2023年基本不等式的应用—最值问题（教学课件）.ppt

成才之路成才之路 数学数学 路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索 人教人教A版版 必修必修5 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 第第三三章章 不等式不等式 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 34 基本不等式基本不等式 abab2 第第三三章章 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 第三章第三章 不等式不等式 第第三三章章 第第 2 课时课时 基本不等式应用基本不等式应用最值问题最值问题 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 课前自主预习课前自主预习 思路方法技巧思路方法技巧 名师辨误作答名师辨误作答 课后强化作业课后强化作业 课堂稳固训练课堂稳固训练 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 课程目标解读课程目标解读 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 理解领会基本不等式成立时的三个限制条件，熟练应用基本不等式求解实际问题中的最大、最小值问题 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 课前自主预习课前自主预习 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 1分析下列各题的解题过程，有错误的加以更正(1)求函数 ysinx2sinx(0 x2)的值域 解：ysin2sinx2sinx2sinx2 2，函数的值域为2 2，)第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 (2)求 x 1x2的最大值 解：令 yx 1x2，则 y x21x2x21x2212，等号在 x21x2，即 x22时成立，所求最大值为12.第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 (3)已知 a3，求 a4a3的最小值 解：a3，a，4a30.a4a32a4a3.当 a4a3，即 a4 时，a4a3取最小值 24aa38.第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 解析(1)此解答过程错误，错在忽视了应用基本不等式求最值时，等号成立的条件 正解：0 x2，0sinx1，但 sinx2sinx时 sinx 2，不符合正弦函数值域要求，故这里不符合基本不等式成立的条件，因此取不到值 y2 2.第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 令 usinx，0 x2，0u1，可利用 yu2u在(0,1)上是减函数得出 y3.此函数值域为(3，)第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 (2)此解答过程错误，当 x1)的值域为_ 分析 分子是 x 的二次式，分母是一次式，适当将分子变形可化为 x1 的表达式或由分母构造平方差，则可化为“积为定值”的和式 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 解析 yx24x1x122x15x1 x15x122 52(x10)，等号在 x15x1，即 x 51 时成立，函数的值域为2 52，)第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 点评 还可以如下进行 yx24x1x215x1x15x1x15x12.第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 已知正数 x、y 满足4x9y1，则 xy 有()A最小值 12 B最大值 12 C最小值 144 D最大值 144 答案 C 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 解析 解法 1：x，yR，14x9y236xy121xy，xy144.等号在4x9y12，即 x8，y18 时成立 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 解法 2：xyxy 1xy(4x9y)4y9x 4y 9x12 xy，xy144.等号在 4y9x4x9y1即 x8，y18 时成立，故选 C.第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 解法 3：(消元法)由4x9y1 得 y9xx4，y0，x0，x40，xy 9x2x4 9x21616x4 9(x 4 16x48)9(2x416x48)144.等号在 x416x4，即 x8 时成立，此时 y988418，xy 的最大值为 144.第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 建模应用引路建模应用引路 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 例 3(1)在面积为定值的扇形中，半径是多少时，扇形的周长最小？(2)在周长为定值的扇形中，半径是多少时，扇形的面积最大？第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 解析 设扇形中心角为，半径 r，面积 s，弧长 l，则 s12lr12r2，lr.(1)s 为定值，则 2sr2，扇形周长 p2rl2rr2r2sr4 s.等号在 rsr即 r s时成立，半径是 s时扇形周长最小 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 (2)周长 p2rr 一定，pr2，面积 s12r212r(p2r)r(p2r)rp2r22p216，等号在 rp2r 即 rp4时成立，半径 rp4时，面积最大 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 如图，设矩形 ABCD(ABAD)的周长为 24，把它沿 AC折起来，AB 折过去后，交 DC 于点 P.设 ABx，求ADP 的最大面积及相应的 x 值 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 分析 要求ADP 的最大面积，首先要写出ADP 的面积表达式由于 AD12x，关键是要将 DP 用 x 表示出来从图中看到，DPPB，APxDP，于是在ADP 中运用勾股定理，可以将 DP 用 x 表示出来 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 解析 如图，因为 ABx，所以 AD12x.又 DPPB，APABPBABDPxDP.由勾股定理得(12x)2DP2(xDP)2，整理得 DP1272x.因此ADP 的面积 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 S12AD DP 12(12x)1272x 1086x432x.x0，6x432x26x432x72 2.S1086x432x10872 2.第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 当且仅当 6x432x时，即当 x6 2时，S 有最大值 10872 2.答：当 x6 2时，ADP 的面积有最大值 10872 2.第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 探索延拓创新探索延拓创新 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 命题方向命题方向 综合应用综合应用 例 4 设 abc，且1ab1bcmac恒成立，则 m的取值范围是_ 答案(，4 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 分析 由 abc 知：ab0，bc0，ac0.因此，不等式等价于acabacbcm，要使原不等式恒成立，只需acabacbc的最小值不小于 m 即可 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 解析 acabacbc abbcababbcbc 2bcababbc22bcababbc4.当且仅当bcababbc，即 2bac 时，等号成立 m4，即 m(，4 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 点评(1)分离 m 以后，注意到 ac(ab)(bc)是求解acabacbc的最小值的关键(2)注意到abc.及式子1ab1bcmac中分母都是多项式略嫌复杂，可换元简化 令 xab0，ybc0.则 acxy.1ab1bcmac恒成立，第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 即：1x1ymxy恒成立 即：m(xy)(1x1y)恒成立(xy)(1x1y)2yxxy22yxxy 4 等号在 xy 即 abbc 也就是 bac2时成立 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 m4 时原表达式恒成立 这样我们通过换元，简化了表达式，暴露了条件式的实质，拓展了解题的思路，要认真体会 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 名师辨误作答名师辨误作答 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 例 5 已知 a0，b0，且1a9b1，求 ab 的最小值 错解 a0，b0 1a9b29ab61ab，61ab1，1ab136，ab36.ab2 ab12.ab 的最小值为 12.第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 辨析 上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为1a9b，即 b9a，第二次等号成立的条件为 ab，故 ab 取不到最小值 12.第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 正解 a0，b0，1a9b1，ab(1a9b)(ab)19ba9ab102ba9ab102316.当且仅当1a9ab，即 b29a2时等号成立 由 b29a21a9b1，第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 解得 a4，b12.故当 a4，b12 时，ab 取最小值 16.第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 课堂巩固训练课堂巩固训练 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 一、选择题 1已知 x1，y1 且 lgxlgy4，那么 lgx lgy 的最大值是()A2 B.12 C.14 D4 答案 D 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 解析 x1，y 1，lgx0，lgy0，lgx lgy(lgxlgy2)2(42)24，等号在 lgxlgy2 即，xy100 时成立 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 2设 x，yR，且 xy5，则 3x3y的最小值是()A10 B6 3 C4 6 D18 3 答案 D 第三章第三章 3.4 第第2课时课时 成才之路成才之路 数学数学 人教人教A版版 必修必修5 解析 3x0,3y0.xy5，3x