2023年基本不等式的应用—证明问题 张（教学课件）.ppt

成才之路成才之路 数学数学 路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索 人教人教A版版 必修必修5 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 第第三三章章 不等式不等式 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 34 基本不等式基本不等式 abab2 第第三三章章 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 第第三三章章 第第 3 课时课时 基本不等式的应用基本不等式的应用证明问题证明问题 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 课前自主预习课前自主预习 思路方法技巧思路方法技巧 名师辨误作答名师辨误作答 课后强化作业课后强化作业 课堂稳固训练课堂稳固训练 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 课程目标解读课程目标解读 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 熟练应用基本不等式，进行不等式的证明 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 课前自主预习课前自主预习 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 1试证下列不等式(1)已知 a，b，c 为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca.(2)设 a、b、c 是不全相等的正数，求证：bcaacbabcabc.(3)若 a，b，c 是不全相等的正数，求证 lgab2lgbc2lgca2lg alg blg c.第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 证明(1)a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，以上三式相加：2(a2b2c2)2ab2bc2ca，a2b2c2abbcca.(2)a、b、cRbcaacbc(baab)2cbaab2c 等号在baab即 ab 时成立 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 同理可得：bcaabc2b(ac 时等号成立)acbabc2a(bc 时等号成立)三式相加得：bcaacbabcabc(等号在 abc 时成立)第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 (3)方法一：a，b，c，R.lgab2lgbc2lgca2lg alg blg c lgab2bc2ca2lg abc ab2bc2ca2abc.因为ab2 ab0，bc2 bc0，ca2 ac0，且以上三个不等式中等号不能同时成立，所以ab2bc2ca2abc 成立，从而原不等式成立 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 方法二：a，b，cR，ab2 ab0，bc2 bc0，ca2 ac0，且上述三个不等式中等号不能同时成立，ab2bc2ca2acb.lgab2lgbc2lgca2lg alg blg c.第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 重点难点展示重点难点展示 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 重点：应用基本不等式进行不等式的证明 难点：1.不等式的综合应用 2反向不等式的运用 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 学习要点点拨学习要点点拨 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 1注意基本不等式的基本形式是“和的形式积的形式”还要注意“反向”不等式ab2a2b22在解题中的灵活运用 2注意对字母轮换式的识别，从而通过某种形式的迭加或迭乘使问题获解 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 3重视化归思想的运用，等式与不等式之间的转化、不等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等要把握准转化的条件，达到化归目的 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 思路方法技巧思路方法技巧 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 命题方向命题方向 不等式的证明技巧不等式的证明技巧字母轮换不等式字母轮换不等式的证法 例 1 求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2abc(abc)分析 本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式中字母轮换 abca 后表达式不变，这类问题证明一般变为几个表达式(通常几个字母就需几个表达式)迭加(乘)，从而获解 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 解析 先证 a4b4c4a2b2b2c2c2a2，a2b22ab(a，bR)，a4b42a2b2，b4c42b2c2，c4a42c2a2，2(a4b4c4)2a2b22b2c22c2a2，a4b4c2a2b2b2c2c2a2，再证 a2b2b2c2c2a2abc(abc)，a2b2b2c2b2(a2c2)2ab2c(等号在 ac 时成立)第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 同理 a2b2a2c22a2bc，(等号在 bc 时成立)b2c2a2c22abc2，(等号在 ab 时成立)三式相加得：a2b2b2c2c2a2abc(abc)(等号在 abc 时成立)第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 若 a，b，c 均为正数，求证 a3b3c33abc.第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 解析 我们先证 a3b3a2bab2，a3b3(a2bab2)a2(ab)b2(ba)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)0，a3b3a2bab2，同理可得 b3c3b2cbc2，a3c3a2cac2.将式两边分别相加，得 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 2(a3b3c3)a2bab2b2cbc2a2cac2(a2bbc2)(ab2ac2)(b2ca2c)b(a2c2)a(b2c2)c(a2b2)b 2aca 2bcc 2ab6abc，a3b3c33abc.显然，当且仅当 abc 时，a3b3c33abc.第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 点评 在 a3b3c33abc 中，令 xa3，yb3，zc3，则变为：xyz33xyz(x、y、zR，当且仅当 xyz 时取等号)我们也把abc3，3abc分别叫做三个正数 a，b，c 的算术平均数与几何平均数于是abc33abc.此式可以说成：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 *合作探究(1)求证：a2b2 b2c2 c2a2 2(abc)(2)设 a，b，c 为ABC 的三条边，求证 a2b2c20，则 abc0，bac0，cab0，平方得：a2b2c22bc，b2a2c22ac，c2a2b22ab，三式相加得：0a2b2c22bc2ac2ab，2ab2bc2aca2b2c2.第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 命题方向命题方向 综合法证明不等式综合法证明不等式 例 2 已知 a，b 都是正数，求证 ab4ab48 ab.第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 证明 ab4ab4(a1)(b4)，又a0，b0，a12 a0，b44 b0，当且仅当 a1，b4 时取等号(a1)(b4)8 ab，当且仅当 a1，b4 时取等号 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 探索延拓创新探索延拓创新 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 例 3 已知 a，b，c，d 都是实数，且 a2b21，c2d21，求证：|acbd|1.第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 解析 证法 1(综合法)：因为 a，b，c，d 都是实数，所以|acbd|ac|bd|a2c22b2d22 a2b2c2d22.又因为 a2b21，c2d21，所以|acbd|1.第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 证法 2(比较法)：|acbd|11acbd1.先证 acbd1.acbd(1)acbd1212 acbda2b22c2d22 ac2bd220，acbd1.第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 再证 acbd1.1(acbd)1212(acbd)a2b22c2d22acbd ac2bd220，acbd1.综上得|acbd|1.第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 证法 3(分析法)：要证|acbd|1，只需证明(acbd)21，即只需证明 a2c22abcdb2d21.由于 a2b21，c2d21，因此式等价于 a2c22abcdb2d2(a2b2)(c2d2)将式展开化简得(adbc)20.a、b、c、d 全是实数此式成立，故式成立，从而原命题得证 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 点评 三种证法各有侧重点，但都植根于条件 a2b21 与 c2d21 的灵活运用上，解题时要善于展开联想，不放过任何可能的思路火花，多方探索对比，对开阔视野，训练思维很有帮助，请你对条件式，再展开联想，看还能与什么知识产生联系？第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 联想一：由平方和等于 1，联想到三角函数的平方关系，可设 acos、bsin、ccos、dsin(、R)则有|acbd|coscossinsin|cos()|1.第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 联想二：由平方和为 1，想到圆的方程；A(a，b)、B(c，d)是圆 x2y21 上任意两点，则 0|AB|2.即 0 ac2bd22 022(acbd)4 1acbd1，|acbd|1.第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 联想三：由 acbd 的表达式联想到平面向量的数量积，可设 m(a，b)，n(c，d)其中|m|n|1，0，acbdm n|m|n|coscos1,1，|acbd|1.第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 同学们，为了使你的思路更开阔，解题能力提高的更快，希望你在理解的基础上，多记忆一些基本的原理(概念，公式，定理，法则，思想方法)，多归纳一些技能技巧、基本方法(即解题后多反思一下)，比你盲目的多做一些题而忽视了“思”、“想”，收效要大得多 第三章第三章 3.4 第第3课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 名师辨误作答名师辨误作答 第三章第三章 3.4 第第3课