Heston模型下DC型养老金鲁棒最优投资问题.pdf

应用概率统计第 39 卷第 4 期2023 年 8 月Chinese Journal of Applied Probability and StatisticsAug.,2023,Vol.39,No.4,pp.531-546doi:10.3969/j.issn.1001-4268.2023.04.005Heston 模型下 DC 型养老金鲁棒最优投资问题郭云瑞梁晓青(河北工业大学理学院,天津,300401)摘要:本文研究在随机工资和模型不确定性影响下确定缴费型养老金的鲁棒最优投资问题.在模型中,养老金账户中的资本可以投资于一种风险资产和一种无风险资产,假设风险资产价格满足 Heston模型.研究目标是通过选择最优投资策略,使得养老金账户的终端相对财富效用最大化.利用随机动态规划的方法,我们求出了在幂效用函数和指数效用函数下鲁棒最优投资策略和相应的值函数.最后,通过 MATLAB 软件对理论结果进行了数值分析.关键词:随机工资;DC 型养老金;模糊厌恶;随机控制中图分类号:O211.6英文引用格式:GUO Y R,LIANG X Q.Optimal investment strategy for a robust DC pension planunder the Heston modelJ.Chinese J Appl Probab Statist,2023,39(4):531546.(in Chinese)1引言2021 年 5 月国家统计局公布了第七次人口普查数据,其中老年人人口占比 18.7%,与2010 年相比,上升了 5.44 个百分点.所以,在未来十几年甚至更长时间内,老龄化将会成为常态.随着人口老龄化的到来,关于养老保险的研究逐渐受到了业界和学术界的广泛关注.养老金计划主要有确定缴费型(defined contribution,DC)和确定收益型(definedbenefit,DB)两种.与 DB 型养老金相比,DC 型养老金能够缓解社会保障体系所面临的压力.在 DC 型养老金计划中,缴费率是提前确定的,给付额的多少依赖于投资回报率,所以投保人承担所有的出资和财务风险.有关 DC 型养老金退休前基金优化管理的研究,一般都是采用退休时刻终端期望效用最大化为目标,求得不同效用函数下的最优投资策略.Thomson1以最大化 DC 型养老金参与者的期望效用为目标,首次利用连续时间随机动态规划方法,得到退休前的最优投资策略.之后,随机控制理论广泛应用到 DC 型养老金投资优化问题中.常用的效用函数主要有两种:常相对风险厌恶效用函数,即幂效用函数24或对数效用函数5,6;常绝对风险厌恶效用函数,即指数效用函数7,8.常浩等9分别考虑了幂效用函数和指数效用下 DC 型养老金的最优投资问题.国家自然科学基金项目(批准号:12271274)、河北省教育厅项目(批准号:QN2020273)和河北省高等学校人文社会科学研究项目(批准号:SD2021010)资助.通讯作者,E-mail:.本文 2021 年 8 月 19 日收到,2022 年 2 月 25 日收到修改稿.532应用概率统计第 39 卷在 DC 型养老金的优化问题研究中,一般都假定风险资产的价格服从几何布朗运动模型(GBM).几何布朗运动的波动率和收益率均为常数,不能有效反应市场的波动性.Xiao等5首次将 CEV 模型引进到养老金优化管理问题中.Gao10在 DC 型养老金最优化问题研究中利用 CEV 模型来描述风险资产价格.尽管 CEV 模型是 GBM 模型的进一步扩展,但是它的回报率仍然是一个常数,其波动率只和股价相关,波动率的弹性系数为常数,仍然存在不足.林祥和杨益非11首次在 DC 型养老金最优问题研究中假定风险资产价格满足Heston 模型,研究了终端期望效用最大化问题.事实上,Heston 模型是一个很好的描述风险资产价格的工具,其波动率和回报率都是随机的.因此,Heston 模型要优于 CEV 模型和GBM 模型.在传统的 DC 型养老金研究问题中,通常将假设的概率测度看作是真实概率测度,进而去研究相关问题.其实我们所假设的概率测度只是真实测度的一个近似,在很多情况下并不能准确地知道真正的测度.因此,用于描述模型的特定测度可能会导致模型的错误,我们将这种由于缺乏概率测度信息而导致的不确定性称为模糊性.为了处理模糊性,Anderson 等12提出了一种鲁棒控制方法,将假定的测度看作是一个参考测度,并考虑一组同参考测度难以区分的替代测度,参考测度和替代测度之间的差异受相对熵的限制,相对熵在优化问题中充当一个惩罚项,表示投资者对待参考测度的模糊程度.Wang 和 Li13首次将模型不确定性引进 DC 型养老金优化模型中,并且考虑了随机利率和波动率的影响.崔璐和荣喜民14在模型的不确定性下研究了带有最低保障的DC型养老金最优投资决策问题.Li 等15研究了在 Alpha 不确定模型下带跳扩散风险的 DC 养老金均方差投资组合问题.由于养老金的投资年限比较长,所以会考虑通货膨胀对其影响,比如张笑怡和郭军义16在通货膨胀下研究了 DC 型养老金的均值方差问题.Baltas 等17研究了通货膨胀率、死亡强度和模型不确定性等因素对 DC 养老金计划投资策略的影响,得到指数效用函数下最优投资策略的显式解.在实际的金融市场中,工资经常随时间变化,将随机工资引入养老金优化问题的研究中是非常必要的.Zhang 等18研究了 CEV 模型下,带随机工资收益的 DC 养老金优化问题.Wang 等19考虑同时带有通货膨胀和随机工资收益模型下 DC养老金投资组合问题.Li 等20研究了 CEV 模型下带有违约风险的 DC 养老金最优均衡投资选择问题.对于养老金计划持有人,他们更在意将退休后收入与退休前工资进行比较.在已有研究 DC 型养老金优化问题文献中,学者常以养老金账户中财富的终端期望效用最大化为目标.在本文中,我们以工资水平为基准,定义了一个相对财富过程.考虑在模型不确定环境下,风险资产满足 Heston 模型时,相对财富过程的终端效用最大化问题.在第 2 节我们对所研究模型进行了详细的介绍.在第 3 节我们提出了相应的鲁棒优化问题.针对幂效用函数和指数效用函数,在第 4 节我们利用 Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)动态规划原理的方法,给出了问题的显示解.在第 5 节我们分别以幂效用函数和指数函数为例,给出了数值例子,分析了不同参数对最优投资策略的影响.第 4 期郭云瑞,梁晓青:Heston 模型下 DC 型养老金鲁棒最优投资问题5332模型介绍2.1金融市场假设金融市场由一个无风险资产和一个风险资产构成,并且是连续开放的、完备的、无摩擦的.定义一个完备的概率空间(,F,P),是真实空间,P 是概率测度.W1(t),W2(t)是定义在该空间上的标准二维布朗运动,F=Ftt0是该空间上右连续的、由布朗运动 W1(t),W2(t)生成的 代数流.假设 t 时刻无风险资产 B(t)满足下面微分方程:dB(t)=B(t)rdt,B(0)=B0,其中参数 r 0 是一个正常数,表示短期利率.假设 t 时刻风险资产价格 S(t)满足下面随机微分方程(Heston 模型):dS(t)=S(t)r+Z(t)dt+Z(t)dW1(t),其中 0 为常数,Z(t)满足下面随机微分方程(CIR 模型):dZ(t)=k Z(t)dt+Z(t)dW3(t),其中 k,为正常数,满足 2k 2,并且布朗运动 W1(t)和 W3(t)存在相关性,相关系数 1,1,即 W3(t)=W1(t)+W2(t)1 2.在 DC 型养老金中投保人在退休前的工资收益是随机的,并持续地将其工资收入的固定比例缴纳到养老金账户中,假设随机工资 L(t)满足下面随机微分方程:dL(t)L(t)=r+(t)+LZ(t)dt+LZ(t)dW1(t),其中(t)是关于 t 的确定函数,L是波动率因子,用来衡量股票风险是如何影响工资的.2.2养老金财富过程假设 X(t)是养老金账户在 t 0,T 时刻的财富值,同时投资到风险资产和无风险资产的比例分别是(t),1 (t),假设缴费率 是常数,则养老金账户中财富的动态变化满足下面的随机微分方程:dX(t)=X(t)(t)dS(t)S(t)+1 (t)dB(t)B(t)+L(t)dt=X(t)r+(t)Z(t)+L(t)dt+X(t)(t)Z(t)dW1(t).在退休时刻,养老金计划持有人通常会考虑其退休后的生活标准问题,因此更看重相对于退休前工资的退休后收入,所以本文将工资作为基准研究养老金的相对财富过程.定534应用概率统计第 39 卷义相对财富过程为 M(t)=X(t)/L(t).通过伊藤公式和乘积法则,我们得到 M(t)满足如下随机微分方程:dM(t)=M(t)(t)Z(t)(t)LZ(t)+2LZ(t)LZ(t)(t)+dt+M(t)Z(t)(t)LdW1(t).3鲁棒优化问题在传统的 DC 型养老金投资问题中,投资者通常被假设是模糊中性的,也就是说对待假设的概率测度是完全信任的,实际上投资者并不能确切地知道真实的概率测度,我们所知道的概率测度只是真实测度的近似.因此,用特定概率测度来描述模型会导致一定错误.对于模糊厌恶型投资者的最优投资问题,我们考虑在测度 P 的参考下,寻找同 P 等价的测度 Q,即 =Q|P Q.根据 Girsanov 定理,对于每个和 P 等价的测度 Q 都存在一个可测的过程 =(1(t),2(t),t 0,T),被称为概率失真过程,使得dQdP?Ft=,其中=expt01(t)dW1(s)12t01(t)2ds+t02(t)dW2(t)12t02(t)2ds.如果 =(1(t),2(t),t 0,T)满足 EPexp21T021(t)+22(t)dt 0.在指数效用函数下,我们定义i(t,m,z)=kiqV(t,m,z),i=1,2;ki 0,i,ki,i=1,2 表示模糊厌恶参数.1,k1表示关于股价的模糊厌恶水平,2,k2表示股票波动率的模糊厌恶水平.我们称 =(t)t0,T为可允许策略,如果满足下面条件:(i)对任意的 t 0,T,(t)关于 Ft循序可测;(ii)EQt,m,zT0M(t)2Z(t)(t)L2dt ;(iii)对于任意的(t,m,z)0,T R R,等式(1)有唯一的解 M(t)并且EQt,m,zU(M(t)1 为常相对风险厌恶系数,为了计算方便,定义C1,2,2(0,T R R)=w(t,m,z):w(t,m,z)C1,2,2(0,T R R),536应用概率统计第 39 卷即 w 关于 t 一阶连续可导,w 关于 m,z 二阶连续可导.定义 Hamiltonian 算子Aw(t,m,z)=wt+m(t)z (t)Lz+2Lz Lz(t)+mz(t)L1wm+k(z)+z(1 22+1)wz+12m2z(t)L2wmm+122zwzz+mz(t)Lwmz,其中 wt,wm,wz,wmm,wzz,wmz是 w 关于相应变量的偏导.根据随机控制动态规划理论,可推出值函数满足如下 HJB 方程:supinfQAV(t,m,z)+2121+2222=0.假设上述 HJB 方程有以下形式的解:J(t,m,z)=m+h(t)11 g(t,z),(2)且满足 h(T)=0,g(T,z)=1.由一阶最优条件可知 1,2分别为1(t,m,z)=mz(L)Jm1 z Jz1(1 )J,(3)2(t,m,z)=z1 2Jz2(1 )J.(4)将式(3)和(4)代入 HJB 方程有:Jt+supm(t)z(t)(t)Lz(t)+2Lz(t)Lz(t)(t)+Jm+k z(t)Jz+12m2z(t)(t)L2Jmm+122z(t)Jzz+mz(t)(t)LJmzmz(t)(t)LJm+z(t)Jz212(1 )J2(1 2)z(t)J2z22(1 )J=0.(5)另一方面,由 的一阶微分条件,可知(t,m,z)=(L)Jm+Jmz+mLJ2m1(1 )J1 mLJmm 1JmJz(1 )J1mJ2m1(1 )J1 Jmm1,(6)将 的表达式(6)代入上式(5),有Jt+m(t)Lz(t)+2Lz(t)+Jm+k z(t)Jz第 4 期郭云瑞,梁晓青:Heston 模型下 DC 型养老金鲁棒最优投资问题537+12m2z(t)2LJmm+122z(t)Jzz mz(t)LJmzm2z2LJ2m12(1 )J2z(t)2J2z12(1 )J+mz(t)LJmJz1(1 )J2z(t)(1 2)J2z22(1 )J+z(t)(L)Jm+Jmz+mLJ2m1(1 )J1 mLJmm JmJz1(1 )J122J2m1(1 )J1 Jmm1=0.(7)将式(2)关于变量求一阶和二阶偏导如下:Jt=gt(m+h)11 +g(m+h)ht,Jm=g(m+h),Jz=gz(m+h)11 ,Jmm=g(m+h)1,Jzz=gzz(m+h)11 ,Jmz=gz(m+h).将J及其偏导数代入等式(7)得到gtm+h1 +ght+m(t)Lz+2Lz+g+k(z)m+h1 gz12m2z2Lg(m+h)1+122zgzzm+h1 mLzgzm2z2Lg12(m+h)+mzL1gz1 2z(m+h)1g2z22(1 )2g2z(m+h)2g2z(1 2)2(1 )2g+z(m+h)(L)g+gz+mLg(m+h)1(1+)1gz(1 )122(1+)g=0.(8)假设g(t,z)=eg1(t)z+g2(t),(9)且满足 g1(T)=g2(T)=0.将函数 g 关于 t,z 求偏导,我们得到gt=g(g1tz+g2t),(10)gz=gg1,gzz=gg21.(11)将等式(9)(11)代入等式(8)可得(g1tz+g2t)m+h1 +ht+m(t)Lz+2Lz+k(z)m+h1 g112m2z2L(m+h)1+122zm+h1 g21 mLzg1m2z2L12(m+h)2z21(m+h)g212(1 )22z(1 2)2(m+h)g212(1 )2+mLzg111 +z(m+h)(L)+g11 1(1 )1+mL(m+h)1(1+)22(1+)=0.(12)538应用概率统计第 39 卷进一步分析等式(12),我们得到m+h1 zg1t kg1+122g21+L+g11 1(1 )12(1 )2(1+)1222g21(1 2)1 1221g2121 +m+h1 g2t+kg1(1 )(t)+ht+(t)h+=0,即g1t kg1+122g21+L+1 1(1 )1g12(1 )2(1+)1222(1 2)g211 12212g211 =0,g2t+kg1(1 )(t)=0,ht+(t)h+=0.根据相应的边界条件求解上述方程,可得g1(t)=v1v2(1 e2(v1v2)(Tt)v2 v1e2(v1v2)(Tt),(13)g2(t)=Ttkg1(s)(1 )(s)ds,(14)h(t)=Ttest(y)dyds,(15)其中1=(L)1 1(1 )1(1 )1+k,2=1221(1 2)21 211 +21 1(1 )121+,3=(L)2(1 )2(1+),v1,2=121 42322.由 1,1 0(i=1,2),可推出 2 0 3,因此 21 423 0.总结以上结果,根据文献 21 中的推论 1.2 和文献 22 中的定理 6.1,我们得到如下验证定理:定理 1当模型参数满足一定条件时,鲁棒最优投资模型在幂效用函数下的值函数V(t,m,z)等于函数 J(t,m,z),J(t,m,z)=m+h(t)11 eg1(t)z+g2(t).第 4 期郭云瑞,梁晓青:Heston 模型下 DC 型养老金鲁棒最优投资问题539相应最优投资策略为(t,m)=m+h(t)L+g1(t)1 1(1 )1m(1+)+L,最坏情形的测度为1(t,z)=z 1 L+g1(t)1 1(1 )11+g1(t)1 ,2(t,z)=z g1(t)21 21 ,其中,函数 gi(t),i=1,2,h(t)的值由式(13)(15)给出.4.2指数效用函数在这一节,我们假设养老金计划持有人的效用函数是一个指数函数,即U(m)=1qeqm,0 q 1.我们的目标是在可替代测度下寻找一个鲁棒投资策略 最大化相对终端财富效用U(M(T).与幂效用情形相同根据动态规划原理,我们推导出值函数满足如下 HJB 方程:supinfQAV(t,m,z)+2121+2222=0.(16)假设 J(t,m,z)是 HJB 方程(16)的解,由一阶最优条件可知 1,2分别为1(t,m,z)=mz(t)LJmk1+z Jzk1qJ,2(t,m,z)=z1 2Jzk2qJ.将上式代入 HJB 方程,得到Jt+supm(t)z(t)(t)Lz(t)+2Lz(t)Lz(t)(t)+Jm+k z(t)Jz+12m2z(t)(t)L2Jmm+122z(t)Jzz+mz(t)(t)LJmz+mz(t)(t)LJm+z(t)Jz2k12qJ+2z(t)(1 2)J2zk22qJ=0.(17)将上式关于 求导,得到 的一阶微分条件(t,m,z)=Jm LJm mLJmm+Jmz mLJ2mk1(qJ)1+JmJzk1(qJ)1mJmm+J2mk1(qJ)1.540应用概率统计第 39 卷将 代入等式(17)有Jt+m(t)Lz(t)+2Lz(t)+Jm+k z(t)Jz+12m2z(t)2LJmm+122z(t)Jzz mz(t)LJmz+m2z(t)2LJ2mk12qJ+z(t)22J2zk12qJmz(t)LJmJzk1qJ+2z(t)(1 2)J2zk22qJz(t)Jm LJm mLJmm+Jmz mLJ2mk1(qJ)1+JmJzk1(qJ)122Jmm+J2mk1(qJ)1=0.(18)为求解上式,推测解具有如下形式:J(t,m,z)=1qeqg1(t)m+g2(t,z),并且满足 g1(T)=1,g2(T,z)=0.将 J 关于变量 t,m,z 求偏导,得到Jt=q(g1tm+g2t)J,Jm=qg1J,Jz=qg2zJ,Jmm=q2g21J,Jzz=(q2g22z qg2zz)J,Jmz=q2g1g2zJ.将上面关于 J 的偏导数代入到等式(18),我们得到(g1tm+g2t)m(t)Lz(t)+2Lz(t)+g1 k z(t)g2z+12m2z(t)2Lqg21+122z(qg22z g2zz)mz(t)qLg1g2z+m2z2Lg21k12+2z2g22zk12 mz(t)k1Lg1g2z+2z(1 2)g22zk22z(+L mLqg1+qg2z mLg1k1+g2zk1)22(k1+q)=0.(19)猜测 g2(t,z)有如下表达式:g2(t,z)=g3(t)z+g4(t),(20)并且满足 g3(T)=g4(T)=0.将函数 g2关于 t,z 求偏导g2t=g3tz+g4t,g2z=g3,g2zz=0.(21)将等式(20)、(21)代入方程(19),有(g1tm+g3tz+g4t)m(t)Lz+2Lz+g1 k(z)g3+12m2z2Lqg21+122zqg23 mzqLg1g3第 4 期郭云瑞,梁晓青:Heston 模型下 DC 型养老金鲁棒最优投资问题541+m2z2Lg21k12+2z2g23k12 mzk1Lg1g3+2z(1 2)g23k22z+L+g3(q+k1)(q+k1)mLg122(k1+q)=0.将上述方程分离带有 m,z 的项,我们得到 mg1t(t)g1 (g4t+g1+kg3)zg3t kg3122qg23122k12g23+12(1 2)k2g23+L1+(k1+q)g322(k1+q)=0.因此,我们得到以下方程:g1t(t)g1=0,g3t k (L)g3122q+122k12+122k2(1 2)+12(k1+q)g23+(L)22(k1+q)=0,g4t+g1+kg3=0.根据相应的边界条件求解上述方程,可得g1(t)=eTt(s)ds,(22)g3(t)=v1v2 v1v2e2(1v2)(Tt)v2 v1e2(v1v2)(Tt),(23)g4(t)=Ttg1(s)+kg3(s)ds,(24)其中1=k+(L),2=122q 122k12122k2(1 2)12(k1+q),3=(L)22(k1+q),v1,2=121 42322.由于 0 q 1,1 0(i=1,2),可以推得 3 0 2,因此 21423 0.总结以上结果,类似幂效用函数的情形,我们得到如下验证定理:定理 2当模型参数满足一定条件时,鲁棒最优投资模型在指数效用函数下的值函数V(t,m,z)等于函数 J(t,m,z),J(t,m,z)=1qeqg1(t)m+g2(t,z).542应用概率统计第 39 卷相应最优投资策略为(t,m)=L(q+k1)g3(t)m(q+k1)g1(t)+L,最坏情形的测度为1(t,z)=z k1+L+(q+k1)g3(t)q+k1 zg3(t)k1,2(t,z)=z1 2g3(t)k2,其中函数 gi(t),i=1,2,3,4 的值由式(22)、(20)、(23)、(24)给出.5数值分析在数值算例中,我们首先考虑幂效用函数下模糊厌恶系数 1,2,风险厌恶参数,工资参数(t),缴费率,投资期限 T,均值回复系数 k 和预期收益率 对投资策略的影响.为方便数值模拟,假设 t=0,(t)=是恒定的.具体参数取值如下:r=0.05,k=5,=0.25,=0.0169,=0.01,=3,L=0.5,=2,1=1.5,2=1,T=10,t=0,=0.1,L0=1,X0=4,=0.4.图 1模糊厌恶参数 1和缴费率 对最优投资比例的影响图 2模糊厌恶参数 1和风险厌恶系数 对最优投资比例的影响图 1 显示了模糊厌恶参数 1和缴费率 对最优投资策略的影响.可以看出随着 1和 的增加,股票的投资比例在降低.当 1的增加时,基金管理者对待股票的价格更加模糊,因此通过降低对股票的投资比例来降低风险.当缴费率 增大时,所缴纳的保费会增加,基金管理者更倾向于投资高风险的资产来获取高收益.图 2 显示了模糊厌恶参数 1和风险厌恶系数 对最优投资策略的影响.随着参数 增加,基金管理者变得更加厌恶风险,因此更加愿意接受风险较低的投资.第 4 期郭云瑞,梁晓青:Heston 模型下 DC 型养老金鲁棒最优投资问题543图 3模糊厌恶参数 2对最优投资比例的影响图 4增值率 和投资期限 T 对最优投资比例的影响图 3 显示了模糊厌恶参数 2对最优投资策略的影响.可以明显看出,当参数 2增加时,股票的投资比例降低,这是因为当 2增加时,基金管理者对股票的波动率更加模糊,因此他/她会通过降低股票的投资比例来降低风险.图 4 显示了增值率 和投资期限 T 对鲁棒最优投资策略的影响.当投保人有更多的工资收入时,所缴纳的保费会增加,基金管理者会在风险资产上投入更多的财富以获取更高的利润.因此,当 增长时,股票的投资比例增长.同样,当投资期限加长时,基金管理者也会在风险资产上投入更多的财富来获取更高的利益.图 5回复系数 k 对最优投资比例的影响图 6预期收益率 对最优投资比例的影响图 5 显示了均值回复系数 k 对鲁棒最优投资策略的影响.随着参数 k 的增加,股票的投资比例不断降低,这是因为当参数 k 增加时,股票的波动率风险变大,基金管理者是风险厌恶的,因此投资到股票中的资产在减少.图 6 显示了预期收益率 对鲁棒最优投资策略的影响.随着 的增加,股票的投资比例增加,这是因为当 增加时,股票的预期收益增加,基金管理者为了获取更高的收益,会加大对股票风险的投资.544应用概率统计第 39 卷接下来我们考虑指数效用函数下模糊厌恶参数 k1,k2,风险资产预期收益率 和均值回复系数 k 对最优投资策略的影响,其中 k1=2,k2=1,q=0.5,其他参数与幂效用函数下的取值相同.图 7模糊厌恶参数 k1对最优投资比例的影响图 8模糊厌恶参数 k2对最优投资比例的影响图 9风险资产预期收益率 对最优投资比例的影响图 10均值回复系数 k 对最优投资比例的影响图 7 和图 8 显示了模糊厌恶参数 k1,k2对鲁棒最优投资策略的影响.可以看出随着k1,k2的增加,股票的投资比例降低.这是因为当 k1,k2增加,基金管理者对待股票的价格更加模糊,因此通过降低对股票的投资比例来降低风险.图 9 和图 10 显示了预期收益率 和均值回复系数 k 对鲁棒最优投资策略的影响.与幂效用情形类似,我们得到随着预期收益率 的增加,股票的投资比例增加,随着均值回复系数 k 的增加,股票的投资比例降低.6总结在传统的养老金优化问题的研究中,通常假设投资者和基金管理者对待特定的概率测度是完全信任的,这与实际不符,我们所假设的概率测度只是真实概率测度的近似,所以将第 4 期郭云瑞,梁晓青:Heston 模型下 DC 型养老金鲁棒最优投资问题545概率测度的模糊性引进养老金模型中更具有实际意义.本文分析了在资产价格满足 Heston模型的基础上,考虑随机工资,并将随机工资作为基底,定义了相对财富过程,并进一步研究在幂效用函数和指数效用函数下与相对财富相关的鲁棒优化问题.参考文献1 THOMSON R J.The use of utility functions for investment channel choice in defined contributionretirement funds.II:a proposed systemJ.British Actuar J,2003,9(4):903958.2 BOULIER J F,HUANG S J,TAILLARD G.Optimal management under stochastic interest rates:the case of a protected defined contribution 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an optimal robust investment problem for a defined contribution DC pensionplan with stochastic income and model uncertainty.In the model,the pension account is allowed to investinto a risky asset and a risk-free asset,and the dynamic of the price of risky asset follows a Heston model.The objective of the problem is to maximize the expected utility of the terminal relative wealth by choosingadmissible investment strategies.By using the stochastic control dynamic programming approach,we findthe robust optimal investment strategy and the corresponding value function when the utility function hasthe power or the exponential form,respectively.At last,we show a numerical example to further analyzethe theoretical results through the MATLAB software.Keywords:stochastic income;DC pension fund;ambiguity aversion;stochastic control2020 Mathematics Subject Classification:93E20;91G30;60H15