2023年基本不等式与最值（教学课件）.ppt

32 根本不等式与最大(小)值 学习目标：1、掌握用根本不等式求函数最值的方法 会灵活地创造根本不等式条件求最值 2、通过创设根本不等式条件的过程，进一步加深对根本不等式的理解，增强应用的灵活性 重难点：重难点：灵活地会创造根本不等式求最值灵活地会创造根本不等式求最值 1基本不等式ab2 ab成立的条件是 a，b 均为 数，其中等号成立的条件是 .非负非负 ab 2用不等号连接a2b22 ab22 ab.一、复习回忆一、复习回忆 二、问题引入：某农场主想围成一个某农场主想围成一个10 000平方米的矩形牧场，怎样设平方米的矩形牧场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？计才能使所用篱笆最省呢？1利用根本不等式求最值 设x，y为正实数 (1)假设xys(和为定值)，那么当 时，积xy取得最大值 .(2)假设xyp(积为定值)，那么当 时，和xy取得最小值 .xy xy s24 2 p 即：和定即：和定积最大积最大 即：积定和最小即：积定和最小 2利用根本不等式求积的最大值或和的最小值，需满足的条件 (1)x，y必须是 (2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为 ；求和xy的最小值时，应看积xy是否为 正数正数 定值定值 定值定值(3)等号成立的条件是否满足等号成立的条件是否满足 综上，解决问题时要注意综上，解决问题时要注意:“一正、二定、三相等一正、二定、三相等 【题型题型1.不具备“正数”不具备“正数”】例1、若x1，求 的最大值。1(1)1yxx 变式：求 的最大值。9()2 lo glo gaaf xxx 1,01ax 解：1,01l o g0,l o g0aaaxxx （当且仅当 时取等号）lo g3ax9log2 96log9log6log()4aaaaxxxxf x 即f(x)的最大值是-4。解题反思：把握条件，解题反思：把握条件，从检验是否正数开始从检验是否正数开始。【题型题型2.2.不具备“定值”不具备“定值”】例2.若 ，求 的最大值。102x12y xx 解：变式：求 的最小值。1(1)1y xxx 10,12 02xx 22 121112(12)2228xxyx x 因为 解题反思：根据需要配凑“和解题反思：根据需要配凑“和或“积或“积为为定值。定值。18所以y的最大值是 。当且仅当2x=1-2x时，即x=取等号 14【题型题型3.3.不具备“相等”的条件不具备“相等”的条件】例例3.3.若若 时，求时，求 的的 最小值。最小值。2x1yxx解题反思：要注意不能忽略取等号的条件。解题反思：要注意不能忽略取等号的条件。变式：求函数变式：求函数 的最小的最小值。值。2232xyx【题型题型4.4.含两个变量或多个变量的最值问题含两个变量或多个变量的最值问题】例例4 4、已知、已知x，y为正实数，且为正实数，且x+2y=1，（1 1）求）求 xy 的最大值，及取得最大值时的最大值，及取得最大值时的的x，y的值；的值；（2 2）求）求 的最小值。的最小值。11xy解：（1）112 22,8x yx y x y 当且仅当 221xyxy即 1214xy 时，(2)11112()(2)33 2 2x yxyxyxyyx 1 13 2 2m inx y max1()8xy当且仅当,即 时，221xyyxxy21222xy变式1：已知x,y为正实数，若 ，则 恒成立的实数m取值范围是 。4x y 14mxy解：1 4 1 1 414544195 2 444x yx yx yx yyx 94m9(,4 当且仅当 即 4383xy时，取等号 44xyxyyx课堂小结课堂小结 一、本节课复习了根本不等式的应用，要注意根本不一、本节课复习了根本不等式的应用，要注意根本不等式的三个条件等式的三个条件:一一不具备“正值不具备“正值条件时，需将其转化为正值；条件时，需将其转化为正值；二二不具备“定值不具备“定值条件时，需将其构造成定值条条件时，需将其构造成定值条 件；件；构造：积为定值或和为定值构造：积为定值或和为定值 三三不具备“相等不具备“相等条件时，需进行适当变形或利条件时，需进行适当变形或利 用函数单调性求值域；同时要灵活运用“用函数单调性求值域；同时要灵活运用“1 1的代换。的代换。二、应用基本不等式的常用技巧 获得定值条件是应用基本不等式的难点和关键常用的方法有：(1)拆项、添项、配凑 此法常用在求分式型函数的最值中 如 f(x)x5x2x1x27x10 x1 x125x14x1 可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑(2)常值代换 这种方法常用于“已知 axbym(a、b、x、y 均为正数)，求1x1y的最小值”“已知axby1(a、b、x、y 均为正数)，求 xy 的最小值”两类题型(3)构造不等式 当和与积同时出现在同一个等式中时，可“利用基本不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围”如“已知 a，b 为正数，abab3，求 ab 的取值范围”可构造出不等式 2 ababab3，即(ab)22 ab30.1下列各函数中，最小值为 2 的是()A yx1x B ysin x1sin x x0，2 Cyx23x22 Dyx4x13(x1)解析：A 中当 x0 时，y0，故 2 不是最小值；B 中，x0，2，sin x1，y 取不到 2；C 中函数可化为 y x221x22，x221，y2；答案：D D 中 yx14x122 422，当且仅当 x14x1，即 x3 时取等号，故 2 为其最小值 答案：B 2 已知 0a1，则 a(1a)取最大值时 a 的值为()A.13 B.12 C.14 D.23 解析：0a1，a(1a)a1a2214，当且仅当 a1a，即 a12时取等号 3设a、bR，且ab2，那么3a3b的最小值是_ 答案：6 解析：3a3b2 3a 3b2 3ab2 326.当且仅当 3a3b，即 ab1 时取等号 答案：9 4 设 x，y 为正数，则(xy)1x4y的最小值为_ 解析：原式1yx4xy452yx4xy9，当且仅当yx4xy，即 y24x2时取等号 5已知 0 x13，求函数 yx(13x)的最大值 解析：0 x0，yx(13x)13 3x(13x)133x13x22112.当且仅当 3x13x 即 x16时，等号成立 当 x16时，函数取最大值112.