新型电力系统中高压感应电机起动过程不同算法的对比研究.pdf

第6 0 卷第7 期2023年7 月15 日电测与仪 表Electrical Measurement&InstrumentationVol.60 No.7Jul.15,2023新型电力系统中高压感应电机起动过程不同算法的对比研究白晶，张志坚,王卫，周运斌,张绍峰（国网北京市电力公司，北京10 0 0 31）摘要：电力行业碳排放是我国碳排放的主要组成部分，为实现“双碳”目标，建设低碳新型电力系统成为必然趋势。然而大量新能源导致电力系统过载能力低，大型感应电机起动可能导致设备脱网，对系统稳定带来不利影响。因此大型电机起动过程高效精确的计算对新型电力系统暂态时域仿真尤为重要。从精度、稳定性和仿真效率等角度对比研究了传统显式欧拉、隐式欧拉、隐式梯形、龙格库塔四种算法，其中隐式梯形法同时具备精确高效的优点，但采用大步长时易出现数值振荡问题。在此基础上，提出了一种改进梯形高效稳定算法，对传统隐式梯形法引人可变参数,并确定了使算法可靠收敛的参数最优区间。相比传统梯形法，该算法能够基本不增加计算复杂度的同时有效解决数值振荡问题。以一台6 0 0 kW电机起动为例,验证了采用改进算法没有数值振荡问题，表明改进梯形法的有效性和可行性，为低碳新型电力系统高效仿真算法的选择提供参考。关键词：感应电机起动；新型电力系统；数值振荡；改进梯形法D0I:10.19753/j.issn1001-1390.2023.07.011中图分类号：TM346Comparative study on different algorithms of starting process of high voltageAbstract:The carbon emission of the power industry is the main component of carbon emissions in China.To achieve thedouble carbon goal,it is an inevitable trend to build a novel low-carbon power system.However,a large number of newenergy sources lead to low overload capacity of the power system.The starting of large induction motors may lead to equip-ment disconnection,which will adversely affect the stability of the system.Therefore,the efficient and accurate calcula-tion of large motor starting process is particularly important for the transient time domain simulation of novel power system.In this paper,traditional explicit Euler,implicit Euler,implicit trapezoid and Runge Kutta algorithms are compared andstudied from the aspects of accuracy,stability and simulation efficiency.The implicit trapezoid algorithm has the advanta-ges of accuracy and efficiency,but it is easy to cause numerical oscillation with large time step.On this basis,an im-proved trapezoidal efficient stability algorithm is proposed,variable parameters are introduced into the traditional algo-rithm,and the optimal parameter interval for reliable convergence of the algorithm is determined.Compared with the tradi-tional trapezoidal method,the algorithm can effectively solve the numerical oscillation problem without increasing the com-putational complexity.Taking a 600 kW motor starting as an example,it is verified that the improved algorithm has no nu-merical oscillation problem,which shows the effectiveness and feasibility of the improved trapezoidal method,and providesa reference for the selection of efficient simulation algorithms for novel low-carbon power system.Keywords:induction motor starting,novel power system,numerical oscillation,improved trapezoidal method0引言我国能源燃烧占全部碳排放的8 8%左右，电力碳基金项目：国家电网有限公司科技项目（5 10 0-2 0 2 1110 2 5 A-0-0-00)一7 0 一文献标识码：Ainduction motor in novel power systemBai Jing,Zhang Zhijian,Wang Wei,Zhou Yunbin,Zhang Shaofeng(State Grid Beijing Electric Power Company,Beijing 100031,China)文章编号：10 0 1-139 0(2 0 2 3)0 7-0 0 7 0-0 7排放占全社会碳排放四成左右。在“双碳”目标的背景下，传统电力系统向低碳新型电力系统的转型刻不容缓。在新型电力系统中，高压大功率感应电机是电力系统及工业用户中最重要的负荷，尤其是在电厂辅机第6 0 卷第7 期2023年7 月15 日系统、钢铁冶炼、矿石开采等工业领域。目前我国大容量电动机的数量已达到2 0 0 0 万台，并且需求仍在逐年递增。感应电机全压直接起动时的电流为额定电流的47倍，对于大容量电机，起动电流可达5 0 0 0 A甚至更大1-3。过大的起动电流会产生很大的焦耳热，损伤绕组绝缘，缩短电机寿命，同时会造成电网显著的电压降落,对系统稳定性带来不利影响4。尤其随着风电、光伏等新能源大量接人，导致系统抗扰性弱、过载能力低。大型感应电机起动时的电压下降有可能导致设备脱网，给系统稳定带来不利影响。为了掌握大型电机起动对电网的影响，便于运行调度人员做出合理判断，研究感应电机起动过程的高效、精确仿真算法对电力系统仿真是很有必要的5 9 已有大量文献针对感应电机起动暂态过程开展了深入研究。例如，文献10 采用内点算法通过电机铭牌数据计算得到电阻、电抗等参数，并对不同电机的起动性能开展对比研究。文献11计及了起动过程中集肤效应对电机参数的影响，并利用龙格库塔法对电机起动过程进行仿真分析。在电力系统及电机的仿真算法方面，目前主要算法包含经典积分算法和新型积分算法两类。前者分为欧拉法、隐式梯形法、龙格-库塔（R-K）法；后者包含Taylor级数法、配点法等方法12-16。已有文献对仿真算法开展了大量研究，但仍存在以下问题有待解决：（1)以往文献多采用单一算法仿真电机起动过程，少有文献针对不同算法的计算结果进行对比；(2)部分算法由于没有阻尼特性，在计算中可能出现数值震荡问题，不利于电力系统的准确分析。为解决该问题,文献17 在隐式梯形法的基础上增加了加权系数，提出阻尼梯形法。文献18 将隐式梯形法与强阻尼的隐式欧拉法结合，提出了临界阻尼调整法。然而，上述算法在解决数值振荡问题的同时可能降低算法精度。文章针对新型电力系统中感应电机起动过程分析了显式欧拉、隐式欧拉、隐式梯形及龙格库塔法四种算法在精度、仿真效率等方面的差异，揭示了电机进人稳态发生数值振荡时隐式法的迭代过程，为解决数值振荡问题,提出了包含可变参数的改进梯形法，确定了参数的最优区间。该算法能在不降低原算法精度的前提下使算法可靠收敛。文章提供了一种能够和电力系统仿真程序接口的高稳定性算法，研究成果为低碳新型电力系统仿真算法的选择提供了重要参考。1仿真算法基本理论电力系统数学模型如式（1）所示：Ly(x)=yo电测与仪 表Electrical Measurement&Instrumentation式中y表示系统状态变量；x表示时间；d/dx表示微分算子。目前常用的数值算法包含显式欧拉法、隐式欧拉法、隐式梯形法和四阶龙格库塔法，上述四种算法的迭代公式如式（2）式（5）所示：Y+1=yn+hf(xn,y,)Yn+1=yn+hf(x+1,yn+1)yn+1=yn+2f(xn,y,)+f(xn+1,y+1)hyn+1=yn+(k,+2kz+2ks+ka)6=f(xn,yn)x+h+2hLka=f(x,+h,y,+hg)式中h为仿真步长。上述算法可由式(6）、式（7)表示：yn+I=yn+hZb.k;i-1rki=f(xn,yn)kz=f(x,+czh,yn+az/hk,)Lhs=f(x,+csh,y,+athi+ah,)将公式中的系数A、b、c 按一定顺序排列,可得四种算法的Butcher 表如图1所示(i1。0A06T(a)显式欧拉法0011/21/2(c)隐式梯形法图1四种典型算法的Butcher 表Fig.1Butcher tables for four typical algorithms该形式具有紧凑、清晰的特点，并且易于后续对算法精度及稳定性的进一步分析,利用图1中的A、b、c 矩阵可直接验证算法的精度、计算稳定函数。显式欧拉法是求解微分代数方程（DifferentialAl-gebraic Equations，D A E)问题的基础方法。由图2 能直观看出,该算法的基本思想是将平滑曲线分段近似为多段折线，简单地取切线的端点作为下一步的起点计(1)算。其局限性在于计算步数增大时，误差会逐渐积累一7 1一Vol.60 No.7Jul.15,2023(2)(3)h(4)h(5)(6)(7)000101101(b)隐式欧拉法001/21/21/201/21/20011/21/6 1/3 1/3 1/6(d)龙格库塔法第6 0 卷第7 期2023年7 月15 日而不断变大,且无法采用较大仿真步长，限制了高效仿真中的应用。图2 显式欧拉法求解示意图Fig.2 Solution schematic diagram of explicitEuler method隐式欧拉法又称为后退欧拉法，与显式欧拉法不同,该算法在微分方程与代数方程联立求解时，有利于消除交接误差,且稳定性更好,能够采用较大步长。但其计算精度与显式欧拉法相同，仅为一阶精度。该算法常见于开源程序，例如MATLAB平台的PAST仿真工具采用了该算法，而商业软件中较少使用。将式(2)和式(3)相加可得式（4）,即隐式梯形法。该算法对刚性系统具有很强的适应性，适用于电力系统动态稳定仿真，且计算精度和数值稳定性均优于欧拉法。该算法在PSD和PSASP等商业软件中已有十分广泛的应用。龙格库塔法是一类高精度算法,具有诸多变形，目前常指的龙格库塔法为经典四阶龙格库塔法，该算法精度高，但稳定域较小，不适合进行刚性系统的仿真计算。每个步长需要计算四次，因此相比前述算法需要更长计算时间,并且在步长较大时精度明显下降，甚至出现不稳定的现象。以下从计算精度和数值稳定性两方面对上述算法进行对比分析。(1)算法精度分析。定义精确解与数值解的差y（x n+1）-y n+1为局部截断误差T+1,若T，+1是仿真步长h的p+1阶无穷小0(hp+I）,则称该算法是p阶精度的算法,阶数p越大，说明算法精度越高。利用图1中各算法的Butcher表可以方便地得到算法的精度，如式（8）式（11）所示2 0 1一阶精度。br.e=1二阶精度：bT.C e=12三阶精度：1br.C.Ce=3一7 2 一电测与仪 表Electrical Measurement&InstrumentationbT.A.Ce=6由式（8）式（11)可知,显式欧拉、隐式欧拉法为数值解一阶精度;隐式梯形法为二阶精度。而四阶龙格库塔法为四阶精度,具有最好的精确性。y=(x)(2)算法稳定性分析。精确解当仿真步长过大时，数值解将明显偏离真解或出X4现振荡现象，研究上述现象的重要手段是考察算法的稳定函数和稳定域。稳定函数R(z)的计算方法如式(12)所示2 0 det(I-z:A+z:e:b)R(z):det(I-z:A)式中1为单位矩阵;z=hm;h是步长;n是式（13）的系数。y=ny,Re(n)0经推导可得各算法稳定函数如下所示：R,(z)=1+z1R2(z)1-21+z/2R;(z)1-z/21R4(z)=1+z+Z2I R(2)/1算法稳定域可以直观说明稳定性。通过式（18）可求得各算法稳定域边界，如图3所示，图中箭头方向所指区域为算法的稳定域。4隐式梯形法2龙格库塔法隐式欧拉法显式欧拉0法-2.-4-4图3各算法的稳定域Fig.3 Stability domain of each algorithm(8)可见，显式欧拉法的稳定域是以（-1,0)为圆心的圆内部，隐式欧拉法的稳定域是以（1,0 为圆心的圆外(9)部,梯形法的稳定域为整个左半平面,龙格库塔法的稳定域包含部分左半平面。进一步分析可知，显式欧拉法稳定域小，在仿真时(10)易出现数值不稳定问题；隐式欧拉法稳定域包含部分Vol.60 No.7Jul.15,2023(11)(12)(13)(14)(15)(16)114十一624-20Re(2)(17)(18)24100第6 0 卷第7 期2023年7 月15 日右半复平面，可能将系统原本不稳定状态给出错误的稳定计算结果；隐式梯形法稳定域仅包含左半复平面，能够最准确地仿真系统稳定性；四阶龙格库塔法仅包含部分左半平面，该算法虽然精度高，但稳定性较差。表1对比了上述四种算法的差异,其中A稳定性指算法的稳定域包含整个左半平面。由表可知，隐式梯形法计算精度较高，稳定性好，且计算步骤比龙格库塔法简便，是较好的数值算法。表1各数值算法对比Tab.1Comparison of various numerical algorithms算法名称是否满足A稳定性隐式1阶显式欧拉法隐式欧拉法隐式梯形法龙格库塔法2算法仿真对比2.1起动过程仿真步骤为直观体现第2 节算法在仿真电机起动过程中精度及效率的差异，以一台10 kV、6 0 0 k W 感应电动机为例，对空载全压起动过程进行仿真。为了提高仿真效率,增大仿真步长，此处采用感应电机一阶机械暂态模型2 1。状态变量初值为零，表示电机由静止全压起动。对全压起动过程进行仿真，起动步长取0.0 1s，与采用BPA软件进行电力系统暂态仿真的步长相同2。为避免算法发散，指定隐式法仅迭代两次。电机具体参数如表2 所示。表2 电机参数表Tab.2IMotor parameter table电机参数数值定子电阻/Q4.523转子电阻/Q0.927定子漏感/H0.048转子漏感/H0.059励磁电感/H1.331各算法的计算流程如下所示：(1)输人电机参数以及步长h、迭代精度L等计算参数，并设定变量初值；(2)对于显式算法按式（2)或式(5)计算yn+1;并跳至步骤(6);对于隐式算法采用显式欧拉法计算迭代初值y(0)=y,+hf(xn,y,);(3)按式(3)或式(4)进行一次送代,计算y：（4）重复步骤（3），直至满足迭代精度要求：yn+1电测与仪表Electrical Measurement&Instrumentation(5)将满足步骤（4)的y(t1近似认为是精确解即（6)重复步骤（2）,继续计算下一个点yn+2，直至完成整个仿真过程。2.2 算例分析各算法计算的定子电流有效值如图4所示，转速局部图如图5 所示，表3对比了各算法仿真耗时。由表3数据可知,对比不同算法的仿真效率，显式欧拉法仿真耗时为1.0 1s,速度最快；隐式欧拉法耗时较长，达到1.8 5 s;隐式梯形法耗时1.7 6 s。而龙格库塔法耗时长,达到 2.0 1 s。算法类型计算精度隐式1阶显式2阶显式4阶Vol.60 No.7Jul.15,2023300显式欧拉隐式欧拉是隐式梯形龙格库塔200是否0图4各算法定子电流有效值对比Fig.4Comparison of effective values of statorcurrent for various algorithms31002900250023000.8图5 转速局部图Fig.5 Partial map of rotational speed由图4、图5 结果可知，使用显式欧拉、隐式欧拉及隐式梯形法时，电流及转速曲线在即将进入稳态出现了不同程度的振荡现象，且与精确值偏差较大。而龙格库塔法的计算结果没有上述数值振荡现象。下面以隐式梯形法为例分析产生数值振荡的原因。由于机械暂态模型状态变量只有电机转速,因此着重分析电机转速的计算过程。转速在同步速30 0 0rpm附近的迭代过程如图6 与表3所示。由表4中数据可知，在0.9 3s时，转速与同步速偏差+2 4.6 4rpm，而0.9 4s时,偏差达到了-43.7 3rpm,与同步速偏差越来越大,造成了在接近稳态时收敛困难。可见采用隐式法时使用大步长，当电机进人稳态时转速迭代值一7 3一0.4Q9t/s08t/s11.2显式欧拉隐式欧拉隐式梯形龙格库塔1.1(20)第6 0 卷第7 期2023年7 月15 日在同步速附近来回振荡，且偏离同步速逐渐变大，导致不收敛。30403000ud./2960F2920图6 隐式梯形法转速迭代过程Fig.6 Iterative process of rotational speed inimplicit trapezoidal method表3转速选代数据Tab.3Comparison of calculation data ofvarious algorithms时刻送代初始值第一次送代第二次送代0.92一0.933.027.700.942.962.38表4各算法计算数据对比Tab.4Comparison of calculation data of each仿真算法总计算次数显式欧拉法129隐式欧拉法258隐式梯形法258龙格库塔法516而使用四阶龙格库塔法时，由于每一个步长计算了四次斜率,能达到较高精度，因此没有出现数值振荡现象。由表4可知，该算法耗时明显较长，不适用于大规模仿真。3基于改进梯形法的大步长算法为了在不降低仿真效率的前提下解决隐式梯形法的数值振荡问题,文中提出了一种改进梯形算法,如式（19)和式(2 0)所示。当f(xn,yn)(xn+1,yn+1）0 时，引入小于1 的系数t,以增加第n点斜率的权重。结合图6 所示的迭代过程,在0.9 2 s时f(xn,yn)f(xn+1,yn+1）0,转速小于同步速,此时参数t削弱了0.9 3s时转速的权重,使转速接近同步速的过程变得更平缓，消除了数值振荡。该算法的优点是不会降低原算法的精确性，其原因在于改进法仅在f(xn，y n)f(x n+1，n+1）0 时对原电测与仪表Electrical Measurement&Instrumentation算法做修改，而在电机运行过程中，满足上述条件的运行点数量很少，因此几乎不会影响原算法的二阶精度。需要指出,这种改进方法对于隐式欧拉法同样适用，由第一次送代送代初值第二次送代0.920.93t/s2.936.482.948.353 024.643 030.042.956.27algorithm仿真耗时/s1.011.851.762.01Vol.60 No.7Jul.15,2023于隐式梯形法在计算精度和稳定性两方面均优于隐式欧拉法，因此文章对隐式梯形法进行改进。(19)2J=1 f(xn,y,)f(xn+1,yn1)01 f(xn,y,)f(xa+1,yn+1)00.94为确定t的取值范围,采用不同t值的改进梯形法对起动过程进行仿真，结果如图7 所示。300t-0.1t-0.31-0.51-0.7200F(-1.0100F第二次选代与同步速偏差-63.5224.6443.730.4图7 不同参数的改进梯形法对比Fig.7Comparison of improved trapezoidalmethod with different parameters由图7 可知，t的取值不同会对计算结果产生显著影响,0.1t0.3时,定子电流能够准确收敛；当t0.5时，则无法收敛到正确的稳态值或者产生数值振荡。对比t=0.1和t=0.3两种情况的结果可知,两者稳态值一致，且t越小，电机进人稳态时电流曲线越陡;由于该差异很小,可以忽略不记。综上所述，t的最优区间为0.1t0.3。图8 所示为改进梯形法计算流程，具体步骤如下：(1)输入基本数据：输入电机参数以及步长h、迭代精度L等计算参数，并设定变量初值；(2)令计算点数n=0;(3)计算yn+1的迭代初值：计算斜率f(xn，y n），并用显式欧拉法计算迭代初值y)=y，+h f(x y）；(4)令迭代次数k=0；(5)计算第k+1次迭代值：计算第k次代的斜率+，），确定可变参数！的大小，并根据(h+1)ym+=y+次送代值；（6）判断是否满足迭代精度要求：若满足1认为是精物解(+1)=-：否则选代次数加1,重复步骤（5），直至0.8t/s(x，y）+(x+,y l）】计算第h+1h1.2一7 4一第6 0 卷第7 期2023年7 月15 日满足迭代精度要求；(7)计算点数n加一,采用相同方法计算yn+2,直至完成整个仿真过程。输入电机参数、计算步长h、计算点数NUM、选代误差L等n=00i=y,+hf(x,y,)欧拉法算初值隐式法的！选代过程1yat=y,+(x,y,)+(x+n+1+1.k-k+1判断误差！N(k-1)（)L-yn+1Yn=n+12+1YnNUMN结束图8 改进梯形法计算流程Fig.8 Calculation process of the improvedtrapezoidal method为验证改进梯形法能有效地消除数值振荡，分别采用梯形法与改进梯形法计算6 0 0 kW电机空载起动的转速曲线，仿真步长为0.0 1s,结果如图9 所示。3000一隐式梯形法改进梯形法2000ud/u100000图9 大步长改进梯形法转速结果对比Fig.9(Comparison of speed results of large stepimproved trapezoidal method由图9 可见，采用传统隐式梯形法在电机进人稳态后转速振荡,不收敛；而使用改进梯形法能有效解决机械暂态模型进入稳态时，转速围绕同步速不断振荡电测与仪表Electrical Measurement&Instrumentation而无法收敛的问题,验证了该算法的正确性和有效性。表5 给出了112 0 0 kW感应电机分别采用改进梯形法仿真与现场实测的定子A相电流。由表5 可见，仿真与实测的误差在可接受范围内，在验证了算法的开始有效性。Tab.5Comparison of measured currents起动时间/s改进法仿真3.89实测波形4.22k-04丝结束语计算(x+1小）11110.40.8t/sVol.60 No.7Jul.15,2023表5 实测电流对比稳态电流/A179.4177.7含高比例新能源电力系统的抗扰性和过载能力较弱，大型感应电机起动高效准确仿真对新型电力系统稳定仿真计算尤为重要。以6 0 0 kW感应电机为例，对比研究了4种典型算法的计算精度、稳定性及仿真效率,并对振荡问题提出了改进方法，并得到了以下结论：（1)显式欧拉法、隐式欧拉法、隐式梯形法在电机进人稳态时均存在数值振荡问题，仿真耗时分别为1.01 s、1.8 5 s、1.7 6 s;其中欧拉法精度较低,不适用于电机起动仿真；使用龙格库塔法能可靠收敛，但仿真耗时更长,达到 2.0 1 s;(2)电机进人稳态时发生数值振荡的原因在于采用隐式法时，由于使用了大步长，使得转速迭代值在同步速附近来回振荡，且偏离同步速逐渐变大，导致不收敛；（3)提出了大步长的改进梯形法，引人了自适应参数t,确定了参数的最优区间为0.1t0.3,有效解决电机进入稳态时的数值振荡问题，为低碳新型电力系统高效仿真计算提供方法。参考文献1 KIM S K,KIM T K.A novel hybrid sequential start control system forlarge inductive loads J.Electeical Engineering and Technology,2015,10(1):388.2袁阳，额尔和木巴亚尔，张伟三相笼型异步电动机起动电流的瞬态计算与分析J电机与控制应用，2 0 15，42（6）：7 3-7 6.Yuan Yang,ERHEM Bayaer,Zhang Wei.Calculation and analysis of1.2starting current in induction motor by using transient analysis method J.Electric Machines and Control Application,2015,42(6):73-76.3饶双全，李建富，周光厚，等基于改进转子端环参数计算的深槽笼型异步电动机启动特性仿真分析J大电机技术，2 0 2 3（2)：3541,46.Rao Shuangquan,Li Jianfu,Zhou Guanghou,et al.Simulation Analy-sis of Starting Characteristics of Deep-slot Cage Asynchronous Motorsbased on Improved Calculation of Rotor End Ring Parameters J.LargeElectric Machine and Hydraulic Turbine,2023(2):35-41,46.4方鑫，吴尧辉，宋贺异步电机起动电磁仿真分析J电子科技，一7 5 一第6 0 卷第7 期2023年7 月15 日2021,34(6):61-66.Fang Xin,Wu Yaohui,Song 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