2023年基本不等式（教学课件）.ppt

【教育类精品资料】探究探究:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？研究过程研究过程:1探究图形中的不等关系 在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 22ab22ab 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a ba b 探究图形变化过程 222a ba b 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 2得到结论：22,R,2()a ba b a bab 一般的，如果那么当且仅当时取号3思考：你能给出它的证明吗？证明：因为 2222()a b a b ab 22,()0,()0a ba b a ba b 当时 当时22 2()02a bab a b所以，即 特别的，如果a0,b0,我们用 分别代替a、b，可得 通常我们把上式写作 2,a bab(a 0,b 0)(a=b2a ba b当 且 仅 当 时，式 中 取 等 号）,ab2abab 基本不等式 (a0,b0)3.43.4基本不等式基本不等式 2abab第一课时第一课时 a+b 2 b只要证 要证2，只要证 a+b-0（3）要证3，只要证 （-）20（4）显然，4是成立的。当且仅当a=b时，4中的等号成立。用分析法证明：要证 2abab（1）从不等式的性质推导基本不等式 2abab2a b2a ba思考：你能给出根本不等式的几何解释吗？思考：你能给出根本不等式的几何解释吗？你能给出这个不等式的其它证法吗？你能给出这个不等式的其它证法吗？a b a b小结小结:2ba 1 1、对两个正数、对两个正数a,ba,b，又叫做正数又叫做正数a a与与b b 的的_._.算术平均数算术平均数 2 2、对两个正数、对两个正数a,ba,b，又叫做正数又叫做正数a a与与b b 的的_._.a b几何平均数几何平均数 那么两个正数那么两个正数a,b的算术平均数与几何平均的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的关系呢？数之间具有怎样的关系呢？2abab 根本不等式 (a0,b0)两个正数两个正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数的算术平均数不小于它们的几何平均数 3、例题讲解、例题讲解 1 已知x、y都是正数，求证：(1)2；yxxy分析分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.2abab解：解：x，y都是正数 0，0 xyyx2xyxyyxyx=2 2xyyx即当且仅当x=y时，式中取等号。2 2 2(2)(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.解：解：x，y都是正数 xy2 0 x y x20，y20，x30，y30 x2y22 0 22xy x3y32 0 33xy(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3 即(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.x y22xy33xy当且仅当x=y时，式中取等号 当且仅当x=y时，式中取等号 4.随堂练习随堂练习 a、b、c都是正数，求证 分析分析：对于此类题目，选择定理：2abab（a0，b0）灵活变形，可求得结果.b a112;(2)a2.a ba （）(3)(ab)(bc)(ca)abc 本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数()，几何平均数（）及它们的关系（）.它们成立的条件：(1)、前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.(2)、当且仅当a=b时，以上两式取等号。它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具。2aba b2aba b 5.课时小结课时小结