理数（一）答案.pdf

参考答案及解析参考答案及解析理科数学（理科数学（）一、选择题一、选择题1-5:BBDDA6-10:BCCDB11、12：AD二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13.3 5514.315.4 516.2,4 三、解答题三、解答题17.解：（1）23(1)(1)(1)(1)nxxxx的展开式中x的系数为1111123nCCCC2111223nCCCC2211122nCnn，即21122nSnn，所以当2n 时，1nnnaSSn；当1n 时，11a 也适合上式，所以数列na的通项公式为nan.（2）证明：12(21)(21)nnnnb1112121nn，所以11111113372121nnnT 11121n，所以1nT.18.解：（1）如图，延长OG交AC于点M.因为G为AOC的重心，所以M为AC的中点.因为O为AB的中点，所以/OMBC.因为AB是圆O的直径，所以BCAC，所以OMAC.因为PA 平面ABC，OM 平面ABC，所以PAOM.又PA平面PAC，AC 平面PAC，PAACA，所以OM 平面PAC.即OG 平面PAC，又OG 平面OPG，所以平面OPG 平面PAC.（2）以点C为原点，CB，CA，AP 方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz，则(0,0,0)C，(0,1,0)A，(3,0,0)B，3 1(,0)22O，(0,1,2)P，1(0,0)2M，则3(,0,0)2OM ，3 1(,2)22OP .平面OPG即为平面OPM，设平面OPM的一个法向量为(,)nx y z，则30,23120,22n OMxn OPxyz 令1z，得(0,4,1)n.过点C作CHAB于点H，由PA 平面ABC，易得CHPA，又PAABA，所以CH 平面PAB，即CH为平面PAO的一个法向量.在Rt ABC中，由2ABAC，得30ABC，则60HCB，1322CHCB.所以3cos4HxCHHCB，3sin4HyCHHCB.所以3 3(,0)44CH.设二面角AOPG的大小为，则|cos|CH nCHn 2233|041 0|2 51441739411616 .19.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A，则333101()120CP AC，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400PP AP A.（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为 0，600，700，1000.333101(0)120CP XC，21373107(600)40C CP XC，123731021(700)40C CP XC，373107(1000)24CP XC，故X的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X 17646（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则1000200ZY，由已知可得3(3,)10YB，故39()31010E Y ，所以()(1000200)E ZEY 1000200()820E Y（元）.因为()()E XE Z，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20.解：（1）由题意可得26a，所以3a.由椭圆C与圆M：2240(2)9xy的公共弦长为4 103，恰为圆M的直径，可得椭圆C经过点2 10(2,)3，所以2440199b，解得28b.所以椭圆C的方程为22198xy.（2）直线l的解析式为2ykx，设1122(,),(,)A x yB xy，AB的中点为00(,)E xy.假设存在点(,0)D m，使得ADB为以AB为底边的等腰三角形，则DEAB.由222,1,98ykxxy得22(89)36360kxkx，故1223698kxxk，所以021898kxk，00216298ykxk.因为DEAB，所以1DEkk，即221601981898kkkmk，所以2228989kmkkk.当0k 时，892 9 812 2kk，所以2012m；当0k 时，8912 2kk，所以2012m.综上所述，在x轴上存在满足题目条件的点E，且点D的横坐标的取值范围为22,0)(0,1212.21.解：（1）由于2()2ln2f xxmxx的定义域为(0,)，则22(1)()xmxfxx.对于方程210 xmx，其判别式24m.当240m，即02m时，()0fx 恒成立，故()f x在(0,)内单调递增.当240m，即2m，方程210 xmx 恰有两个不相等是实根242mmx，令()0fx，得2402mmx或242mmx，此时()f x单调递增；令()0fx，得224422mmmmx，此时()f x单调递减.综上所述，当02m时，()f x在(0,)内单调递增；当2m 时，()f x在2244(,)22mmmm内单调递减，在24(0,)2mm，24(,)2mm内单调递增.（2）由（1）知，22(1)()xmxfxx，所以()fx的两根1x，2x即为方程210 xmx 的两根.因为3 22m，所以240m，12xxm，121x x.又因为1x，2x为2()lnh xxcxbx的零点，所以2111ln0 xcxbx，2222ln0 xcbx，两式相减得11212122ln()()()0 xc xxxxb xxx，得121212ln()xxbc xxxx.而1()2h xcxbx，所以120()()xx h x12001()(2)xxcxbx121212121212ln2()()()xxxxc xxc xxxxxx1211222()lnxxxxxx12112212ln1xxxxxx.令12(01)xttx，由2212()xxm得22212122xxx xm，因为121x x，两边同时除以12x x，得212tmt，因为3 22m，故152tt，解得102t 或2t，所以102t.设1()2ln1tG ttt，所以22(1)()0(1)tG tt t，则()yG t在1(0,2上是减函数，所以min12()()ln223G tG，即120()()yxx h x的最小值为2ln23.所以1202()()ln23xx h x.22.解：（1）由4cos得24 cos，所以2240 xyx，所以圆C的直角坐标方程为22(2)4xy.将直线l的参数方程代入圆:C22(2)4xy，并整理得22 20tt，解得10t，22 2t .所以直线l被圆C截得的弦长为12|2 2tt.（2）直线l的普通方程为40 xy.圆C的参数方程为22cos,2sin,xy（为参数），可设曲线C上的动点(22cos,2sin)P，则点P到直线l的距离|22cos2sin4|2d|2cos()2|4，当cos()14 时，d取最大值，且d的最大值为22.所以12 2(22)22 22ABPS，即ABP的面积的最大值为22.23.解：（1）3,1,1()2,1,213,.2x xf xxxx x 根据函数()f x的单调性可知，当12x 时，min13()()22f xf.所以函数()f x的值域3,)2M.（2）因为aM，所以32a，所以3012a.又|1|1|1123aaaaa ，所以32a，知10a，430a，所以(1)(43)02aaa，所以37222aa，所以37|1|1|222aaaa.