2020届江苏省高三上学期八校联考数学（理）试题（PDF版）.pdf

页 1 第 江苏省 20192020 学年高三上学期八校联考 数学数学理理试卷试卷 201910 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合 A1，B1，5，则 AUB 答案：1，5 2i 是虚数单位，复数1 5i1 i 答案：2i3 3如图伪代码的输出结果为 答案：11 4为了解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在50，150中，其频率分布直方图如图所示已知在50，75)中的频数为 100，则 n 的值为 答案：1000 5某校有 A，B 两个学生食堂，若 a，b，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为 答案：14 6已知是第二象限角，其终边上一点 P(x，5)，且2cos3，则 x 的值为 答案：2 7将函数sin()3yx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移3个单位，得到的图像对应的解析式是 答案：1sin()26yx S1 For i from 1 to 4 SS+i End For Print S 页 2 第 8已知函数23log(1)3()213xxxf xx，满足()3f a，则a 答案：7 9已知实数 a，b 满足224549aabb，则 ab 最大值为 答案：2 3 10已知0，4，且1cos43，则44sin()sin()44 答案：63 11直角ABC 中，点 D 为斜边 BC 中点，AB6 3，AC6，1AEED2uuu ruuu r，则AE EBuuu r uuu r BACDE 答案：14 12已知奇函数()f x满足(1)(1)fxfx，若当 x(1，1)时，1()lg1xf xx且(2019)1fa(0a1)，则实数a 答案：211 13已知 a0，函数()xf xae，()lng xeaxb(e 为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线()yf x和()yg x均相切，则ba最大值是 答案：e 14若关于x的方程222(2)xxa xaexe有且仅有 3 个不同实数解，则实数a的取值范围是 答案：0a 或1a 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分 14 分）已知集合 A22log(4159)x yxxxR，B1x xmxR，（1）求集合 A；（2）若 p：xA，q：xB，且 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 解：（1）集合A即为函数22log(4159)yxx定义域，即需241590 xx-2 分，即241590,xx页 3 第 即(3)(43)0 xx-5 分，得3(,3)4A -7 分（2）由111,11xmxmxmxmxm 或即或，-9 分 则1,)(,1Bmm -10 分 因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以A是B的真子集-11 分 即需31314mm 或得144mm 或-13 分 所以实数 m 的取值范围是1(,4,)4-14 分 16（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，DCAB，BAD90，且 AB2AD2DC2PD，E 为 PA 的中点（1）证明：DE平面 PBC；（2）证明：DE平面 PAB 证明：（1）设 PB 的中点为 F，连结 EF、CF，EFAB，DCAB，所以 EFDC，-2 分，且 EFDC12AB 故四边形 CDEF 为平行四边形，-4 分 可得 EDCF-5分 又 ED平面 PBC，CF平面 PBC，-6 分 故 DE平面 PBC-7 分 注：（证面面平行也同样给分）（2）因为 PD底面 ABCD，AB平面 ABCD，所以 ABPD 又因为 ABAD，PDIADD，AD平面 PAD，PD平面 PAD，所以 AB平面 PAD-11 分 ED平面 PAD，故 EDAB-12 分 又 PDAD，E 为 PA 的中点，故 EDPA；-13 分 PAIABA，PA平面 PAB，AB平面 PAB，所以 ED平面 PAB-14 分 17（本小题满分 14 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c已知 cosC35（1）若9CB CA2uuu r uuu r，求ABC 的面积；（2）设向量xr(B2sin2，3)，yu r(cosB，Bcos2)，且xryu r，b5 3，求 a 的值 页 4 第 解（1）由CB CA92，得 abcosC92 2 分 又因为 cosC35，所以 ab92cosC152 4 分 又 C 为ABC 的内角，所以 sinC45 所以ABC 的面积 S12absinC3 6 分 （2）因为 x/y，所以 2sinB2cosB2 3cosB，即 sinB 3cosB 8 分 因为 cosB0，所以 tanB 3 因为 B 为三角形的内角，0B，-9 分 所以 B3 10 分 所以331443 3sinsin()sincoscossin252510ABCBCBC-12 分 由正弦定理，5 343 3sinsin43 33102abaaAB-14 分 18（本小题满分 16 分）已知梯形 ABCD 顶点 B，C 在以 AD 为直径的圆上，AD4 米（1）如图 1，若电热丝由三线段 AB，BC，CD 组成，在 AB，CD 上每米可辐射 1 单位热量，在 BC上每米可辐射 2 单位热量，请设计 BC 的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图 2，若电热丝由弧AB，CD和弦 BC 这三部分组成，在弧AB，CD上每米可辐射 1 单位热量，在弦 BC 上每米可辐射 2 单位热量，请设计 BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大 图 1 图 2【解】设，-1 分（1），-2 分，-3 分 总热量单位-5 分 当时，取最大值，此时米，总热量最大 9（单位）.-6 分 答：应设计长为 米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为 9 单位.-7 分（2）总热量单位，-10 分 ()48sing-11 分 页 5 第 令，即，因，所以，-12 分 当时，为增函数，当时，为减函数，-14 分 当时，取最大值，此时米.-15 分 答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.-16 分 19（本小题满分 16 分）设常数aR，函数2()2xxaf xa（1）当 a1 时，判断()f x在(0，)上单调性，并加以证明；（2）当 a0 时，研究()f x的奇偶性，并说明理由；（3）当 a0 时，若存在区间m，n(mn)使得()f x在m，n上的值域为2m，2n，求实数 a 的取值范围 解(1)1a 时，12212()1,(0,),2121xxxf xx x 且12xx 21121212222(22)()()02121(21)(21)xxxxxxf xf x所以()yf x在(0,)上递减。-3 分 法二：(0,)x，22()2 ln20(21)xxfx，所以()yf x在(0,)上递减。（2）0a 时()1f x 满足()()1fxf x，()yf x为偶函数。-4 分 1a 时21(),21xxf x定义域0 x x，且21 1 2()()21 1 2xxxxfxf x，()yf x为奇函数。-6分 01aa且时，定义域为2logx xa因21,log0aa，定义域不关于原点对称-7 分，因此()yf x既不是奇函数也不是偶函数。-8 分（3）22()122xxxaaf xaa 当0a 时，()yf x在2(log,)a 和2(,log)a上递减 则2122(*)2122nmmnaaaa两式相减得222(22)22222(2)(2)222(2)(2)2nmnmnmmnnmnmnmaaaaaaaaaaaaa即得2再代入得（*）1(2)2,1(21)(21)2nnmnaa 此方程有解，如21,log 3mn 因此1a 满足题意。-11 分 页 6 第 当0a 时，()yf x在(,)递增，有题意()yf x在,m n上的值域为2,2 mn 知2122(*)2122mmnnaaaa即,m n是方程2122xxaa的两根 即方程2(2)(1)20 xxaa有两不等实根，令20,xt 即2(1)0tata有两不等正根。-13 分 即需2121 2(1)4032 232 210132 2000aaaattaaaat ta 或-15 分 综上 1(32 2,0)a -16 分 20（本小题满分 16 分）设函数()lnbf xaxxx(x0，a，bR)（1）当 b0 时，()f x在1，)上是单调递增函数，求 a 的取值范围；（2）当 ab1 时，讨论函数()f x的单调区间；（3）对于任意给定的正实数 a，证明：存在实数0 x，使得0()0f x 解：(1)当0b=时，()lnf xaxx；因()f x在1,)上是单调递增函数，则1()0fxax，即1ax对1,)x恒成立，则max1()ax 1 分 而当1,)x，11x，故1a故a的取值范围为1,)3 分(2)当1ab时，1lnaf xaxxx，2222111(1)(1)()aaxxaxaxafxaxxxx 当a0时，令()0fx，得(0,1)x，令()0fx，得(1,)x，则()f x的单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)；5 分 当102a时，21(1)()()aa xxafxx.令()0fx得，01x，或1axa，令()0fx得，11axa，则()f x的单调递增区间为(0,1)，1(,)aa，递减区间为1(1,)aa；7 分 当12a 时，22(1)()02xfxx，当且仅当1x 取“=”.页 7 第 则()f x的单调递增区间为(0,)，无减区间.8 分 当112a时，21(1)()()aa xxafxx.令()0fx得，10axa，或1x，令()0fx得，11axa，则()f x的单调递增区间为(0,1)aa，(1,)，递减区间为1(,1)aa；9 分 5 当1a 时，21(1)()()aa xxafxx，令()0fx得，1x，令()0fx得，01x，综上所述，当a0时，单调递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)；当102a时，单调递增区间为(0,1)，1(,)aa，递减区间为1(1,)aa；当12a 时，单调递增区间为(0,)，无减区间；当112a时，单调递增区间为(0,1)aa，(1,)，递减区间为1(,1)aa；当1a 时，单调递增区间为(1,)，递减区间为(0,1)，10 分(3)先证ln2xx.设()ln2p xxx,0 x,则111()xp xxxx，(0,1)x，0y，则()p x在(0,1)x单调递增；(1,)x，0y，则()p x在(0,1)x单调递减；则()(1)20p xp，故ln2xx.12 分 取法 1：取0 x=11x，其中2111|()a bxa为方程2|0axxb的较大根.因0 x=111x ，则00|bbbxx，因0 x=111xx，则00112|2|0axxbaxxb，故000000()ln|20bf xaxxaxbxx 所以对于任意给定的正实数a，存在实数0 x，使得 0()0f x 16 分 取法 2：取0 x=2|2()1ba，则20|22()2|ba xaba，则00000000000000(2)|(1)()ln20 xxa xbbxxbbf xaxxaxxxxxx.对于任意给定的正实数a，所以存在实数0 x，使得 0()0f x 16 分 附加题 21【选做题】本题包括,A B C三小题，每小题 10 分.请选定其中两题（将所选题空白框涂黑），并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 A.选修 4-2：矩阵与变换 已知矩阵M121a，其中Ra，若点(1,7)P在矩阵M的变换下得到点(15,9)P，（1）求实数a的值；页 8 第（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.解：（1）由121a17 =159，1 715a，解得2a.4 分（2）由（1）知M1221，则矩阵M的特征多项式为 212()(1)(1)42321f 令0)(f，得矩阵M的特征值为1与 3.6 分 当1时，220220 xyxy，解得0 xy 矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为11;8 分 当3时，220220 xyxy，解得xy 矩阵M的属于特征值 3 的一个特征向量为11 .10 分 B.选修 4-4：坐标系与参数方程 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12xtlyt （t为参数）与圆2:2 cos2 sin0C的位置关系 解：把直线方程12:12xtlyt 化为普通方程为2xy 3 分 将圆:C22 cos2 sin0化为普通方程为22220 xxyy，即22(1)(1)2xy 6 分 圆心C到直线l的距离222d-8 分 所以直线l与圆C相切.10 分 C.选修 4-5：不等式选讲 已知 a、b、c 是正实数，求证：a2b2b2c2c2a2bacbac.法一：因为,a b c均为正数，则 22222222222222222222222222222222222222222()2()22abababcbccbcbcbabcabcabcbcacacaabcacabbcaabccacacababbggg同理 页 9 第 法二：由abbc2bcca2caab20，得 2a2b2b2c2c2a22abbcca0，a2b2b2c2c2a2bacbac.(10 分)【必做题】第 22，23 题，每小题 10 分，计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p，且乙投球 2 次均未命中的概率为161.（）求乙投球的命中率p；（）若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为，求的分布表和数学期望.解：（）设“甲投球一次命中”为事件 A，“乙投球一次命中”为事件 B 由题意得 1611122pBP 解得43p或45（舍去），所以乙投球的命中率为43-3 分（）由题设和（）知 41,43,21,21BPBPAPAP 可能的取值为 0，1，2，3，-4 分 故 321412102BBPAPP-5 分 32721414324121321412112212APBPBPCBBPAPP-6 分 329432132BBPAPP-7 分 321531012PPPP-8 分 的分布表为 0 1 2 3 P 321 327 3215 329 -9 分 的数学期望232933215232713210E-10 分 23.设n是给定的正整数，有序数组122()na aa，同时满足下列条件：页 10 第 1 1ia，,1 2 2in，；对任意的1 kln ,都有2212liika（1）记nA为满足“对任意的1 kn，都有2120kkaa”的有序数组122()na aa，的个数，求nA；（2）记nB为满足“存在1 kn，使得2120kkaa”的有序数组122()na aa，的个数，求nB 解：（1）因为对任意的1 kn，都有2120kkaa，所以22222nnnA 1 4 2 4 3个 相乘；（3 分）（2）因为存在1 kn，使得2120kkaa，所以2122kkaa或2122kkaa，设所有这样的k为12(1)mkkkmn,，不妨设2122(1)jjkkaajm，则112122jjkkaa（否则12212jjkiika=4）；同理，若2122(1)jjkkaajm ，则112122jjkkaa，-5 分 这说明212jjkkaa的值由11212kkaa的值（2 或2）确定，又其余的()nm对相邻的数每对的和均为 0，所以，11222C22C22CnnnnnnnB-7 分 11222(2+C2C2C)2 2nnnnnnnn 2(12)2 2nn 2(32)nn（-10 分）