2023年中考数学复习必备教案第六单元第33课时圆的有关性质初中数学.docx

2023年中考数学复习必备教案——第六单元第33课时 圆的有关性质 圆的有关性质 知识点回忆： 知识点一：圆的定义，掌握点与圆的位置关系 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形， 是它的对称中心. B C D A 例1：〔2023太原市〕如图，在中，=90°，=10， 假设以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点， 那么的长等于〔 〕 A． B．5 C． D．6 分析：连接CD，因为点D在圆上，所以CD＝CB，又CD是的斜边中线，所以CD=BD，所以CD＝CB＝BD，所以ΔBCD是等边三角形，所以∠B＝60°，所以AC＝AB·sinB＝ 解：选A 同步测试： 1.〔2023太原市〕如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，那么以以下图形能大致地刻画与之间关系的是〔 〕 [来源:Zxxk ] 2．〔2023荆门市〕如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角， 且AE⊥BC，AF⊥CD． 〔1〕求证：A、E、C、F四点共圆；[来源:学,科,网] 〔2〕设线段BD与〔1〕中的圆交于M、N．求证：BM=ND． 知识点二：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 . 3. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .[来源:Z|xx|k ] 例2：〔2023年镇江市〕如图，⊙O是等腰三角形的外接圆，，，为⊙O的直径，，连结，那么 ， ． 分析：因为∠D和∠A都是弧BC所对的圆周角，所以∠D＝∠A＝45°,因为BD是直径，所以∠BCD＝90°,所以BC＝BD·sinD＝2 解：∠D＝45°；BC=2 同步测试： 1.〔2023天津市〕如图，内接于，假设，那么的大小为〔 〕D A． 　　　B．　　 C．　　　D．[来源:学科网] C A B O 2.〔2023年泰州市〕如图，⊿ABC内接于⊙O，AD是⊿ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，⊿ABE与⊿ADC相似吗？请证明你的结论。 2.解：△ABE与△ADC相似. ∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90° ∵∠ADC=90°， ∴∠ABE=∠ADC[来源:学x科x网] 又∵∠AEB=∠ACD，∴△ABE∽△ADC 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，B是弧AC的 中点，AD＝20，CD＝15,求BD的长. 知识点三：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 例3：〔2023呼伦贝尔〕如图：=，分别是半径和的 中点，与 的大小有什么关系？为什么？[来源:学科网] 分析：从条件看，整个图形为轴对称图形，那么有CD=CE；由=，可知它们所对的两个圆心角，两条弦，两个圆周角相等，故连结OC，构造全等三角形来说明CD=CE. 解：结论：CD=CE.[来源:学科网ZXXK] 理由是:连结OC,∵D、E分别是OA、OB的中点，∴OD=OE,又∵=，∴∠DOC＝∠EOC，又OC＝OC，∴△CDO∽△CEO，∴CD＝CE 同步测试： 1．如图，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点M，N.且AB＝CD，　求证：∠AMN＝∠CNM [来源:Z§xx§k ] A B C D E M N 2.〔2023广州〕如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于 点D、E，且BC=DE． 〔1〕求证：AC=AE；[来源:学x科x网ZxXxXxK] 〔2〕利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线， 两线交于点F〔保存作图痕迹，不写作法〕，求证：EF平分∠CEN． 知识点四：垂径定理 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦〔不是直径〕的 垂直于弦，并且平分 . 例4：〔2023娄底〕如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E， 那么以下说法错误的选项是 ( ) A．AD=BD 　B．∠ACB=∠AOE C． D．OD=DE 同步测试： 1．(2023南宁〕如图，的直径，弦， 那么弦的长为〔 〕 A． B． C． D． A B C M N O · 2.〔2023南通〕：如图，M是的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝4cm． 〔1〕求圆心O到弦MN的距离； 〔2〕求∠ACM的度数． 2. 解：〔1〕连结OM．∵点M是的中点，∴OM⊥AB． 过点O作OD⊥MN于点D， 由垂径定理，得． 在Rt△ODM中，OM＝4，，∴OD＝． 故圆心O到弦MN的距离为2 cm． [来源:学科网] 〔2〕cos∠OMD＝， ∴∠OMD＝30°，∴∠ACM＝60°． 知识点五：确定圆的条件 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的 、这个三角形是圆的 . 例4：要将如以下图的破圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径(写出找圆心和半径的步骤). 解：(1)在残圆上任取三点A、B、C。 (2)分别作弦AB、AC的垂直平分线, 那么这两垂直平分线的交点即是所求的圆心 (3)连接OA,那么OA的长即是残圆的半径. 同步测试： 1.三角形的外心是______的圆心,它是_______的交点,它到_______的距离相等. 〔其外接圆 三角形三条边的垂直平分线 三角形三个顶点〕 :// zk5u / :// zk5u /2.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心.〔两〕 3.〔2023年新疆〕如图，在平面直角坐标系中，一圆弧过小正方形网格的格点，点的坐标是，那么该圆弧所在圆的圆心坐标是___________． 随堂检测[来源:学&科&网] 1．(2023台州)以下命题中，正确的选项是〔 〕 ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等 A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 2．(2023云南省)如图，A、D是⊙上的两个点，BC是直径，假设∠D = 35°，那么∠OAC的度数是〔 〕 A．35° B．55° C．65° D．70° 3．〔2023安徽〕如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝，BD＝，那么AB的长为〔 〕 A．2 B．3 C．4 D．5 4.〔2023年遂宁〕如图，⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70o，∠c=50o，那么sin∠AEB的值为( ) A. B. C. D. 5.〔2023年南京市〕如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台． 6．(2023成都)如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝_________． 7．〔2023梧州〕某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图〔2〕所示，AB＝16m，半径OA＝10m，那么中间柱CD的高度为 m． 8.〔2023北京市〕如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，假设∠CEA=，那么∠ABD= °. 9．〔2023甘肃庆阳〕如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E． 〔1〕∠E= 度； 〔2〕写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由； 〔3〕求弦DE的长． 10.〔2023镇江〕推理运算：如图，为⊙O直径，为弦，且，垂足为． A B D E O C H 〔1〕的平分线交⊙O于，连结．求证：为的中点； 〔2〕如果⊙O的半径为，， ①求到弦的距离； ②填空：此时圆周上存在 个点到直线的距离为． 11.(2023年陕西省)问题探究 〔1〕请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P，并说明理由． 〔2〕请在图②的正方形ABCD内〔含边〕，画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理由． 问题解决 如图③，现有一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP’D钢板，且∠APB＝∠CP’D＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P和P’，并求出△APB的面积〔结果保存根号〕． 答 案 1. C 2. B 3. B 4. D 5. 三 6. 7. 4 8. 28 9．解：〔1〕45． D E C P A B 图1 〔2〕△ACP∽△DEP． 理由：∵∠AED=∠ACD，∠APC=∠DPE， ∴ △ACP∽△DEP． 〔3〕方法一： ∵ △ACP∽△DEP， ∴ 又 AP=，AC=， D E C P A B 图2 F ∴ DE=． 方法二： 如图2，过点作于点． 在中， AP= 又， ∴ DF=． ∴ ． 10. 〔1〕， 又，．． 又，．为的中点． 〔2〕①，为的直径，，． 又，．， ． 作于，那么．[来源:Zxxk ] ②3 11．解：〔1〕如图①， 连接交于点，那么． 点为所求． 〔2〕如图②，画法如下： D C B A ① P D C B A ② O P E F D C B A ③ E G O P 〔第11题答案图〕 1〕以为边在正方形内作等边； 2〕作的外接圆，分别与交于点． 在中，弦所对的上的圆周角均为， 上的所有点均为所求的点． 〔3〕如图③，画法如下： 1〕连接； 2〕以为边作等边； 3〕作等边的外接圆，交于点； 4〕在上截取． 那么点为所求． 过点作，交于点． 在中，． ． ． 在中，， ． 在中，， ． ． ．