2023年一元二次不等式及其解法 第课时 一元二次不等式的应用 人教A版必修（教学课件）.ppt

课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练【课标要求课标要求】1会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题 2会将简单的分式不等式化为一元二次不等式求解会将简单的分式不等式化为一元二次不等式求解 3会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，并加以解会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，并加以解 决决【核心扫描核心扫描】1有关不等式恒成立求参数的值或范围问题和分式不等式的有关不等式恒成立求参数的值或范围问题和分式不等式的 解法解法(重点重点)2对实际应用问题如何建立正确的数学模型并加以解决对实际应用问题如何建立正确的数学模型并加以解决 (难点难点)第第2课时课时 一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练 1简单的分式不等式的解法简单的分式不等式的解法 自学导引自学导引 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练(2)别离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：别离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：kf(x)(kf(x)恒成立恒成立kf(x)max(kf(x)max)；kf(x)(kf(x)恒成立恒成立kf(x)min(k0(a0)恒成立恒成立_ax2bxc0恒成立时，试求恒成立时，试求k的取值范围的取值范围 提示：提示：由题意知由题意知 0，即，即 14k14，即，即 k 14，.一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题 a0，0.a0，0，则则 a，b 同号同号，即即 a b0；若若ba0，则则 a，b 异号异号，即即 a b0.基于此基于此，解分式不等式解分式不等式，还还可以将分式不等式转化为整式不等式组求解可以将分式不等式转化为整式不等式组求解 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练 一元二次不等式的实际应用一元二次不等式的实际应用 (1)解不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立解不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解决好不等式应用题最关键合理、恰当的数学模型，这是解决好不等式应用题最关键的一环的一环(2)不等式应用题常常以函数的形式出现，大都是解决现不等式应用题常常以函数的形式出现，大都是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题，在解题中涉及不等实生活、生产、科技中的最优化问题，在解题中涉及不等式解法及有关问题式解法及有关问题(3)不等式应用题主要考查综合运用数学知识、数学方法不等式应用题主要考查综合运用数学知识、数学方法分析和解决实际问题的能力，考查数学建模、解不等式等分析和解决实际问题的能力，考查数学建模、解不等式等数学内容数学内容 2 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练 题型一题型一 分式不等式的解法分式不等式的解法 解以下不等式：解以下不等式：思路探索思路探索 将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组元一次不等式组 【例例1】(1)x3x20；(2)x12x31；(3)2x11x0.课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练 解解 (1)x3x20(x3)(x2)02x3，原不等式的解集为原不等式的解集为x|2x3(2)x12x31，x12x310，x42x30，即即x4x320.此不等式等价于此不等式等价于(x4)x320 且且 x320，解得解得 x32或或 x4.课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练 原不等式的解集为原不等式的解集为 x x32或或x4.(3)由由2x11x0，此不等式等价于此不等式等价于 x12(x1)0，解得解得 x1，原不等式的解集为原不等式的解集为 x x1.课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练 分式不等式的解法分式不等式的解法 先整理成标准型先整理成标准型f x g x 0(0f(x)g(x)0；(2)f x g x 0f(x)g(x)1.解解 (1)原不等式可化为原不等式可化为 2x1 3x1 0，3x10.解得解得 x13或或x12，x13.x13或或 x12，课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练 原不等式的解集为原不等式的解集为 x x0，2xx3或或 x30，2x3，x12或或 x12.3x12，原不等式的解集为原不等式的解集为 x 3x0，化简得化简得2x1x30，即即2x1x30，(2x1)(x3)0，解得解得3x12.原不等式的解集为原不等式的解集为 x 3x12 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练 (2022 抚顺六校联考抚顺六校联考)设函数设函数f(x)mx2mx1.(1)假设对于一切实数假设对于一切实数x，f(x)0恒成立，求恒成立，求m的取值范围的取值范围(2)对于对于x1,3，f(x)m5恒成立，求恒成立，求m的取值范围的取值范围 思路探索思路探索 解答此题的关键是根据题目条件，构造恰当的解答此题的关键是根据题目条件，构造恰当的函数，将不等式问题转化为函数问题来处理函数，将不等式问题转化为函数问题来处理 题型题型二二 不等式的恒成立问题不等式的恒成立问题 【例例2】解解 (1)要使要使 mx2mx10 恒成立恒成立，若若 m0，显然显然10.若若 m0，m0，m24m04m0.4m0.课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练(2)法一法一 要使要使 f(x)m5 在在 x1,3上恒成立上恒成立 就要使就要使 m x12234m60 时时，g(x)是增函数是增函数，g(x)maxg(3)7m60，0m67；当当 m0 时时，60 恒成立恒成立；当当 m0 时时，g(x)是减函数是减函数，课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练 g(x)maxg(1)m60，得得 m6，m0.综上所述综上所述：m67.法二法二 当当 x1,3时时，f(x)m5 恒成立恒成立，即当即当 x1,3时时，m(x2x1)60，又又 m(x2x1)60，m6x2x1.课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练 函数函数 y6x2x16 x12234在在1,3上的最小值为上的最小值为67，只需只需 m67即可即可 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二：方法有二：考虑能否进行参变量别离，假设能，那么构造关于变量考虑能否进行参变量别离，假设能，那么构造关于变量的函数，转化为求函数的最大的函数，转化为求函数的最大(小小)值，从而建立参量的不值，从而建立参量的不等式；等式；假设参变量不能别离，那么应构造关于变量的函数假设参变量不能别离，那么应构造关于变量的函数(如一如一元一次、一元二次函数元一次、一元二次函数)，并结合图象建立参量的不等式求，并结合图象建立参量的不等式求解解 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练 当当a为何值时，不等式为何值时，不等式(a21)x2(a1)x10的的解集为解集为R【变式变式2】解解 当当 a210 时时，a1 或或1.若若 a1，则原不等式为则原不等式为10，恒成立恒成立 若若 a1，则原不等式为则原不等式为 2x10 即即 x12，不合题意不合题意，舍去舍去 当当 a210 时时，即即 a 1 时时，原不等式的解集为原不等式的解集为 R 的条件的条件是是 a210，a1 24 a21 0.解得解得35a120.01x212，即，即x2x210 x10 x1 20001 2000，(2(2分分)解得解得x30 x30，或，或xx100.005x210，即，即x2x210 x10 x2 00002 0000，(8(8分分)解得解得x40 x40，或，或xx50(50(不符合实际意义，舍去不符合实际意义，舍去)，(10(10分分)这说明乙车的车速超过这说明乙车的车速超过40 km/h40 km/h，即超过规定限速，即超过规定限速 (12(12分分)课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练【题后反思】【题后反思】解不等式应用题的步骤解不等式应用题的步骤(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；(3)求解不等式；求解不等式；(4)复原为实际问题复原为实际问题 课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练 国家原方案以国家原方案以2 400元元/t的价格收购某种农产品的价格收购某种农产品m t按规定，农民向国家纳税：每收入按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税元纳税8元元(称作税称作税率为率为 8个百分点即个百分点即8%)为了减轻农民负担，国家制定积极的为了减轻农民负担，国家制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能个百分点，收购量能增加增加2x个百分点，试确定个百分点，试确定x的取值范围使税率调低后，国的取值范围使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原方案的家此项税收总收入不低于原方案的78%.解解 “税率降低“税率降低x个百分点，即调节后税率为个百分点，即调节后税率为(8x)%；“收购量能增加“收购量能增加2x个百分点时，总收购量为个百分点时，总收购量为m(12x%)t，总收购款为，总收购款为2 400m(12x%)元；元；“总收入不低于原方案的“总收入不低于原方案的78%，即税率调低后，税收总，即税率调低后，税收总收入收入2 400m8%78%.设税率调低后的“税收总收入为设税率调低后的“税收总收入为y元，元，【变式变式3】课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练 所以所以y2 400m8%78%，即即44x2.又又0 x8，所以，所以0 x2.所以所以x的取值范围是的取值范围是0 x2.y2 400m(12x%)(8x)%1225m(x242x400)(0 x8)，课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练 运用转化与化归思想可以把分式不等式化成整式不运用转化与化归思想可以把分式不等式化成整式不等式等式(组组)，把高次化成低次，把超越不等式化为代数不等，把高次化成低次，把超越不等式化为代数不等式，把恒成立问题转化为求最值问题等在转化过程中要式，把恒成立问题转化为求最值问题等在转化过程中要注意问题的等价性注意问题的等价性 当当x(1,2)时，不等式时，不等式x2mx40恒成立那么恒成立那么m的的取值范围是取值范围是_ 思路分析思路分析 记记f(x)x2mx4，x1,2，只要，只要f(x)max0即可，问题转化为求二次函数即可，问题转化为求二次函数f(x)x2mx4，x1,2的最值问题的最值问题 解析解析 构造函数构造函数f(x)x2mx4，x1,2，那么，那么f(x)在在1,2上的最大值为上的最大值为f(1)或或f(2)由于当由于当x(1,2)时，不等式时，不等式x2mx40恒成立恒成立 方法技巧方法技巧 转化与化归思想在不等式中的应用转化与化归思想在不等式中的应用 【例如】【例如】课前探究学习课前探究学习 课堂讲练互动课堂讲练互动 活页规范训练活页规范训练 答案答案 (，5 则有则有 f 1 0f 2 0 1m4042m40 m5m4m5.方法点评方法点评 熟练、扎实地掌握根底知识、根本技能、根本熟练、扎实地掌握根底知识、根本技能、根本方法是转化的根底