“归纳与猜想”解决问题——探寻图形的变化规律.pdf

炫动漫素质教育 85“归纳与猜想”解决问题探寻图形的变化规律谢三果湖南省新田县瑞华实验学校 425700摘要：“归纳与猜想”寻找规律，沿事物本身的变化发展，比如图形的变化含生活图景、平面几何、平面直角坐标系诸方面的图形变化，探究解决问题方法，可以提高观察、逻辑推理思维等数学核心能力，以及实践中解决问题的能力。关键词：归纳与猜想 图形 规律 解决问题中图分类号：G4 文献标识码：A“归纳与猜想”是解决探索性问题的一条基本路线。探寻图形的变化规律，更具形象思维性，意境更强。解题的主要思维过程是：入手，特殊情况探索，发现规律综合归纳猜想，得出结论验证，结论。从以下几方面来讨论。一 生活图景中的规律例 11 下面是晋商大院窗格图案的一部分，其中“”表示窗纸上剪贴纸，则第 n 个图中“”的个数为 _。审题 剪纸“”的个数图：2+31 图：2+32图：2+33 图（n):2+3n 所以填：3n+2例 22 阅读下列材料，填空。记第 n（n3）块木板的周长为 an，那么an-an-1=_。分析 各木板的周长21132=+a31112+324=+a311112+2+3248=+a1321112+2+2411+2322nn=+na32111112+2+2421122322nnn=+na2112111222113322nnnn=+=nnaa知识来源于生活、生产的实践中，又服务于实践，尤其是数学知识。XUANDONGMAN素质教育 86 附 1：相关中考题（略）二 平面几何图形中的规律1 一般图形例 3（改创）希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1，3，6，11，15，21，这样的数称为“三角形数”，而把 1，4，9，16，25，36，我们把这样的数叫“正方形数”。由下面的图形可知，一个大于 1 的“正方形数”等于两个相邻“三角形数”之和。请把这种规律用含 n 的代数式表示为：_。图 1 图 2 图 3 图 4分析 从第 2 图起，斜杆左上方与右下方的圆点的数，正好是相连的两个“三角形数”，而两个图形正构成一个正方形，即两个“三角形数”之和等于“正方形数”。故，这 种 规 律 用 含 n（正 整 数）的 式 子 表 示为：()()211=1122nnnn n+附 2：相关中 考题（略）2 三角形例 4（改创）仔细看图中每一个大三角形中的白色小三角形，则第 n 个三角形中的小白三角形有_ 个。分析 观察各个大三角形中亮色三角形的排列规则，并用算式表示出来如下：第 1 个图，小白三角形：1第 2 个图，小白三角形：1+3第 3 个图，小白三角形：1+3+32第 4 个图，小白三角形：1+3+32+33第 n 个图，小白三角形：1+3+32+33+3n-1令 S=1+3+32+33+3n-1 则，3S=3+32+33+3n-得，2S=3n-1 S=312n(n 为正整数)故，第 n 个三角形中的小白三角形有312n个。附 3：相关中考题（略）3 四边形例 5（改 创）如 图，边 长 为 1 的 菱 形 ABCD，60DAB=。以对角线 AC 为边的正方形 ACC1D1；连接 AC1，再 以 AC1 为 边 作 菱 形 AC1C2D2，使2160D AC=；连 接 AC2，以 AC2 为 边 作 正 方 形AC2C3D3，依次类推。求第 n 个四边形的边长。D4C4D3D2C3C2D1C1DCBA审题 根据观察，计算可得，各个四边形边长分别为第 1 个四边形为菱形 1第 2 个四边形为正方形 3第 3 个四边形为菱形 326=第 4 个四边形为正边形 63第 5 个四边形为菱形 ()26326=第 6 个四边形为正方形 ()263第 7 个四边形为菱形 ()()236326=炫动漫素质教育 87 第 n 个四边形：（1）当四边形是菱形时，即 n 为奇数，其边长为()126n；（2）当四边形是正方形时，即 n 为偶数，其边长为()126n。附 4：相关中考题（略）三 平面直角坐标系图形中的规律1 绕着坐标原点转动的发散点例6（原创题）如图，直角坐标系有4条直线分别为：123433,;,3;,3;,33lyxlyxl yx lyx=。以点 A（1，0）为垂足的直线交1l 于 A1；以点 A1为垂足的直线2l 于点 A2；以点 A2 为垂足的直线交 y 轴于点 A3;以点 A3 为垂足的直线交3l 于点 A4；以点 A4为垂足的直线交4l 于点 A5；以点 A5 为垂足的直线交 x轴 于 点 A6；，依 次 类 推，那 么 点 A2021 的 坐标是 _。分析 （1）OA2021 的长度是多少？由题意及图可知，122331233233233OAOAOAOA=由上述可知，20212021233OA=。（2）点 A2021 在哪条直线与哪个象限？从图知，点A、点 A12 在 x 轴正半轴上，202112=1685，所以 A2021 在4l 上，并且在第二象限内。那么，A2021的横坐标为2021202111 2322 3OA=,A2021 的纵坐标为2021202133 23223OA=。故，点 A2021 的 坐 标是202120211 23 23,32 323。附 5：相关中考题（略）2 函数中的规律例7（原创）如图，在单位长度为1的直角坐标系中，一个飞蚁从 O 点出发沿着道路OA1A2A3A4A5An-1An爬行，在各线段的爬行速度均为每秒3，在各曲线的爬行速度均为每秒3。已知，线段的长均为3，曲线每段均是半径为 2，圆心角为 60的圆弧。则蚂蚁经过35 5 时的坐标是 _。分 析 由 于 OA1=A2A3=A4A5=A6A7=A2k-2A2k-1=3,而在线段的爬行速度是每秒3，所以蚂蚁爬行每个线段只用 1 秒；又由于1234562k 1223kA AA AA AAA=，而在圆孤上的爬行速度均为每秒3，所以蚂蚁爬每段孤要用 2 秒。由图知，OA1A2A3A4,A4A5A6A7A8,每个路径是循环的，也就是每经过 6 秒，蚂蚁爬行的路径都一样了，那么，经过 2100,35即时，蚂蚁爬回x 轴，这时蚂蚁的横坐标为21004=14006，到35 5 时，蚂 蚁 所 在 位 置 的 横 坐 标 为 1403，其 纵 坐 标 为()-2-3=3-2。故，蚂 蚁 经 过 35 5 的 坐 标 是 。附 6：相关中考题（略）参考文献12009 山西中考题2201 1-20 12 学年浙江省绍兴市昌安实验学校九年级（下）第一次月考数学试卷（解析版）