2023年中考数学复习必备教案第四单元第28课时解直角三角形及其应用初中数学.docx

2023年中考数学复习必备教案——第四单元第28课时 解直角三角形及其应用 解直角三角形及其应用 知识点回忆 知识点1：解直角三角形 1、解直角三角形的类型： 根据求解的条件分类，利用边角关系可有如下根本根本类型及其解法： 〔1〕两边： ①两条直角边a、b．其解法：c=，用tanA= ,求得∠A，∠B=90°－∠A． ②斜边和一条直角边c、a．其解法：b=，用sinA= ，求得∠A，∠B=90°－∠A．[来源:Z。xx。k.Com] 〔2〕一边和一锐角： ①一条直角边a和锐角A：∠B=90°－∠A；用tanA=,求得b= ；用sinA=，求得c= ． ②斜边c和锐角A：∠B=90°－∠A；用sianA=,求得a= ；用cosA=,求得b= ． 2、解直角三角形的方法〔口诀〕： “有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中．〞这两句话的意思是：当和求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，那么用乘法，不用除法；既可用数据又可用中间数据求解时，那么用原始数据，尽量防止用中间数据． 【友情提示】 ⑴解题时方法要灵活，选择关系时尽量考虑用原始数据，减小误差； ⑵斜三角形问题可添加适宜的辅助线转化为直角三角形问题。 例1：〔2023年宁夏中考〕如图，在△中，∠=90°，sin=，=15，求△的周长和tan的值． 解析：应用直角三角形边角关系求出各边长，再求出周长与tanA的值。 解：在中, ∠=90°, =15 ==, ∴ ∴△的周长为36 A= 同步检测一： α 5米 A B 图3 1．〔2023·湖南省益阳市〕如图3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为〔 〕 A. B. 　 C. D. A B C ┐ 2．〔2023湖南益阳〕AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，那么拉线AC的长为( ) A. 米 B. 米 C. 6·cos52°米 　　D. 米 B D C A 3. (2023年乐山市)如图AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4，那么sinB= 〔 〕 A、 　　B、　　　Ｃ、　　　Ｄ、 1. 答案：1．B.2．D．3．A．[来源:学科网ZXXK] 知识点2：解直角三角形的应用 〔1〕仰角和俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做 ； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 . 水平线 视线 视线 铅直线 视线 仰角 俯角 〔2〕方位角 • 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做 . • 如图：点A在O的北偏东30° • 点B在点O的南偏西45°〔西南方向〕 30° 45° B O A 东 西 北 南 注意：方位角是指从正北方向开始顺时针旋转后所成的角。 〔3〕坡度的概念，坡度与坡角的关系。 如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ ，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝= ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。 【友情提示】在解直角三角形的应用题时，要注意以下各点： ⑴要弄清仰角、俯角、坡度坡角、方向角等概念的意义； ⑵认真分析题意，画图并找出要求解的直角三角形。有些图形虽然不是直角三角形，但可通过添加适当的辅助线把它分割成一些直角三角形和矩形。 ⑶选择适宜的边角关系，使运算尽可能简便，并且不容易出错；[来源:学科网] ⑷按题目中数的精确度进行近似计算，并按题目要求精确度确定答案，注明单位。 [来源:学|科|网Z|X|X|K] x/km y/km 北 东 A O B C 图12 例2：〔2023年河北〕气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛〔设为点〕的南偏东方向的点生成，测得．台风中心从点以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点处．因受气旋影响，台风中心从点开始以30km/h的速度向北偏西方向继续移动．以为原点建立如图12所示的直角坐标系． 〔1〕台风中心生成点的坐标为 ，台风中心转折点的坐标为 ；〔结果保存根号〕 〔2〕距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市〔设为点〕位于点的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？ 解析：过点C作CD⊥OA于点D，构造直角三角形求出CA的长，然后根据速度求台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间。 解：〔1〕，； x/km y/km A O B C 图2 D 〔2〕过点作于点，如图2，那么． 在中，，， ．． ，，[来源:学科网ZXXK] 台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时． A B C D 例3：〔2023年广东深圳〕如图，斜坡AC的坡度〔坡比〕为1:，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度． 解析：延长BC交AD于E点，构造直角三角形，由坡比为︰，可知∠CAE=30°，运用解直角三角形知识可求出CE、AE的长度，在Rt△ABE中运用勾股定理，可求得BE，BC=BE-CE. A B C D E 解：延长BC交AD于E点，那么CE⊥AD． 在Rt△AEC中，AC＝10， 由坡比为1︰可知：∠CAE＝30°， ∴ CE＝AC·sin30°＝10×＝5， AE＝AC·cos30°＝10×＝ ． 在Rt△ABE中，BE＝＝＝11． ∵ BE＝BC＋CE，∴ BC＝BE－CE＝11-5＝6〔米〕． 答：旗杆的高度为6米． 例4：〔2023年四川成都〕某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系〞一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)[来源:Zxxk.Com] 解析：由仰角的定义可知∠ABD=45°，∠ACE=30°，在Rt△ABC中运用解直角三角形知识可以求得BC=AB，由BC-BD=CD,得AB-AB=60，∴AB=30〔+1〕米。[来源:Z§xx§k.Com] 解：如图，由可得∠ACB=30°，∠ADB=45° ∴在Rt△ABD中，BD=AB. 又在Rt△ABC中，tan30°=，∴=，即BC=AB. ∵BC=CD＋BD，∴AB=CD＋AB，即〔－1〕AB=60. ∴AB==30〔＋1〕〔米〕 答：教学楼的高度为30〔＋1〕米. 同步检测二： 1. 〔2023·黑龙江省哈尔滨市〕如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．〔结果保存根号〕 D 乙 C B A 甲 2. 〔2023·内蒙古包头市〕如图，线段分别表示甲、乙两建筑物的高，，从点测得点的仰角为60°从点测得点的仰角为30°，甲建筑物高米． 〔1〕求乙建筑物的高； 〔2〕求甲、乙两建筑物之间的距离〔结果精确到0.01米〕． 〔参考数据：〕 3. 〔2023·山西省〕有一水库大坝的横截面是梯形，为水库的水面，点在上，某课题小组在老师的带着下想测量水的深度，他们测得背水坡的长为12米，迎水坡上的长为2米，求水深．〔精确到0.1米，〕[来源:Zxxk.Com] G M H A B C D E F 水深 参考答案：[来源:学科网] 1. 解：由题意得∠CAB=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30° ∴∠ACB=∠CAB，∴BC=AB=20×2=40 ∵∠CDB=90°，∴sin∠CBD=，即sin60°== ∴CD=BC×=40×=20 ∴此时轮船与灯塔C的距离为20海里. 2. 解：〔1〕过点作于点， D 乙 C B A 甲 E 根据题意，得， 米，[来源:Zxxk.Com] 设，那么， 在中，， ， 在中，， 〔米〕． 〔2〕，， 〔米〕． 3.【解析】分别过点A、D作梯形的高，图形便分为两个直角三角形和一个矩形，在直角三角形中利用锐角三角函数计算出AM、DG、DH，即可求出水深. 【答案】解：分别过作于于 过作于那么四边形为矩形． ∴ 在中， ∴ 在中， ∴ 答：水深约为6.7米． 随堂检测： α 〔第1题〕 1. 〔2023年福建漳州〕三角形在方格纸中的位置如以下图，那么的值是〔 〕 A． B． C． D． A B C D 150° 第2题 h 2. 〔2023年河北〕如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，那么乘电梯从点B到点C上升的高度h是〔 〕 A． m B．4 m C． m D．8 m 〔第3题〕 3. (2023年湖北恩施)如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=60°, D是AC上一点，于,且 那么的长为( ) A. 2 B. C. D. 〔第4题〕 4. 〔2023年遂宁〕如图，△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为 cm. 5.〔2023年益阳〕 如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，那么的值为 . A C(B′) B A′ C′ 〔第5题〕 [来源:Zxxk.Com] 6. 〔2023年朝阳〕如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．假设，那么_____________． F E B C D A 〔第6题图〕 7. 〔2023年温州〕△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，那么AC的长是 8. 计算 ：. 9. 计算：． 10. 〔2023年绍兴〕地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在处时，车载GPS〔全球卫星定位系统〕显示村庄在北偏西方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达处，GPS显示村庄在北偏西方向． 〔1〕求处到村庄的距离； 〔2〕求村庄到该公路的距离．〔结果精确到0.1km〕 〔参考数据：，，， 〕