理数（三）答案.pdf

参考答案及解析参考答案及解析理科数学（理科数学（）一、选择题一、选择题1-5:CADBA6-10:BBBBB11、12：DC二、填空题二、填空题13.214.4 315.10216.三、解答题三、解答题17.解：（1）因为11nnnaSS，所以1()(2)(1)nnnn SSnSn n，即12(1)(1)nnnSnSn n，则1211nnSSnn，所以112(1)1nnSSnn，又1121S，故数列1nSn为等比数列.（2）由（1）知111(1)221nnnSSn，所以2nnSnn，故2(1 22 22)(12)nnTnn .设21 22 22nMn ，则23121 22 22nMn ，所以212222nnMn 11222nnn，所以1(1)22nMn，所以1(1)(1)222nnn nTn.18.解：（1）ABC中，应用余弦定理得222cos2ABBCACABCAB BC32，解得2 3AC，所以222ACBCAB，所以ACBC.因为平面BCDE 平面ABC，平面BCDE 平面ABCBC，BCAC，所以AC 平面BCDE，又因为BE 平面BCDE，所以ACBE.（2）由（1）AC 平面BCDE，CE 平面BCDE，所以ACCE.又因为BCAC，平面ACE 平面ABCAC，所以BCE是平面EAC与平面BAC所成的二面角的平面角，即45BCE.因为BEEC，ACBE，所以BE 平面ACE.所以BAE是AB与平面ACE所成的角.因为在Rt ACE中，sin453 2BEBC，所以在Rt BAE中，6sin4BEBAEAB.19.解：（1）设高一女学生人数为x，由表 1 和表 2 可得样本中男、女生人数分别为 40，30，则7004030 xx，解得300 x.即高一女学生人数为 300.（2）由表 1 和表 2 可得样本中男女生身高在165,180)的人数为5 14 1363 142 ，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在165,180)的概率为423705.因此，可估计该校学生身高在165,180)的概率为35.（3）由题意可得X的可能取值为 0，1，2.由表格可知，女生身高在165,180)的概率为13，男生身高在165,180)的概率为45.所以412(0)(1)(1)5315P X，41419(1)(1)(1)535315P X，414(2)5315P X.所以X的分布列为：所以9417()0 12151515E X .20.解：（1）以BC所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则|6|ABACBC，所以点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆.所以26a，23 2c，所以3a，3 22c，所以22292bac，所以点A的轨迹方程为221(0)992xyy.设(,)T x y，点T在线段AO上，且|2|ATTO，所以(3,3)Axy，代入221992xy，整理可得点T的轨迹E的方程是221(0)12yxy.（2）证明：设(,0)(0)M mm，由|1OMON得1(,0)Nm，11(,)P x y，22(,)Q xy，33(,)R xy.由题意，直线QM不与坐标轴平行，11QMykxm，直线QM的方程为11()yyxmxm.与椭圆方程联立，消去y，得22211(1 2)2(1)mmx xmxx 222111(2)0mxxm x.所以222111122121 2mxxm xx xmmx，同理22211113122121 2mxxm xx xx xmmx，所以23xx，或10 x.当23xx时，PRx轴.当10 x 时，2221mxm，322212211()1mmxxmm，PRx轴，所以|MPMR，所以MPR是等腰三角形.21.解：（1）根据题意，得()2xfxex，则(0)1fb.由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入()yf x，得1a ，故2()1xf xex.（2）令2()()1xg xf xxxex.由()10 xg xe，得0 x，当(,0)x，()0g x，()yg x单调递减；当(0,)x，()0g x，()yg x单调递增.所以min()(0)0g xg，所以2()f xxx.（3）()f xkx对任意的(0,)x恒成立等价于()f xkx对任意的(0,)x恒成立.令()()f xxx，0 x，得2()()()xfxf xxx22(2)(1)xxx exexx2(1)(1)xxexx.由（2）可知，当(0,)x时，10 xex 恒成立，令()0 x，得1x；令()0 x，得01x.所以()yx的单调增区间为(1,)，单调减区间为(0,1)，故min()(1)2xe，所以min()2kxe.所以实数k的取值范围为(,2)e.22.解：（1）因为cosx，siny，由2cos，得22 cos，所以1C的直角坐标方程为22(1)1xy.由(cos4)cos，得22sin4 cos，所以曲线2C的直角坐标方程为24yx.（2）不妨设四点在C上的排列顺序由下而上依次为H，I，J，K，它们对应的参数分别为，1234,t t t t，如图.连接1C J，则1C IJ为正三角形，所以|1IJ，故|HIJKHIIKIJ1414|1|()1|tttt .把12,232xtyt代入24yx，得23824tt，即238320tt，故1483tt，所以11|3HIJK.23.解：（1）42242264()aa bbab ab2222222()4()4abab abab222(2)abab4()ab，因为4()0ab，所以42242264()aa bbab ab.（2）4224()|2(1 6)|f xxaa bb332|(221)|xa bab4224|2(1 6)|xaa bb33|22(221)|xa bab33|22(221)xa bab42242(1 6)|xaa bb4|()1|1ab.即max()1fx.