2023年上海市春季高考数学真题试卷含详解.pdf

20232023 年上海市春季高考数学试卷年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 1212 题，满分题，满分 5454 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第结果，第 1 1 题至第题至第 6 6 题每个空格填对得题每个空格填对得 4 4 分，第分，第 7 7 题至第题至第 1212 题每个空格填对得题每个空格填对得 5 5 分，否则分，否则一律得零分一律得零分.1（4 分）已知集合 A1，2，B1，a，且 AB，则 a2（4 分）已知向量（3，4），（1，2），则 2 3（4 分）若不等式|x1|2，则实数 x 的取值范围为4（4 分）已知圆 C 的一般方程为 x2+2x+y20，则圆 C 的半径为5（4 分）已知事件 A 发生的概率为 P（A）0.5，则它的对立事件发生的概率 P（）6（4 分）已知正实数 a、b 满足 a+4b1，则 ab 的最大值为7（5 分）某校抽取 100 名学生测身高，其中身高最大值为 186cm，最小值为 154cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为 5，且第一组下限为 153.5，则组数为8（5 分）设（12x）4a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则 a0+a49（5 分）已知函数 f（x）2x+1，且 g（x），则方程 g（x）2 的解为10（5 分）已知有 4 名男生 6 名女生，现从 10 人中任选 3 人，则恰有 1 名男生 2 名女生的概率为，满足|z11|1，则|z1z2|的取值范围为，都是单位向量，且|1，满足|，|，与的夹11（5 分）设 z1，z2 C C 且 z1i12（5 分）已知空间向量，角为 60，若P 为空间任意一点，且|的最大值为|，则二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 4 题，满分题，满分 1818 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第 1313 题至第题至第 1414 题选对得题选对得 4 4 分，第分，第1515 题至第题至第 1616题选对得题选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分13（4 分）下列函数是偶函数的是（）AysinxBycosxCyx3）Dy2x14（4 分）根据下图判断，下列选项错误的是（A从 2018 年开始后，图表中最后一年增长率最大B从 2018 年开始后，进出口总额逐年增大C从 2018 年开始后，进口总额逐年增大D从 2018 年开始后，图表中 2020 年的增长率最小15（5 分）如图，P 是正方体 ABCDA1B1C1D1边 A1C1上的动点，下列哪条边与边 BP 始终异面（）ADD1BACCAD1DB1C16（5 分）已知数列an的各项均为实数，Sn为其前 n 项和，若对任意 k2022，都有|Sk|Sk+1|，则下列说法正确的是（）Aa1，a3，a5，a2n1为等差数列，a2，a4，a6，a2n为等比数列Ba1，a3，a5，a2n1为等比数列，a2，a4，a6，a2n为等差数列Ca1，a2，a3，a2022为等差数列，a2022，a2023，an为等比数列Da1，a2，a3，a2022为等比数列，a2022，a2023，an为等差数列三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 5 题，满分题，满分 7878 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤域内写出必要的步骤.17（14 分）已知三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABAC，PBAB3，AC4，M为 BC 中点，过点 M 分别作平行于平面 PAB的直线交 AC、PC 于点 E，F（1）求直线 PM 与平面 ABC 所成角的大小；（2）证明：ME平面 PAB，并求直线 ME 到平面 PAB的距离18（14 分）在ABC 中，角 A，B，C 对应边为 a，b，c，其中 b2（1）若 A+C120，且 a2c，求边长 c；（2）若 AC15，acsinA，求ABC 的面积 SABC，其中 F0为19（14 分）为了节能环保，节约材料，定义建筑物的“体形系数”为 S建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米）（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为 R，高度为H，求该建筑体的 S（用 R，H 表示）；（2）现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设 A 为底面面积，L 为建筑底面周长已知f 为正比例系数，L2与 A 成正比，定义：f，建筑面积即为每一层的底面面积，总建+，n 为层筑面积即为每层建筑面积之和，值为 T已知该建筑体推导得出 S数，层高为 3 米，其中 f18，T10000，试求当取第几层时，该建筑体 S 最小？20（18 分）已知椭圆：+1（m0，m）（1）若 m2，求椭圆的离心率；（2）设 A1、A2为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点 E 的纵坐标为 1，且2，求 m 的值；（3）存在过椭圆上一点P、且斜率为仅有一个公共点，求 m 的取值范围的直线 l，使得直线l 与双曲线121（18 分）设函数 f（x）ax3（a+1）x2+x，g（x）kx+m，其中 a0，k、mR，若对任意 x0，1均有 f（x）g（x），则称函数yg（x）是函数yf（x）的“控制函数”，且对所有的函数 yg（x）取最小值定义为（x）（1）若 a2，g（x）x，试问 yg（x）是否为 yf（x）的“控制函数”；（2）若 a0，使得直线 yh（x）是曲线 yf（x）在 x处的切线，求证：函数yh（x）是为函数 yf（x）的“控制函数”，并求（）的值；（3）若曲线 yf（x）在 xx0（x0（0，1）处的切线过点（1，0），且 cx0，1，求证：当且仅当 cx0或 c1 时，（c）f（c）20232023 年上海市春季高考数学试卷年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 1212 题，满分题，满分 5454 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第结果，第 1 1 题至第题至第 6 6 题每个空格填对得题每个空格填对得 4 4 分，第分，第 7 7 题至第题至第 1212 题每个空格填对得题每个空格填对得 5 5 分，否则分，否则一律得零分一律得零分.1【解答】解：集合 A1，2，B1，a，且 AB，则 a2故答案为：22【解答】解：因为向量（3，4），（1，2），所以 2（321，422）（1，0）故答案为：（1，0）3【解答】解：因为|x1|2，所以2x12，所以1x3，故答案为：1，34【解答】解：根据圆 C 的一般方程为 x2+2x+y20，可得圆 C 的标准方程为（x+1）2+y21，故圆 C 的圆心为（0，1），半径为 1，故答案为：15【解答】解：由题意知 P（A）+P（）1，所以 P（）1P（A）0.5，故答案为：0.56【解答】解：正实数 a、b 满足 a+4b1，则 ab且仅当 a，故答案为：时等号成立，当7【解答】解：极差为 18615432，组距为 5，且第一组下限为 153.5，6.4，故组数为 7 组，故答案为：78【解答】解：根据题意及二项式定理可得：a0+a4故答案为：179【解答】解：当 x0 时，g（x）2log2（x+1）2，解得 x3；当 x0 时，g（x）f（x）2x+12，解得 x0（舍）；所以 g（x）2 的解为：x3故答案为：x310【解答】解：从 10 人中任选 3 人的事件个数为恰有 1 名男生 2 名女生的事件个数为则恰有 1 名男生 2 名女生的概率为故答案为：0.511【解答】解：设 z11cos+isin，则 z11+cos+isin，因为 z1i所以|z1z2|显然当当时，原式取最小值 0，所以 z2sin+i（cos+1），171 时，原式取最大值 2故|z1z2|的取值范围为0，故答案为：0，12【解答】解：由题知再设代入已知的不等式得所以，且 x，y，z0，x2+y2+z21，可得，解得，zy，故y故答案为：二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 4 题，满分题，满分 1818 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第 1313 题至第题至第 1414 题选对得题选对得 4 4 分，第分，第1515 题至第题至第 1616题选对得题选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分13【解答】解：对于 A，由正弦函数的性质可知，ysinx 为奇函数；对于 B，由正弦函数的性质可知，ycosx 为偶函数；对于 C，由幂函数的性质可知，yx3为奇函数；对于 D，由指数函数的性质可知，y2x为非奇非偶函数故选：B14【解答】解：显然 2021 年相对于 2020 年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A 对；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故 B 对；2020 年相对于 2019 的进口总额是减少的，故 C 错；显然进出口总额 2021 年的增长率最大，而 2020 年相对于 2019 年的增量比 2019 年相对于 2018 年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故 2020 年的增长率最小，D 对故选：C15【解答】解：对于 A，当 P 是 A1C1的中点时，BP 与 DD1是相交直线；对于 B，根据异面直线的定义知，BP 与 AC 是异面直线；对于 C，当点 P 与 C1重合时，BP 与 AD1是平行直线；对于 D，当点 P 与 C1重合时，BP 与 B1C 是相交直线故选：B16【解答】解：由对任意正整数 k2022，都有|Sk|Sk+1|，可以知道 a2022，a2033，a2024，an不可能为等差数列，因为若 d0，an0，则|Sk|Sk+1|，矛盾；若 d0，an0，当 n+，Sn，k 使得|Sk+1|Sk|，矛盾；若 d0，an0，当 n+，Sn+，必有 k 使得|Sk+1|Sk|，矛盾；若 d0，当 n+，an+，Sn+必有 k 使得|Sk+1|Sk|，矛盾；若 d0，当 n+，an，Sn，必有 k 使得|Sk+1|Sk|，矛盾；所以选项 B 中的 a2，a4，a6，a2n为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项 D 中的 a2022，a2023，a2024，an为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项 A 中的 a1，a3，a5，a2n1为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；事实上，只需取故选：C三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 5 题，满分题，满分 7878 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤域内写出必要的步骤.17【解答】解：（1）连接 AM，PM，PA平面 ABC，PMA 为直线 PM 与平面 ABC 所成的角，在PAM中，ABAC，BCM 为 BC 中点，AMBC，5，即可tanPMA，即直线 PM 与平面 ABC 所成角为 arctan；（2）由 ME平面 PAB，MF平面 PAB，MEMFM，平面 MEF平面 PAB，ME平面 MEF，ME平面 PAB，PA平面 ABC，AC平面 ABC，PAAC，ABAC，PAABA，PA，AB平面 PAB，AC平面 PAB，AE 为直线 ME 到平面 PAB的距离，ME平面 PAB，ME平面 ABC，平面 ABC平面 PABAB，MEAB，M 为 BC 中点，E 为 AC 中点，AE2，直线 ME 到平面 PAB的距离为 218【解答】解：（1）因为 A+C120，且 a2c，由正弦定理可得 sinA2sinC2sin（120A）所以 cosA0，由 A 为三角形内角可得 A90，C30，B60，因为 b2，所以 c；csinA，cosA+sinA，（2）若 AC15，a由正弦定理得 sinAsinCsinA，由 A 为三角形内角可得 sinA0，所以 sinC，由题意可得 C 为锐角，所以 C45，A60，B75，由正弦定理可得，所以 a3，3；，所以ABC 的面积 SABCabsinC19【解答】解：（1）S（2）由题意，建筑体 3n 米，底面面积 A，体积 V03nA3T，由 f18，底面周长 L，F0L3n+A3n+，nN*，“体形系数”S+计算可得 n6 时，S 最小20【解答】解：（1）若 m2，则 a24，b23，a2，c（2）由已知得 A1（m，0），A2（m，0），设 E（p，1），+1，即 p2m2，1，e；（mp，1），（mp，1），（mp，1）（mp，1）p2m2+12，p2m2，代入求得 m3；（3）设直线 yx+t，联立椭圆可得+1，整理得（3+3m2）x2+2由0，t23m2+3，联立双曲线可得由0，t25m215，5m2153m2+3，3m3，又 5m2150，m综上所述：m（tm2x+（t23）m20，1，整理得（3m2）x2+2tx+（t25m2）0，m，321【解答】解：（1）f（x）2x33x2+x，设 h（x）f（x）g（x）2x33x2，h（x）6x26x6x（x1），当 x0，1时，易知 h（x）6x（x1）0，即 h（x）单调减，h（x）maxh（0）0，即 f（x）g（x）0f（x）g（x），g（x）是 f（x）的“控制函数“；（2）f（x）h（x），即 yh（x）为函数 yf（x）的“控制函数“，又，且，；，证明：（3）f（x）ax3（a+1）x2+x，f（x）3ax22（a+1）x+1，yf（x）在 xx0（x0（0，1）处的切线为 t（x），t（x）f（x0）（xx0）+f（x0），t（x0）f（x0），t（1）0f（1）0，恒成立，函数 t（x）必是函数 yf（x）的“控制函数“，是函数 yf（x）的“控制函数“，此时“控制函数“g（x）必与 yf（x）相切于 x 点，t（x）与 yf（x）在且过点（1，0），在之 间 的 点 不 可 能 使 得 y f（x）在或 c1，所以曲线 yf（x）在 xx0（x0（0，1）处的切线过点（1，0），且 cx0，1，当且仅当 cx0或 c1 时，切 线 下 方，所 以处相切，