2020届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测数学（理）试题（PDF版）.pdf

页 1 第 合肥市合肥市 20202020 届高三第一次教学质量检测届高三第一次教学质量检测 数学试题数学试题(理科理科)(考试时间：考试时间：120120 分钟分钟 满分：满分：150150 分分)第第卷卷 (60(60 分分)一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的.1.已知集合220Ax xx，210Bxx，则AB U().A.1，B.1 12，C.1 22，D.1 2，2.设复数z满足1izz(i为虚数单位)，z在复平面内对应的点为(x，y)，则().A.yx B.yx C.22111xy D.22111xy 3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自 2013 年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是 2013-2017 年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是().A.这五年，2013 年出口额最少 B.这五年，出口总额比进口总额多 C.这五年，出口增速前四年逐年下降 D.这五年，2017 年进口增速最快 4.下列不等关系，正确的是().A.234log 3log 4log 5 B.243log 3log 5log 4 C.243log 3log 5log 4 D.234log 3log 4log 5 5.已知等差数列 na的前n项和为nS，13a ，47329aa，则7S的值等于().A.21 B.1 C.-42 D.0 6.若执行右图的程序框图，则输出i的值等于().A.2 B.3 C.4 D.5 7.函数22cosxxyxx的图象大致为().页 2 第 8.若函数 sin2f xx的图象向右平移116个单位得到的图象对应的函数为 g x，则下列说法正确的是().A.g x的图象关于12x 对称 B.g x在0，上有 2 个零点 C.g x在区间5 36，上单调递减 D.g x在 02，上的值域为3 02，9.已知双曲线C：22221xyab(00ab，)的左右焦点分别为12FF，圆2F与双曲线C的渐近线相切，M是圆2F与双曲线C的一个交点.若12=0FM F Muuuu r uuuu u r，则双曲线C的离心率等于().A.5 B.2 C.3 D.2 10.射线测厚技术原理公式为0tII e，其中0II，分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅 241(241Am)低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数为().(注：注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931，结果精确到 0.001)A.0.110 B.0.112 C.0.114 D.0.116 11.已知正方体1111ABCDABC D，过对角线1BD作平面交棱1AA于点 E，交棱1CC于点 F，则：平面分正方体所得两部分的体积相等；四边形1BFD E一定是平行四边形；平面与平面1DBB不可能垂直；四边形1BFD E的面积有最大值.其中所有正确结论的序号为().A.B.C.D.12.已知函数 01 ln0 xxexf xxexxx，则函数 F xff xef x的零点个数为()(e是自然对数的底数).A.6 B.5 C.4 D.3 页 3 第 第卷第卷 (90(90 分分)本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分.第第 1313 题题第第 2121 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 2222 题、第题、第2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分.把答案填在答题卡上的相应位置把答案填在答题卡上的相应位置.13.已知向量a r(1，1)，2bmr，且ar2abrr，则m的值等于 .14.直线l经过抛物线C：212yx的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，弦AB的长为 16，则直线l的倾斜角等于 .15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了 2 篇文章和 4 个视频，一位学习者准备学习这 2 篇文章和其中 2 个视频，则这 2篇文章学习顺序不相邻的学法有 种.16.已知三棱锥ABCD的棱长均为 6，其内有n个小球，球1O与三棱锥ABCD的四个面都相切，球2O与三棱锥ABCD的三个面和球1O都相切，如此类推，球nO与三棱锥ABCD的三个面和球1nO都相切(2n，且nN)，则球1O的体积等于 ，球nO的表面积等于 .三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题小题，满分满分 7 70 0 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(17.(本小题满分本小题满分 1212 分分)在ABC中，内角ABC，所对的边分别为abc，若2a，coscos2 cos0aCcAbB.(1)求B；(2)若BC边的中线AM长为5，求ABC的面积.18.(18.(本小题满分本小题满分 1212 分分)“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了 100 所学校，统计如下：研学游类型 科技体验游 民俗人文游 自然风光游 学校数 40 40 20 该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了 3 所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)：页 4 第(1)若这 3 所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这 3 所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望.19.(19.(本小题满分本小题满分 1212 分分)如图，已知三棱柱111ABCABC中，平面11AACC 平面ABC，1AAAC，ACBC.(1)证明：1AC 1AB；(2)设2ACCB，160A ACo，求二面角11CABB的余弦值.20.(20.(本小题满分本小题满分 1212 分分)设椭圆:C22221xyab(0ab)的左右顶点为12AA，上下顶点为12BB，菱形1122AB A B的内切圆C的半径为2，椭圆的离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)设MN，是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P满足PMPN，试判断直线PMPN，与圆C的位置关系，并证明你的结论.21.(21.(本小题满分本小题满分 1212 分分)已知函数 21xxf xe(e为自然对数的底数).(1)求函数 f x的零点0 x，以及曲线 yf x在0 xx处的切线方程；(2)设方程 f xm(0m)有两个实数根1x，2x，求证：121212xxme.请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分目计分，作答时，请用，作答时，请用 2B2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(22.(本小题满分本小题满分 1010 分分)选修选修 4 4-4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为232212xtyt(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴ACBB1C1A1页 5 第 为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为4cos6sin.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于点MN，点A的坐标为(3，1)，求AMAN.23.(23.(本小题满分本小题满分 1010 分分)选修选修 4 4-5 5：不等式选讲：不等式选讲 已知函数 2f xxmx(mR)，不等式20f x的解集为 4，.(1)求m的值；(2)若0a，0b，3c，且22abcm，求113abc的最大值.页 6 第 合合肥市肥市 20202020 届高三第一次教学质量检测数学试题届高三第一次教学质量检测数学试题(理科理科)参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分，共，共 2 20 0 分分.13.-2 14.3或23 15.72 16.6，164n(第一空 2 分，第二空 3 分)三、解答题：大题共三、解答题：大题共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分分.1717.(本小题满分本小题满分 1212 分分)解：(1)在ABC中，sinsinsinabcABC，且coscos2 cos0aCcAbB，sincossincos2sincos0ACCABB，sin12cos0BB，又sin0B，2cos2B .B是三角形的内角，34B.5 分(2)在ABM中，3154BMAMBABc，由余弦定理得2222cosAMcBMc BMB，2240cc，0c，2c.在ABC中，2a，2c，34B，ABC的面积1sin12SacB.12 分 18.(18.(本小题满分本小题满分 1212 分分)(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15，若这 3 所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：2222332112185555125PCC .5 分(2)X可能取值为 0，1，2，3.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B 页 7 第 则30332705125P XC，2132354155125P XC，2232336255125P XC ，3332835125P XC，X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27125 54125 36125 8125 2754368601231251251251255EX .12 分 或解：随机变量X服从23 5XB，26355EXnp.12 分 19.(19.(本小题满分本小题满分 1212 分分)(1)连结1AC.1AAAC，四边形11AACC为菱形，11ACAC.平面11AACC 平面ABC，平面11AACCI平面ABCAC，BC 平面ABC，BC AC，BC 平面11AACC.又11/BCBC，11BC 平面11AACC，111BCAC.1111ACBCCI，1AC 平面11ABC，而1AB 平面11ABC，1AC 1AB.5 分(2)取11AC的中点为M，连结CM.1AAAC，四边形11AACC为菱形，160A ACo，11CMAC，CMAC.又CMBC，以C为原点，CACBCM，为正方向建立空间直角坐标系，如图.设1CB，22ACCB，1AAAC，160A ACo，C(0，0，0)，1A(1，0，3)，A(2，0，0)，B(0，1，0)，1B(-1，1，3).由(1)知，平面11C AB的一个法向量为11 03CA uuu v，.设平面1ABB的法向量为nxyzv，则1 nAB nABvuuu v vuuu u v，100n ABn AB v uuu vv uuu u v.2 1 0AB uuu v，13 1 3AB uu v，20330 xyxyz.页 8 第 令1x，得123yz，即 11 23nv，.11123cos 41623CA nCA nCAnuuu v vuuu v vuuu vv，二面角11CABB的余弦值为34.12 分 20.(20.(本小题满分本小题满分 1212 分分)(1)设椭圆的半焦距为c.由椭圆的离心率为22知，2bcab，.设圆C的半径为r，则22rabab，2232bb，解得3b，6a，椭圆C的方程为22163xy.5分 (2)MN，关于原点对称，PMPN，OPMN.设11M xy，22P xy，.当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为ykxm.由直线和椭圆方程联立得2226xkxm，即2221 24260kxkmxm，12221224212621kmxxkmx xk.11OMxyuuuu v，22OPxyuuu v，12121212OM OPx xy yx xkxmkxmuuuu v uuu v 22222121222264112121mkmkx xkm xxmkkmmkk222322021mkk，22220mk，2222mk，圆C的圆心 O 到直线PM的距离为221mrk，直线PM与圆C相切.当直线PM的斜率不存在时，依题意得11,Nxy，11,P xy.由PMPN得1122xy，2211xy，结合2211163xy得212x，直线PM到原点 O 的距离都是2，直线PM与圆C也相切.同理可得，直线PN与圆C也相切.直线PM、PN与圆C相切.12 分 页 9 第 21.(21.(本小题满分本小题满分 1212 分分)(1)由 210 xxf xe，得1x ，函数的零点01x .221xxxfxe，12fe，10f.曲线 yf x在1x 处的切线方程为21ye x.21fe，10f，曲线 yf x在1x 处的切线方程为21yxe.5 分 (2)221xxxfxe.当 1212 x U，时，0fx；当12 12x，时，0fx.f x的单调递增区间为 12 12 ，单调递减区间为12 12，.由(1)知，当1x 或1x 时，0f x；当11x 时，0f x.下面证明：当1 1x ，时，21e xf x.当1 1x ，时，21112121002xxxxe xf xe xee.易知，112xxg xe在1 1x ，上单调递增，而10g，10g xg对1 1x ，恒成立，当1 1x ，时，21e xf x.由21ye xym得12mxe.记112mxe.不妨设12xx，则121121xx ，121221212mxxxxxxxe.要证121212xxme，只要证2112122mxmee，即证21xm.又2221xxme，只要证222211xxxe，即222110 xxex.212 1x，即证2210 xex.令 11xxxexxe，.页 10 第 当12,0 x时，0 x，x为单调递减函数；当0,1x时，0 x，x为单调递增函数.00 x，2210 xex，121212xxme.12 分 22.(22.(本小题满分本小题满分 1010 分分)(1)曲线C的方程4cos6sin，24 cos6 sin，2246xyxy，即曲线C的直角坐标方程为：222313xy.5 分 (2)把直线232:212xtlyt 代入曲线C得2222121322tt ，整理得，23 280tt.23 2320 ，设12tt，为方程的两个实数根，则 123 2tt，1 28t t ，12tt，为异号，又点A(3，1)在直线l上，21212121 24505 2AMANttttttt t.10 分 23.(23.(本小题满分本小题满分 1010 分分)解：(1)2f xxmx，220f xxmx的解集为 4，2xmx，解得28m，即6m.5 分(2)6m，212abc.又0a，0b，3c，12231132abcabc 33312231121 1232232323abcabc，当且仅当1223abc ，结合212abc解得3a，1b，7c 时，等号成立，113abc的最大值为 32.10 分