2020届广东省惠州市高三上学期第三次调研考试数学（文）试题（PDF版）.pdf

1 页 惠州市惠州市 20202020 届高三第三次调研考试届高三第三次调研考试 文科数学文科数学 2020.1 全卷满分 150 分，时间 120 分钟 注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1若=0,1,2,32,ABy yx xA，则AB U（）A0,2,4,6 B0,2 C0,1,2,3,4,6 D0,1230 2 4 6,2设i为虚数单位，复数21322zi，则z在复平面内对应的点在第（）象限 A一 B二 C三 D四 3已知数列 na是等比数列，函数2=53yxx的两个零点是15aa、，则3a（）A1 B1 C3 D3 4“110ba”是“log0ab”成立的（）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 5已知圆 C：2240 xyxa上存在两点关于直线:=2l y kx对称，k=（）A1 B1 C0 D12 6在ABC中，1=3ADDCuuu ruuu r，P是直线BD上的一点，若12APmABACuuu ruuu ruuu r，则m=（）A.4 B.1 C1 D4 7惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐，该教师统计自己 1 至 8 月的月平均通话时间，其中有 6 个月的月平均通话时间分别为 520、530、550、610、650、660（单位：分钟），有 2 个月的数据未统计出来。根据以上数据，该教师这 8 个月的月平均通话时间的中位数大小不可能是（）A580 B600 C620 D640 8已知函数()xxaf xee为偶函数，若曲线()yf x的一条切线与直线230 xy垂直，则切点的横 2 页 坐标为（）A2 B2 C2ln2 Dln2 9函数 1 cossinf xxx在,的图象大致为（）10已知P为椭圆22110091xy上的一个动点，M、N分别为圆C：2231xy与 圆D：2223(05)xyrr上的两个动点，若PMPN的最小值为 17，则r=（）A4 B3 C2 D1 xyyx-xy-xyA B C D 3 页 11已知函数()sincos(0,0)62af xxx a，对任意xR，都有()3f x，若()f x在0,上的值域为3,32，则的取值范围是（）A1 1,6 3 B1 2,3 3 C1,6 D1,12 12已知函数321()1(1)3f xxaxaxa在1212,()t t tt处的导数相等，则不等式12(+)0f ttm恒成立时，实数m的取值范围是（）A1，B1，C1，D43，4 页 二填空题：本题共二填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分分，共，共20分，其中第分，其中第16题第一空题第一空3分，第二空分，第二空2分。分。0n 开始结束2nnn输出220?n是否 5 页 13执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值是_.14已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2abc，35cb，则=A_ 15如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现。我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积 之比为_ 16设M为不等式组40400 xyxyy所表示的平面区域，N为不等式组04txtyt 所表示的平面区域，其中0,4t，在M内随机取一点A，记点A在N内的概率为P（1）若1t，则P _；（2）P的最大值是_ 三三、解答题：共解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。题为必考题，每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共60分。分。17（本小题满分 12 分）等差数列na的前n项和为nS，已知17a ，公差d为大于 0 的整数，当且仅当n=4 时，nS取得最小值。（1）求公差d及数列na的通项公式；（2）求数列na的前 20 项和.18（本小题满分 12 分）如图，四棱锥SABCD中，ABS是正三角形，四边形ABCD是菱形，6 页 点E是BS的中点（1）求证：SD平面ACE；（2）若平面ABS 平面ABCD，4AB，120ABC，求三棱锥EASD的体积 19.（本小题满分 12 分）惠州市某商店销售某海鲜，经理统计了春节前后 50 天该海鲜的日需求量x（1020 x，单位：公斤），其频率分布直方图如下图所示。该海鲜每天进货 1 次，每销售 1 公斤可获利 40 元；若供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损 10 元；若供不应求，可从其它商店调拨，调拨的海鲜销售 1公斤可获利 30 元。假设商店该海鲜每天的进货量为 14 公斤，商店销售该海鲜的日利润为y元。（1）求商店日利润y关于日需求量x的函数表达式。（2）根据频率分布直方图，估计这 50 天此商店该海鲜日需求量的平均数。假设用事件发生的频率估计概率，请估计日利润不少于 620 元的概率。20（本小题满分 12 分）己知函数 lnf xxax aR，函数()f x的导函数为 fx.（1）当1a 时，求 fx的零点；（2）若函数 fx存在极小值点，求a的取值范围。频率/组距 0.15 0.10 0.12 0.08 0.05 日需求量 10 18 14 12 20 16 7 页 21（本小题满分 12 分）设抛物线C:22(0)ypx p与直线:02pl xmy交于A、B两点。（1）当AB取得最小值为163时，求p的值。（2）在（1）的条件下，过点(3,4)P作两条直线PM、PN分别交抛物线C于M、N（M、N不同于点P）两点，且MPN的平分线与x轴平行，求证：直线MN的斜率为定值。8 页 （二）选考题：共（二）选考题：共10分。分。请考生在第请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题则按所做的第一题计分。答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑。时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑。22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐 标 方 程 为2cos，若 极 坐 标 系 内 异 于O的 三 点1,A，2,6B，3123,06,C 都在曲线M上（1）求证：1233；（2）若过B，C两点的直线参数方程为32212xtyt（t为参数），求四边形OBAC的面积 来源:Z。xx。k.Com 23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 24f xxx（1）求不等式 3f xx的解集；（2）若 1f xk x对任意Rx恒成立，求k的取值范围 惠州市惠州市 20202020 届高三第三次调研考试届高三第三次调研考试 文科数学参考答案与评分细则文科数学参考答案与评分细则 9 页 一、选择题：一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D B A B D D C C A A 1.【解析】B=0,2,4,6.AB=0，1，2，3，4，6U.故答案选 C 2.【解析】2213113313i2i+ii22422222z （），故答案选 B 来源:学&科&网 3.【解析】由韦达定理可知155aa，153a a，则10a，50a，从而30a，且2315333aa aa，故答案选 D 4.【解析】1111011aababb或，101log0101aaabbb或，所以答案选 B 5.【解析】若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心，Cl-2,0，220k，得1k，所以答案选 A 6.【解析】114222APmABACmABADmABADuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu rQ，又BPD、三点共线，所以21m，得1m ，故选 B 7.【解析】当另外两个月的通话时长都小于 530（分钟）时，中位数为5305505402（分钟），当另外两个月的通话时长都大于 650（分钟）时，中位数为6106506302（分钟），所以 8 个月的月通话时长的中位数大小的取值区间为540,630，故选 D 8.【解析】fx为偶函数，则1a，()xxf xee+，().xxfxee设切点得横坐标为0 x，则0003().2xxfxee解得02xe，所以0ln2x。故答案选 D 9.【解析】fx为奇函数，则排除 B；当0,()0 xf x，排除 A；()coscos2fxxx，()0fx 解得56x或0 x，对比图象可知，答案选 C 10.【解析】C(-3,0)，D(3,0)恰好为椭圆的两个焦点，因为,1PMrPDPNPC 120 117PMPNPCPDrr ，2r，所以答案选 C 10 页 11.【解析 1】()sincos62af xxx=31sincos22axx 22max3(1)()3()22af x，2a，()3sin()3f xx 0,0 x Q，333x，3()32f xQ，2233，1163所以答案选 A【解析 2】本题也可通过分析临界值求出答案。由3(0)2f可知3()2f或()3f为两个临界值，由此可解得1=6，及1=3，结合图象可知1163，所以答案选 A 12.【解析】由题得2()2(1)fxxaxa a，由已知得12+=2tta，12(+)0f ttmQ恒成立，(2)(1)mfa a恒成立。令324()(2)21(1)3g afaaaa，则2()444(1)g aaaa a ，当(,0),()0ag a，当(0,1),()0;ag a()(,0)g a在上单调递减，在(0,1)上单调递增。min()(0)1,1,1.g agmm 故选答案 A 二、填空题：二、填空题：本题共本题共4小题，每小题小题，每小题5分分，共，共20分分，其中第，其中第16题第一空题第一空3分，第二空分，第二空2分。分。136 1423（或（或 120）15.3:2（或（或32，或，或 1.5）16 38（3 分）分），12（2 分）分）13.【解析】22,220;n 44,220;n 66,220.n 故答案为 6 14.【解析】因为75,33ab cb，22222257()()133cos5222()3bbbbcaAbcbb，23A 15.【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，圆柱的表面积2212226SRRRR；球的表面积224SR 圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342SRSR，本题正确结果：32 16.【解析】由题意可得，平面区域M的面积为18 4162，11 页 当1t 时，平面区域N的面积为2 36，所以P 63168；如图，当24tt取得最大值时，即2t 时，P最大，当2t 时，平面区域N的面积为2 48，所以最大值81162P；故答案为38，12。三解答题：三解答题：共共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个考生都题为必考题，每个考生都必须作答。第必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。17（本小题满分 12 分）【解析】（1）设na的公差为d，则由题可知：4500aa.1 分 113040adad，即730740dd .2 分 解得7743d.3 分 因为d为整数，d=2.4 分 1(1)72(1)29naandnn 所以数列na的通项公式为29nan.5 分（2）当4n 时，0na；当5n 时，0na .6 分 12345201234520.()(.)aaaaaaaaaaaa.7 分 52014()16()422aaaa.9 分(7 1)4(1 31)1622 .10 分=272.11 分 所以数列na的前 20 项和为 272.12 分 18（本小题满分 12 分）【解析】（1）连接BD，设ACBDOI，连接OE，则点O是BD的中点 又因为E是BS的中点，所以SDOE，1 分 又因为SD平面ACE，OE平面ACE，3 分【注：每个条件 1 分】所以SD平面ACE4 分（2）因为四边形ABCD是菱形，且120ABC，所以1602ABDABC又因为ABAD，12 页 所以三角形ABD是正三角形5 分 取AB的中点F，连接SF，则DFAB，且2 3DF 6 分 又平面ABS平面ABCD，DF 平面ABCD，平面ABS I平面ABCDAB，7 分 所以DF 平面ABS即DF是四棱锥DAES的一条高8 分【解法 1】而1sin2 32ASESSA SEASE 9 分 所以E ADSD AESVV 10 分 112 32 3433ASESDF 11 分 综上，三棱锥EASD的体积为 4.12 分【解法 2】因为E是BS的中点，所以12EADSB ADSVV10 分 而B ADSD ABSVV1142 32 38332ABSSDF11 分 所以，三棱锥EASD的体积为 4.12 分 19（本小题满分 12 分）【解析】（1）当1014x时1 分 401014=50140yxxx2 分来源:Zxxk.Com 当1420 x时3 分 40 143014=30140yxx4 分 所求函数表达式为：30140 142050140 1014xxyxx5 分【注：函数解析式分段正确的前提下，定义域错误最多扣【注：函数解析式分段正确的前提下，定义域错误最多扣 2 分】分】（2）由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间10,12的频率是120.050.1f；海鲜需求量在区间12,14的频率是220.10.2f；6 分 海鲜需求量在区间14,16的频率是320.150.30f；海鲜需求量在区间16,18的频率是420.120.24f；海鲜需求量在区间18,20的频率是520.080.16f；7 分【注：写对任意【注：写对任意 2 个得个得 1 分，全部写对得分，全部写对得 2 分】分】这 50 天商店销售该海鲜日需求量的平均数为：13 页 1122334455xxfxfxfxfxf 8 分 11 0.1 13 0.2 15 0.30 17 0.24 19 0.169 分 15.32（公斤）10 分 当14x 时，560y，由此可令30140620 x，得16x 11 分 所以估计日利润不少于 620 元的概率为0.120.0820.4.12 分 20（本小题满分 12 分）【解析】（1）f x的定义域为0,，当1a 时，1ln1fxxx.1 分 由 2110fxxx恒成立，知 fx在0,上是单调递增函数，2 分 又 1ln1 1 10f ，所以 fx的零点是1x.3 分（2）ln1lnxaafxxxxx，令 1lnag xxx，则 221axagxxxx.4 分 当0a 时，1 lnfxx，令 0fx，得1xe；令 0fx，得10 xe，所以 f x在10,e上单调递减，在1,e上单调递增，所以当0a 时，f x存在极小值点1e，符合题意.5 分 当0a 时，0gx恒成立，所以 g x在0,上单调递增 又10gaee，11110aaaag eaaee ，由零点存在定理知，g x在1,aee上恰有一个零点0 x，.6 分 且当00,xx时，0fxg x；当0,xx时，0fxg x，所以 f x在00,x上单调递减，在0,x 上单调递增，14 页 所以当0a 时，f x在1,aee存在极小值点0 x，符合题意.7 分 当0a 时，令 0gx，得xa.当0,xa时，0gx；当,xa 时，0gx，所以 min2lng xgaa.8 分 若2ln0gaa，即当2ae 时，0fxg xga恒成立，即当2ae 时，f x在0,上单调递增，无极值点.9 分 若2ln0gaa，即当20ea时，11ln 101agaaa，所以10gaga，即 g x在,a上恰有一个零点1x，10 分 当1,xa x 时，0fxg x；当1xx时，0fxg x 所以当20ea时，f x存在极小值点1x.11 分 综上可知，a2,e 时，函数 f x存在极小值点.12 分 21（本小题满分 12 分）【解析】（1）由题意知：直线:02pl xmy过定点(,0)2p，该点为抛物线焦点。1 分 联立222pxmyypx，消去x得：2220ypmyp2 分 设1122(,),(,)A x yB xy，有122yypm，212yyp3 分 2121212()22(1)22ppABxxxxpm yypp m4 分【注：只要学生写出12=ABxxp即可给 1 分】15 页 20,0pmQ，当0m 时，min2ABp5 分 1623p，解得83p 6 分【注：如果解答过程没有证明当0m 时min2ABp，最多可得 3 分】（2）证明：由已知可知直线PM、PN的斜率存在，且互为相反数7 分来源:学,科,网 Z,X,X,K 设3344(,),(,)M x yN xy，直线PM的方程为(3)4yk x.联立2163(3)4yxyk x，消去x整理得：231664480kyyk.8 分 又 4 为方程的一个根，所以3644843kyk，得316 1216433kykk9 分 同理可得41643yk 10 分 3434223434341611612333(8)3()16MNyyyykxxyyyy 11 分 所以直线MN的斜率为定值23.12 分 22.（本小题满分 10 分）【解析】（1）【解法 1】由12cos，22cos6，32cos6，3 分 则232cos2cos66 2 3cos 4 分 16 页 所以12335 分【解法 2】M的直角坐标方程为2211xy，如图所示，1 分 假设直线 OA、OB、OC 的方程为ykx，2yk x，3yk x，3,3k，由点到直线距离公式可知21kMFk 在直角三角形 OMF 中，由勾股定理可知2211+12MF，得1221k2 分 由直线方程可知tank，2tan+6k，3tan6k 所以2tan+tan3+16=31 tantan6kkk，得2231kk3 分 所以3tan-tan316=31 tantan6kkk，得3231kk4 分 所以12335 分（2）【解法 1】曲线M的普通方程为：2220 xyx，6 分 将直线BC的参数方程代入上述方程，整理得230tt，解得120,3tt；7 分 平面直角坐标为13,2,022BC8 分 则231,2,6；又得13.9 分 即四边形面积为1213113 3sinsin26264OBACS 为所求.10 分 【解法 2】由 BC 的参数方程化为普通方程得：.23 yx5 分 联立022322xyxyx解得0211yx或232122yx，即)23,21(B,)0,2(C6 分 17 页,6,12点 A 的极坐标为），（63，化为直角坐标为），（23237 分 直线 OB 的方程为xy3，点 A 到直线 OB 的距离为.23)3(1232332d8 分来源:Zxxk.Com.4332322123121OACOBAOBACSSS10 分 23（本小题满分 10 分）【解析】（1）当4x 时，原不等式等价于243xxx，解得2x ，所以4x 1 分 当2x 时，原不等式等价于243xxx，解得25x，所以此时不等式无解2 分 当24x 时，原不等式等价于243xxx，解得2x，所以24x3 分 综上所述，不等式解集为2,5 分（2）由 1f xk x，得241xxk x，当1x 时，60恒成立，所以Rk；6 分 当1x 时，241 31 333111111xxxxkxxxx 7 分 因为3333111121111xxxx 8 分 当且仅当3311011xx即4x 或2x 时，等号成立，9 分 所以，2k；综上，k的取值范围是,2 10 分【注】【注】如果本题两个小问通过图象法解答，分别正确作出图象（如下图）各如果本题两个小问通过图象法解答，分别正确作出图象（如下图）各 1 分，正确写出结果各分，正确写出结果各 1 分，分，中间过程可酌情给中间过程可酌情给 1-2 分，但每小问给分最多不超过分，但每小问给分最多不超过 4 分。分。如果作图的坐标系没有箭头或如果作图的坐标系没有箭头或xOy、的标记，扣除过程分的标记，扣除过程分 1 分。分。18 页 第（1）问图象 第（2）问图象