2023年导数的应用（教学课件）.ppt

第7次作业解答 习题 2-1(p82)4.()l i m2,()222(2)0()(2)2:l i ml i m222()(2)2fxfxxxxffxfxxxfxfx在处连续解 习题 2-1(p82)5.|11:21,122(1),121(1),3yxyxyxyxyxyx解 在点（，）的切线方程为即切线方程为即习题 2-1(p83)10.(2)12l i ms i n0,0()01(0)s i n()0:l i ml i m000()(0)0 xxxfxxfxxfxxxxfxfx在处连续在处可导.解 第 三节 二、质点的垂直运动模型二、质点的垂直运动模型 三、经济学中的导数三、经济学中的导数 一、瞬时变化率一、瞬时变化率 导数的应用 第二章 一、一、瞬时变化率瞬时变化率 例例1.圆面积A和其直径D的关系为 当D=10 时,面积关于直径的变化 率是多大？2,4AD解 面积关于直径的变化 率为 2,42101052101dADDdDD当时，圆面积的变化率为即当直径由米增加 米变为11米时，圆面积约增加了5平方米.二、质点的垂直运动模型 例例2.一质点以每秒50米的发射速度垂直射向空中，t 秒 后到达的高度为 25 0 5,st t（米）假设在此运动过程中重力 为唯一的作用力，试问：1该质点能到达的最大高度是多少？2该质点离地面120米的速度是多少？3该质点何时重新落回地面？解 22(5 0 5)1 0(5)(1)55 0 5 5 5 1 2 5tdvtttd ttvs 依 题 设，易 知 时 刻 的 速 度 为 当秒 时，变 为 0,此 时 质 点 达 到 最 大 高 度22(2)50 5120,4 6,1010(3)50 50,1010stttvvsttt令解 得或 故或令解 得即 该 质 点 秒 后 重 新 回 到 地 面.在经济学中,函数的导函数称为边际函数.设函数)(xfy可导,函数的增量与自变量增量的 比值 xxfxxfxy)()(00表示)(xf在),(00 xxx内的平均变化率(速度).根据导数的定义,导数)(0 xf 表示)(xf在点 0 xx 处的变化率,在经济学中,称其为)(xf在点 0 xx 处的边际函数值.当函数的自变量 x从 0 x改变一个单位(即)1 x时,函数的增量为)()1(00 xfxf三、经济学中的导数 当函数的自变量 x从 0 x改变一个单位(即)1 x时,函数的增量为)()1(00 xfxf但当 x改变的“单位”很小时,或 x的“一个单位”与 0 x值相对来比很小时,那么有近似式),()()1(000 xfxfxf 它说明:当自变量在 0 x处产生一个单位的改变时,函数)(xf的改变量可近似地用)(0 xf 来表示.经济学中,解释边际函数值的具体意义时,去“近似二字.在 通常略 例如,设函数,2xy 则,2 xy 边际函数值,20)10(y它表示当 10 x时,变一个单位,y(近似)改变20个单位.在点 10 x处的 x改 边际收入与边际利润 在估计产品销售量 x时,给产品所定的价格)(xP称为价格函数,可以期望)(xP应是 x的递减函数.于是 收入函数)()(xxPxR利润函数)()()(xCxRxL)(xC是成本函数)收入函数的导数)(xR 称为边际收入函数;利润函数的导数)(xL 称为边际利润函数.为求最大利润,令)(xL 0)()(xCxR)()(xCxR 但 0)(xL只是取极值的必要条件,根据极值的第 边际收入与边际利润 为求最大利润,令)(xL 0)()(xCxR)()(xCxR 但 0)(xL只是取极值的必要条件,根据极值的第 二判别法,为确保)(xL在此条件下达到最大,希望 还有.0)()()(xCxRxL故有如下结论:当)()(xCxR 且)()(xCxR 时,利润到达最 大值.例3 设某产品的需求函数为,1001000Px求量 300 x时的总收入,平均收入和边际收入.解 销售 x件价格为 P的产品收入为,)(xPxR 由需求函数 Px1001000 xP01.010代入得总收入函数.01.010)01.010()(2xxxxxR 平均收入函数为.01.010)()(xxxRxR边际收入函数为.02.010)01.010()(2xxxxR 求当需 当 300 x时的总收入为,210030001.030010)300(2R例3 设某产品的需求函数为,1001000Px求量 300 x时的总收入,平均收入和边际收入.解 平均收入函数为.01.010)()(xxxRxR边际收入函数为.02.010)01.010()(2xxxxR 求当需 当 300 x时的总收入为,210030001.030010)300(2R平均收入为,730001.010)300(R边际收入为.430002.010)300(R例4 设某产品的需求函数为 xP 1.080(P是价 x是需求量),本钱函数为 xC205000(元).(1)试求边际利润函数),(xL 并分别求 150 x和 400 x时的边际利润.解(1),1.080)(xxP,205000)(xxC那么有,1.080)1.080()(2xxxxxPxR)205000()1.080()()()(2xxxxCxRxL边际利润函数为,602.0)5000601.0()(2 xxxxL格,当 150 x时的边际利润为.30601502.0)150(L例4 设某产品的需求函数为 xP 1.080(P是价 x是需求量),本钱函数为 xC205000(元).(1)试求边际利润函数),(xL 并分别求 150 x和 400 x时的边际利润.解(1)格,当 150 x时的边际利润为.30601502.0)150(L当 400 x时的边际利润为.20604002.0)400(L可见销售第151个产品,利润会增加30元,而销售第 401个产品后利润将减少20元.函数的弹性 前面所引入的边际函数的概念 实际上是研究函数 的绝对改变量与绝对变化率,经济学中常需研究一 个变量对另一个变量的相对变化情况,为此引入下 面定义.定义 设函数)(xfy可导,函数的相对改变量)()()(xfxfxxfyy与自变量的相对 改变量,/xxyy xx 之比 称为函数)(xf从 x到 xx两点间的弹性(或相对变化率).函数的弹性 定义 设函数)(xfy可导,函数的相对改变量)()()(xfxfxxfyy与自变量的相对 改变量,/xxyy xx 之比 称为函数)(xf从 x到 xx两点间的弹性(或相对变化率).而极限 xxyyx/lim0 称为函数)(xf在点 x的弹性(或 相对变化率),记为 xxyyEExxy/lim0 yxxyx 0lim.yxy 注:函数)(xf在点 x的弹性 ExEy反映随 x的变化)(xf变化幅度的大小,即)(xf对 x变化反应的强烈程度 函数的弹性 或灵敏度.数值上,)(xfExE表示)(xf在点 x处,的改变时,函数)(xf近似地改变)%,(xfExE当 x产生1%用问题中解释弹性的具体意义时,通常略去“近似 二字.在应 例如,求函数 xy23 在 3 x处的弹性.解,2 y注:函数)(xf在点 x的弹性 ExEy反映随 x的变化)(xf变化幅度的大小,即)(xf对 x变化反应的强烈程度 函数的弹性 数值上,)(xfExE表示)(xf在点 x处,的改变时,函数)(xf近似地改变)%,(xfExE当 x产生1%用问题中解释弹性的具体意义时,通常略去“近似 二字.在应 例如,求函数 xy23 在 3 x处的弹性.解,2 yyxyExEy ,232xx 3 xExEy32332 .3296 需求弹性 设需求函数),(PfQ 这里 P表示产品的价格.是,可具体定义该产品在价格为 P时的需求弹性如)(PPPQQP/lim0 QPPQP 0lim)()(PfPfP 当 P 很小时,)()(PfPfP ,)(PQPfP 故需求弹性 近似地表示在价格为 P时,价格变动 1%,需求量将变化%,通常也略去“近似二字.于 下:注:一般地,需求函数是单调减少函数,需求量随价 格的上涨而减少(当),0P时,0 Q故需求弹性 需求弹性 当 P 很小时,)()(PfPfP ,)(PQPfP 故需求弹性 近似地表示在价格为 P时,价格变动 1%,需求量将变化%,通常也略去“近似二字.注:一般地,需求函数是单调减少函数,需求量随价 格的上涨而减少(当),0P时,0 Q故需求弹性 一般是负值,它反映产品需求量对价格变动反响的 强烈程度(灵敏度).例5 设某种商品的需求量 x与价格 P的关系为.411600)(PPQ (1)求需求弹性);(P(2)当商品的价格 10 P(元)时,再上涨1%,品需求量变化情况.解(1)需求弹性为)()()(PQPQPP PPP 41160041ln411600PPP 41160041160041ln P求该商 P)2ln2(.39.1P例5 设某种商品的需求量 x与价格 P的关系为.411600)(PPQ (1)求需求弹性);(P(2)当商品的价格 10 P(元)时,再上涨1%,品需求量变化情况.解(1)需求弹性为)(P 41ln P求该商 P)2ln2(.39.1P需求弹性为负,说明商品价格 P上涨1%时,商品需求 Q将减少1.39%.量 例5 设某种商品的需求量 x与价格 P的关系为.411600)(PPQ (1)求需求弹性);(P(2)当商品的价格 10 P(元)时,再上涨1%,品需求量变化情况.解 求该商 这表示价格 10 P(元)时,价格上涨1%,商品的需求 假设价格降低1%,加13.9%.(2)当商品价格 10 P(元)时,9.131039.1)10(13.9%.量将减少 商品的需求量将增 内容小结内容小结 1.边际函数 函数的变化率 函数)(xfy 在 0 xx 处的边际函数值为.lim)(00 xyxfx 在经济分析中，)(0 xf 常用来近似表达 当自变量在 0 x处产生一个单位的改变时，函数)(xf的改变量，即 函数)(xfy 在),(00 xxx内的平均变化 率为;xy ).()()1(000 xfxfxf 内容小结 1.边际函数 函数的变化率 2.函数的弹性 函数的相对变化率 函数)(xfy 在点 x的弹性.limlim00yxyyxxyxxyyExEyxx 它反映了)(xf对 x变化反应的强烈程度或灵敏度.数值上，它表示)(xf在点 x处，当 x产生1的改变时，函数)(xf近似地改变)%.(xfExE