞的代换;(4)灵活变换根本不等式的形式并注意其变形式的运用.【典例1】证明:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).[分析]利用a2+b2≥2ab(a,b∈R)求证即可.[证明] a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc)...
