2023年中考数学复习必备教案第四单元第27课时锐角三角函数初中数学.docx

2023年中考数学复习必备教案——第四单元第27课时 锐角三角函数 锐角三角函数 知识点回忆 知识点一：锐角三角函数的定义 如图1，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么 A B C 〔图1〕 ∠A的对边 ∠A的邻边 斜边 ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA ，即sinA= ； ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ； ∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= ． 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数．[来源:Zxxk.Com] 【友情提示】 〔1〕由于锐角三角函数是一种比值，因此它只有大小而没有单位； 〔2〕由于三角函数是一个比值，它的大小仅与角的大小有关，而与它所在的三角形的边的长度无关； 〔3〕sinA、cosA、tanA是一些完整的符号，不能把sinA看作sin与A的积，离开了A的sin没有任何意义，只有合起来，sinA才表示∠A的正弦． cosA、tanA也是如此． 例1：如以下图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么以下比例线段中，不等于sinA的是〔 〕 A B C D [来源:Zxxxxk.Com] A C B D 解析：此题考查三角函数的概念，充分理解角的大小决定三角函数值的大小，在直角三角形中，只要角相等，任一直角三角形中该角的三角函数值相等，因为∠A=∠BCD，所以在Rt△ACD、Rt△ABC中，sinA有三种表达形式：、、。但结果相同，只有不同，应选D。 同步检测一： α 〔第1题〕 1. 三角形在方格纸中的位置如以下图，那么的值是〔 〕 A． B． C． D．[来源:学。科。网] 2. 在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，那么sinB＝〔 〕 C A B D 〔第3题图〕 A．　　　 B． C． D． 3. 如图，在中，是斜边上的中线，，，那么的值是〔 〕 A． B． C． D． 答案：：1．A 2．D．3.C 知识点二：特殊的三角函数值 〔1〕识图记忆法：如图2—①、2—②所示． 〔图2—①〕 〔图2—②〕 30° A B C 60° 1 2 45° 45° A B C 1 1 〔2〕列表记忆法：[来源:学科网] 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 1 cosα 1 [来源:学科网ZXXK] tanα 0[来源:学x科x网] 不存在 〔3〕规律记忆法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为、、；30°、45°、60°角的余弦值恰好是60°、45°、30°角的正弦值． 【友情提示】 ⑴sinA是一个完整符号，离开了∠A的“sin〞无意义，只有连接起来才能表示∠A的正弦；⑵锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小；[来源:学§科§网Z§X§X§K] ⑶对于锐角A有0＜sinA＜1,0＜cosA＜1,tanA＞0,且它们均没有单位。 例2：〔2023年义乌〕计算： 解析：把sin60°=,cos45°=代入计算。 解：(1)=2.5 例3：〔2023年宿迁〕为锐角，且，那么等于〔 〕 Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ． 解析：∵sin60°=，∴-10°=60°，=70°[来源:学.科.网Z.X.X.K] 答案：C 同步检测二： B C A 图4 1. 〔2023·浙江省湖州市〕如图4，在中，，，，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A．　　　　　B．　 C．　 　　　D．[来源:Zxxk.Com] 2. 为锐角，且cot〔90°－〕＝，那么的度数为〔 〕 A．30° B．60° C．45° D．75° 3. A〔cos60°，－tan30°〕关于原点对称的点A1的坐标是〔 〕 A． B． C． 　D． 4.计算：sin600·cos300－=_______. 5.计算:的值是 ． 答案：1. D． 2. B． 3.A．4．；5. ； 知识点3：三角函数关系 　　我们知道，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，那么有：，，，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系． 　　〔1〕余角关系 　　由上面的定义我们已得到sinA=cosB，cosA=sinB，而在直角三角形中，∠A＋∠B＝90°，即∠B＝ ．因此有：sinA= ，cosA= ．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换． 　　〔2〕平方关系 ∵，， ∴〔sin2A、cos2A分别表示sinA、cosA的平方〕． 　　又∵由勾股定理得a2+b2=c2， 　　所以sin2A+cos2A= ． 　　应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算． 〔3〕相除关系 　　由定义中，， 　　得 ． 　　利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．[来源:Zxxk.Com] 例4：是锐角，那么sin+cos的值是〔 〕 A 大于1 B 等于1 C 小于1 D 与1的大小析无法确定 解析：∵， ∴〔sin+cos〕2=＞1, ∴〔sin+cos〕2＞1,∵是锐角，∴sin+cos＞1, 答案：A 同步检测三： 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，，BD＝2，求BC的长． 　　 2．计算：sin256°+sin245°+sin234°． 　　 3．α为锐角，tanα=2，求的值． 　　 答案： 1．解：由于∠A＋∠B＝90°， 　　所以． 　　在Rt△BCD中，，所以． 　　所以BC＝4． 2．解：由余角关系知sin56°=cos〔90°-56°〕=cos34°． 　　所以原式＝sin245°+〔sin234°+cos234°〕 ． 3．解：因为，所以sinα=2cosα，[来源:Z.xx.k.Com] 　　所以原式 随堂检测： １.如图，在中，90°，，，那么以下结论正确的选项是〔 〕B C A A． 　 B．　 C．　 　　　D． ２.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA= ，BC＝10，那么AB的值是〔 〕 A．3 B．6 C．8 D．9 3. 2sin的值等于〔 〕 A．1　　B．　　C．　　D．2 4. =______． 5.菱形在平面直角坐标系中的位置如以下图x y O C B A ，，那么点的坐标为〔 〕 A． B． C． D． 6.图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．A B C D 150° h 其中AB．CD分别表示一楼．二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，那么乘电梯从点B到点C上升的高度h是〔 〕 A． m B．4 m C． m D．8 m 7．计算：〔1〕 〔2〕． 8.如图，在矩形ABCD中，是边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE． 〔1〕求证：； 〔2〕如果，求的值． D A B C E F 9．如图，在平面直角坐标系中，点，轴于A． 〔1〕求的值； 〔2〕将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点，求点的坐标； 〔3〕将平移得到，点A的对应点是，点的对应点的坐标为，在坐标系中作出，并写出点．的坐标． O x A B 1 1 y 答 案 1.D 2. B 3.A 4. 5.C 6.B 7．〔1〕解：原式==3． 〔2〕原式==0． 8．〔1〕证明：在矩形中， ． 〔2〕解：由〔1〕知 在直角中， 在直角中， ． 9．解：〔1〕点，轴于， ， ．[来源:学科网ZXXK] 〔2〕如图，由旋转可知：， 点的坐标是． 〔3〕如以下图， ，． O x A B 1 1 y C D