2021届上海春考数学卷（答案版）.pdf

2021 年上海市春季高考数学试卷年上海市春季高考数学试卷 2021.01 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分）1-8 未收集到 9.在无穷等比数列na中，1lim()4nnaa，则2a的取值范围是 【解析】【解析】(4,0)(0,4)，由题意，(1,0)(0,1)q，lim0nna，11lim()4nnaaa，214aa qq(4,0)(0,4)10.某人某天需要运动总时长大于等于 60 分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合 A 运动 B 运动 C 运动 D 运动 E 运动 7 点8 点 8 点9 点 9 点10 点 10 点11 点 11 点12 点 30 分钟 20 分钟 40 分钟 30 分钟 30 分钟【解析】【解析】23，由题意，至少要选 2 种运动，并且选 2 种运动的情况中，AB、DB、EB 的组 合是不符题意的，54325555323CCCC 11.已知椭圆2221yxb（01b）的左、右焦点为1F、2F，以O为顶点，2F为焦点作 抛物线交椭圆于P，且1245PFF，则抛物线的准线方程是 【解析】【解析】12x ，设1(,0)Fc，2(,0)F c，则抛物线24ycx，直线1:PFyxc，联立24ycxyxc，(,2)P cc，212PFFF，2122PFFFc，12 2PFc，12(22 2)2221PFPFcac，即准线方程为12xc 12.已知0，对任意*nN，总存在实数，使得3cos()2n，则的最小值是 【解析】【解析】25，在单位圆中分析，由题意，n的终边要落在图中阴影部分区域（其中 6AOxBOx），3AOB，对任意*nN要成立，*2N，即2k，*k N，同时3，的最小值为25 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题5 分，共分，共 20 分）分）13-14 未收集到 15.已知函数()yf x的定义域为R，下列是()f x无最大值的充分条件是（）A.()f x为偶函数且关于直线1x 对称 B.()f x为偶函数且关于点(1,1)对称 C.()f x为奇函数且关于直线1x 对称 D.()f x为奇函数且关于点(1,1)对称【解析】【解析】选 D，反例如图所示.选项 D，易得()f nn，nZ 16.在ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：存在ABC，使得0AB CE ；存在三角形ABC，使得CE()CBCA；成立的是（）A.成立，成立 B.成立，不成立 C.不成立，成立 D.不成立，不成立【解析】【解析】选 B，不妨设(2,2)Axy，(1,0)B，(1,0)C，(0,0)D，(,)E x y，(12,2)ABxy ，(1,)CExy，若0AB CE ，2(21)(1)20 xxy，2(21)(1)2xxy，满足条件的(,)x y明显存在，成立；F 为 AB 中点，()2CBCACF，CF与AD交点即重心G，G为AD三等分点，E为AD中点，CE与CG 不共线，即不成立；故选 B 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共14+14+14+16+18=76 分）分）17.四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为 4，E为AB中点，PE 平面ABCD.（1）若PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为 45，求PD与AC所成角的大小.【解析】【解析】（1）正方形ABCD边长为 4，PAB为等边三角形，E为AB中点，2 3PE，2132 342 333P ABCDV；（2）如图建系，(0,0,4)P，(2,4,0)D，(2,0,0)A，(2,4,0)C，(2,4,4)PD ，(4,4,0)AC ，82cos664 2|PD ACPDAC ，即PD与AC所成角的大小为2arccos6 18.已知A、B、C为ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，2a，1cos4C .（1）若sin2sinAB，求b、c；（2）4cos()45A，求c.【解析】【解析】（1）sin2sin2ABab，1b，222211cos62 2 14cCc ；（2）47 2cos()cos4510AA，2sin10A，115cossin44CC，由正弦定理，25 30sinsin2ccAC 19.（1）团队在O点西侧、东侧 20 千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足|20PAPB千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东 60处，求双曲线标准方程和P点坐标.（2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有C、D两站点，测量距离发现|30QAQB千米，|10QCQD千米，求|OQ（精确到 1 米）和Q点位置（精确到 1 米，1）【解析】【解析】（1）10a，20c，2300b，双曲线为221100300 xy；直线3:3OP yx，联立双曲线，得15 2 5 6(,)22P；（2）|30QAQB，15a，20c，2175b，双曲线为221225175xy；|10QCQD，5a，15c，2200b，双曲线为22125200yx；联立双曲线，得144002975(,)4747Q，19OQ 米，Q点位置北偏东66 20.已知函数()|f xxaax.（1）若1a，求函数的定义域；（2）若0a，若()f axa有 2 个不同实数根，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数()f x在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围.【解析】【解析】（1）()|1|1f xxx，|1|10 x，解得(,20,)x ；（2）()|f xxaaxa，设0 xat，tat有 2 个不同实数根，整理得2att，0t，同时0a，1(0,)4a；（3）当xa，211()|()24f xxaaxxxx，在1,)4递减，此时需满足14a，即14a 时，函数()f x在,)a上递减；当xa，()|2f xxaaxxax，在(,2 a 上递减，104a ，20aa，即当14a 时，函数()f x在(,)a 上递减；综上，当14a 时，函数()f x在定义域R上连续，且单调递减 21.已知数列na满足0na，对任意2n，na和1na中存在一项使其为另一项与1na的等差中项（1）已知15a，23a，42a，求3a的所有可能取值；（2）已知1470aaa，2a、5a、8a为正数，求证：2a、5a、8a成等比数列，并求出公比q；（3）已知数列中恰有 3 项为 0，即0rstaaa，2rst，且11a，22a，求111rstaaa的最大值.【解析】【解析】（1）由题意，112nnnaaa或112nnnaaa，231321aaaa，321324aaaa，经检验，31a （2）1470aaa，322aa，或232aa，经检验，232aa；32524aaa，或2532aaa （舍），254aa；52628aaa，或2654aaa （舍），268aa；628216aaa，或2868aaa （舍），2816aa；综上，2a、5a、8a成等比数列，公比为14；（3）由112nnnaaa或112nnnaaa，可知2111nnnnaaaa或21112nnnnaaaa，由第（2）问可知，2112102rrrrrraaaaaa，31112211111110()()1()()222222iriirrrrraaaaaaa ，*iN，1 max1()4ra，同理，21111111()1()()22224jsrjjsrraaa ，*jN，1 max1()16sa，同理，1 max1()64ta，111rstaaa的最大值为2164