2023年中考数学复习必备教案第四单元第23课时直角三角形与勾股定理初中数学.docx

2023年中考数学复习必备教案——第四单元第23课时 直角三角形与勾股定理 直角三角形与勾股定理 知识点回忆 知识点一：直角三角形的概念与性质 1．有一个角是 的三角形叫做直角三角形； 2．直角三角形的两个锐角 ； 3．直角三角形斜边上的中线等于 的一半. 例1．〔2023湖北省荆门市〕如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，那么∠A′DB = 〔 〕 〔图1〕 A、40° B、30° C、20° D、10° 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°， ∴∠B=90°－50°=40° 由折叠得∠DA′C=∠A=50°， ∵∠DA′C=∠B+∠A′DB ∴∠A′DB=50°－40°=10°，选D. 例2．假设直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm、12cm，那么它的面积是 cm2. 解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴直角三角形斜边的长为2×12=24cm. ∴直角三角形的面积是×24×10=120cm2. 同步检测一： 1．〔2023年湖南省郴州市〕如图2，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1与∠2的和总是保持不变，那么∠1与∠2的和是_______度． 〔图3〕 〔图2〕 2．如图3，Rt△ABC中，∠B=90°，BD⊥AC于D，点E为AC的中点，假设BC=7，AB=24，那么BE= ，BD= . [来源:学_科_网Z_X_X_K] 知识点二：勾股定理 直角三角形 的平方和等于 的平方． 例3．〔2023年四川省宜宾市〕：如图4，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．假设斜边AB＝3，那么图中阴影局部的面积和为 ． 〔图4〕 解：过点E作ED⊥AB于点D，可证得ED=AB， ∴=AB2， 同理=AC2，=BC2， 从而图中阴影局部的面积和为〔AB2+ AC2+ BC2〕 =〔AB2+ AB2〕=. 例4．〔2023年湖南省衡阳市〕如图5，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，那么AG的长为 〔 〕 〔图5〕 A、1 B、 C、 D、2 解：Rt△DAB中，BD=， 设AG=x，那么BG=4－x 由折叠得A′D=AD=3，A′G=AG=x，∠DA′G=∠A=90°， ∴A′B=BD－A′D=5－3=2，∠GA′B=90°， 从而Rt△GA′B中，x2+22=〔4－x〕2. 解得x=，选C. 同步检测二： 3．如果直角三角形的两条边长分别是3和4，那么该直角三角形斜边上的中线等于 . 〔图6〕 4．〔2023年四川省达州市〕如图6是一株美丽的勾股树， 其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角[来源:学,科,网] 三角形．假设正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、 2、3，那么最大正方形E的面积是 〔 〕 A、13 B、26 C、47 D、94 ★5．〔2023年黑龙江省哈尔滨市〕假设正方形ABCD的边长为4， E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM 交正方形的一边于点F，且BF＝AE，求BM的长. 知识点三：直角三角形的判定方法 1．根据定义：有一个角是 的三角形叫做直角三角形； 2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： ，那么这个三角形是直角三角形，且∠C=90°. 〔图7〕 例5．〔2023年湖南省衡阳市〕如图7，A、B、C分别表示三个 村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义 新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心， 要求这三个村庄到活动中心的距离相等，那么活动中心P的位 置应在 〔 〕 A、AB中点 B、BC中点 C、AC中点 D、∠C的平分线与AB的交点 解：显然到A、B、C三个村庄距离相等的点P应该是AB、BC、AC三边垂直平分线的交点. 又∵BC2+AC2=6002+8002=1000000；AB2=10002=1000000 ∴BC2+AC2=AB2， ∴∠ACB=90°, 由于直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边的中点处，从而活动中心P的位置应在AB的中点处，选A. 例6．如图8，点P是等边△ABC内的一点，分别连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ. 〔1〕观察并猜测AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论； 〔2〕假设PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由. 〔图8〕 〔1〕答：AP=CQ 证：∵△ABC为等边三角形 ∴AB=BC，∠ABC=60° ∵∠PBQ=60° ∴∠ABC=∠PBQ ∴∠ABP=∠CBQ 在△ABP与△CBQ中， ∴△ABP≌△CBQ〔SAS〕 ∴AP=CQ[来源:Zxxk.Com] 〔2〕答：△PQC为直角三角形. 理由是：设PA=3k，那么PB=4k，PC=5k〔k>0〕，CQ=AP=3k ∵BQ=BP，∠PBQ=60° ∴△PBQ为等边三角形〔有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形〕 ∴PQ=PB=4k 又CQ2=9k2，PQ2=16k2，PC2=25k2， ∴CQ2+PQ2=PC2 ∴△PQC为直角三角形，且∠PQC=90°. 同步检测三： 6、〔2023年黑龙江省牡丹江市〕如图9， △ABC中，CD⊥AB于D，以下条件中：①∠1=∠A；②；③∠B+∠2=90°；④BC∶AC∶AB=3∶4∶5；⑤AC×BD=AC×CD，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是 〔 〕 A、1　 B、2 C、3 D、4 7、〔2023年甘肃省定西市〕如图10，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点， 求证：〔1〕△ACE≌△BCD；〔2〕AD2+DB2=DE2. 〔图10〕 〔图9〕 〔图11〕 随堂检测： 1．〔2023年湖南省长沙市〕如图11，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，假设AB=5cm，BC=6cm，那么AD= cm．[来源:学科网ZXXK] 〔图13〕 2．(2023年上海市)如图12，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3， M为边BC上的点，联结AM．如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是 . 〔图12〕 S1 S2 〔图14〕 3．〔2023年贵州省安顺市〕如图13，图甲是我国古代著名的“赵爽弦图〞的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的. 在Rt△ABC中，假设直角边AC＝6，BC＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车〞，那么这个风车的外围周长〔图乙中的实线〕是______.[来源:学。科。网Z。X。X。K] 4．〔2023年浙江省湖州市〕如图14，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，那么S1+S2的值等于 . 5．〔2023年湖北省恩施自治州〕如图15，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 〔　　　〕 A、5 B、25 C、10+5 D、35 〔图15〕 〔图16〕 [来源:学科网] 6．〔2023年浙江省丽江市〕如图16，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 ， l2，l3之间的距离为3 ，那么AC的长是 〔 〕 A、 B、 C、 D、7 7．〔2023年新疆维吾尔自治区〕如图17是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． 〔1〕画出拼成的这个图形的示意图． 〔图17〕 〔2〕证明勾股定理． 8．〔2023年湖北省恩施自治州〕恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险〞著称于世．如图18，著名的恩施大峡谷〔A〕和世界级自然保护区星斗山〔B〕位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一效劳区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图〔1〕是方案一的示意图〔AP与直线X垂直，垂足为P〕，P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图〔2〕是方案二的示意图〔点A关于直线X的对称点是A′，连接BA′交直线X于点P〕，P到A、B的距离之和S2=PA+PB． 〔1〕求S1、S2，并比拟它们的大小； 〔2〕请你说明S2=PA+PB的值为最小；[来源:学,科,网] 〔图18〕 〔3〕拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图〔3〕所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一效劳区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值． 9．〔2023年黑龙江省牡丹江市〕有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m. 现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充局部是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长. 10．〔2023年湖北省咸宁市〕 问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格〔每个小正方形的边长为1〕，再在网格中画出格点△ABC〔即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处〕，如图19中的图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． 〔1〕请你将△ABC的面积直接填写在横线上：__________________ 思维拓展： 〔2〕我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．假设△ABC三边的长分别为a、、〔a>0〕，请利用图19中的图②的正方形网格〔每个小正方形的边长为a〕画出相应的△ABC，并求出它的面积． 探索创新： 〔图①〕 〔图②〕 A C B 〔图19〕 〔3〕假设△ABC三边的长分别为、、〔m>0，n>0，且m≠n〕，试运用构图法求出这三角形的面积． [来源:学x科x网ZxXxXxK] 答案： 知识点回忆的