2023年中考数学复习必备教案第四单元第22课时等腰三角形初中数学.docx

2023年中考数学复习必备教案——第四单元第22课时 等腰三角形 等腰三角形 知识点回忆 知识点一:等腰三角形的性质——等边对等角 等腰三角形的两个底角 . 例1：〔2023年贵州黔东南州〕如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，那么∠A等于〔 〕A．30o B．40o C．45o D．36o 分析：根据等边对等角的性质可知：∠ABC＝∠C，∠BDC＝∠C，∠BAD＝∠ABD．因此就有∠ABC＝∠C＝∠BDC，因此假设设∠A＝x，那么有∠BAD＝∠ABD＝x，∠BDC＝∠ABC＝∠C＝2x．所以可列方程：x+2x+2x＝180°可以解得x＝36°． 同步检测一： 1.在△ABC中，AB＝AC，①假设∠A＝70°，那么∠B＝ °，∠C＝ °②假设∠B＝40°， 那么∠A＝ ° 2.〔08嘉兴〕等腰三角形的一个内角为50°，那么这个等腰三角形的顶角为〔 〕 Ａ．50° Ｂ．80° Ｃ．50°或80° Ｄ．40°或65° 知识点二：等腰三角形的性质——三线合一 等腰三角形的 、 、 互相重合。 例2：如图，在△ABC中，AD＝AE，BD＝CE，求证：AB＝AC A B C D E F 解：过点A作AF⊥BC ∵AD＝AE，∴DF＝EF， ∵BD＝CE，∴BF＝CF ∴AF垂直平分BC ∴AB＝AC 同步检测二： A B C D E 1.在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠B＝70°，BC＝10㎝，那么BD＝ ，∠BAD＝ ° 知识点三：等腰三角形的判定——等角对等边 在△ABC中，如果∠A＝∠B，那么有 ＝ 例3：如图，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC交AB于E，求证：△BED是等腰三角形． 解：∵BD是∠ABC的角平分线 ∴∠ABD＝∠CBD ∵DE∥BC ∴∠CBD＝∠BDE ∴∠ABD＝∠BDE ∴BE＝DE ∴△BED是等腰三角形 同步检测三： 1.在△ABC中∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝10㎝，那么AB＝ ㎝ 知识点四：等边三角形的性质与判定 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等且都等于 ° 都相等的三角形是等边三角形； 都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 的等腰三角形是等边三角形 例4:如图，C为线段AB上一点，△ACD，△CBE是等边三角形，AE与CD交于点M，BD与CE交于点N，AE交BD于点O．求证： ⑴AE＝BD ⑵∠AOB＝120° ⑶△CMN是等边三角形 分析：⑴根据等边三角形的性质可用SAS证明△ACE≌△DCB，那么得AE＝BD同时可得∠CEA＝∠CBD，⑵因此可由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得∠AOB＝∠AEB＋∠EBO＝∠AEC＋∠CEB＋∠EBO＝∠OBC＋∠CEB＋∠EBO＝∠BEC＋∠CBE＝60°＋60°＝120°⑶易知∠DCE＝60°，故只需证△MCE≌△NCB即可. 同步检测四： 1．假设△ABC是等边三角形，D为AC的中点，那么∠DBC＝ ° 2．以下三角形：[来源:学科网] ①有两个角等于60°的三角形；②有一个角为60°的等腰三角形；③三个外角〔每个顶点处各取一个外角〕均相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。其中可以确定是等边三角形的是 。 知识点五：含30°的直角三角形的性质 在Rt△中，30°的角所对的直角边等于斜边的 例5：如图，有一块形状为等边△ABC的空地，DE、EF为地块中的两条路，且D为AB的中点，DE⊥AC，EF∥AB，现AE＝5m，你能求出地块△EFC的周长吗？ 分析：易知△EFC为等边三角形，那么只需求出其边长即可。而由含30°的直角三角形的性质可求出AD＝10m，从而得AB为20m，进而得CE为15m。 同步检测五： 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，假设∠A＝30°，BC＝2㎝，那么BD＝ ㎝，AD＝ ㎝[来源:学科网ZXXK] 随堂检测： 1．等边三角形ABC中，D为AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD，假设AB＝10，那么BE＝ [来源:Z§xx§k.Com] 2．如图，OC平分∠AOB，CD∥OB，假设OD＝3㎝，那么CD＝ ㎝ 3．等腰三角形的一个外角为140°，那么这个三角形的顶角为 °．[来源:学科网] 4．等腰三角形的两边长分别为9和4，它的周长为 ． 5．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，AB＝10㎝，那么BC＝ ㎝． 6．如图，△ABC中，AB＝AC， ∠B＝30°，EF垂直平分AB如CF＝8，那么BF＝　　　　． 7．〔09广西河池〕如图７，在Rt△ABC中，，AB=AC＝，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且，那么△的面积是〔 〕 C B F A E 图７ A． 16 B． 18 C． D． 第9题图 8．〔09重庆〕等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm，那么其腰上的高为 cm. 9．〔09重庆〕如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60º. (1)求证：AB⊥AC； (2)假设DC＝6,求梯形ABCD的面积 . 10.〔09湖北宜昌〕：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M． (1)求证：AB=CD； (2)假设∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由． [来源:学科网] 参考答案： 1．15；2．3；3．40°或100°；4．17或22；5.５；6．４：7．Ａ；8．；9．证明：(1)∵AD∥BC，AB=DC ∠B=60° ∴∠DCB＝∠B＝60° ∠DAC＝∠ACB 又∵AD=DC ∴∠DAC＝∠DCA ∴∠DCA=∠ACB＝ ∴∠B+∠ACB＝90°∴AB⊥AC 〔2〕过点A作AE⊥BC于E∵∠B＝60°∴∠BAE＝30°又∵AB=DC＝6 ∴BE=3∴　∵∠ACB＝30°，AB⊥AC∴BC=2AB=12 ∴ 10．解：(1)证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB=∠BAC． ∵D与A关于E对称，∴E为AD中点． ∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC=CD． 在Rt△ACE和Rt△ABE中，〔注：证全等也可得到AC=CD〕 ∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°， ∠CAD=∠DAB． ∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB． 〔注：证全等也可得到AC=AB〕 ∴AB=CD． (2)∵∠BAC=2∠MPC， 又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD． ∵AC=CD∴∠CAD=∠CDA∴∠MPC=∠CDA． ∴∠MPF=∠CDM． ∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE．〔 注：证全等也可得到CE=BE〕∴AM为BC的中垂线，∴CM=BM． 〔 注：证全等也可得到CM=BM〕 ∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，(等腰三角形三线合一) ∴∠CME=∠BME．〔注：证全等也可得到∠CME=∠BME 〕[来源:学.科.网] ∵∠BME=∠PMF，∴∠PMF=∠CME，∴∠MCD=∠F(三角形内角和)． 注：证三角形相似也可得到∠MCD=∠F [来源:学科网] [来源:Z。xx。k.Com] 同步练习： 1．如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，那么∠ACD＝ ，假设AD＝2㎝，那么△ABC的周长为 ㎝ 2．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于〔 〕 A．顶角 B．顶角的一半 C．顶角的两倍 D．底角的一半 3．如图，在△ABC中 ，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，假设AD＝6，那么CD＝ 4．假设等腰三角形的一个内角为50°，那么其底角为 5．〔09青海〕方程的两个根是等腰三角形的底和腰，那么这个三角形的周长为〔 〕 A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定 A N C D B M 6．〔09包头〕如图，在中，，与相切于点，且交于两点，那么图中阴影局部的面积是 〔保存〕． 7．〔09呼和浩特〕在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个局部，那么这个等腰三角形的底边长为〔 〕 A B C D E A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 8．〔09湛江〕如图，在等边中，分别是的中点，，那么的周长是〔 〕 A．6　　　　B．9　　　　C．18　　　D．24 A C B D E 第题图 9．〔09汕头〕如以下图，是等边三角形， 点是的中点，延长到，使， 〔1〕用尺规作图的方法，过点作，垂足是〔不写作法，保存作图痕迹〕； 〔2〕求证：． 10．〔09厦门〕：在△ABC中，AB＝AC．(1)设△ABC的周长为7，BC＝y，AB＝x(2≤x≤3)．写出y关于x的函数关系式，并在直角坐标系中画出此函数的图象； (2)如图，D是线段BC上一点，连接AD．假设∠B＝∠BAD， A B D C 求证：△ABC∽△DBA． 11．如图，正三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P， ①求证∠APE＝60° ②如EF⊥AD，那么判断PF与PE的大小关系，并给出证明。 12．〔09湖南常德〕如图9，假设△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形． 〔1〕当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？假设成立请证明，假设不成立请说明理由；〔4分〕 〔2〕当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？假设是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；假设不是，请说明理由．〔6分〕 图9 图10 图11 图8 [来源:学+科+网] 同步练习参考答案： 1．12；2．B；3．3；4．50°或65°；5．C；6．；7．C；8．18； 答案图 A C B D E M 9．〔1〕作图见答案图， 〔2〕是等边三角形，是的中点， 平分〔三线合一〕， ． ， ． 又， ．又， ，， ．又，． 10．(1)解：y＝7－2x(2≤x≤3) 画图象略 (2)证明：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C. ∵ ∠B＝∠BAD，∴ ∠BAD＝∠C. 又∵ ∠B＝∠B， ∴ △BAC∽△BDA. [来源:学x科x网ZxXxXxK] 11．⑴证△ABD≌△BCE(SAS)；∴∠BAP＝∠EBC,∴∠APE＝∠A