江西省南昌市2020届高三第二轮复习测试卷理科数学二
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高三理科数学(二)第 1 页(共 4 页)2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试卷 理科数学理科数学(二二)命题人:江西师大附中命题人:江西师大附中 陈选明陈选明 审题人:新建一中审题人:新建一中 程波程波 本试卷分必做题和选做题两部分满分150分,考试时间120分钟 注意事项:1客观题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号主观题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答,答题无效 2选做题为二选一,先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑,没有选择作答无效 3考试结束后,监考员将答题卡收回 一选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合22020|log(10 3)Mx yxx,|20201xNy y,则MN A.(1,2)B.1,2 C.(1,2)D.1,2 2已已知复数1 i2z是实数,则复数z的虚部为 A.1 B.2 C.i D.2i 3在ABC中,内角,A B C所对的边分别为,a b c,若sin3cBa,ABC的面积为3 32,3 3ab,则边c的值为 A21 B3 C21或3 D21或3 4 若x、y满足约束条件402330410 xyxyxy,等差数列 na满足14,ax ay,其前n项和为nS,则74SS的最小值为 A13 B1 C5 D5 5函数()sin(cos1)f xxx在,的图像大致为 A B C D 6已知定义在R上的奇函数()f x满足(1)(1)f xfx,且当(1,0)x 时()2axf x ,若44(1log 80)5f,则a()A1 B2 C1 D2 高三理科数学(二)第 2 页(共 4 页)7已知函数()sin()f xx(0,22)的图像上相邻两个最高点之间的距离为,且函数()f x的图像关于直线3x 对称,将函数()f x的图像向右平移12个单位长度得到()yg x的图像,若()g x在区间,t t上单调递增,则t的最大值是 A12 B6 C4 D3 8 在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PDAC,AB 平面PAD,且CDPD=3.若四棱锥PABCD的每个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积的最小值为 A B2 C4 D6 9已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为1F,2F,焦距为2c,若圆 222:()Dxcyc上存在一点M,使得点M与1F关于双曲线C的一条渐近线对称,则双曲线C的离心率e A5 B2 C2 D3 10几何体甲与几何体乙的三视图如图所示,几何体甲的 正视图和侧视图为两个全等的等腰三角形,且等腰三 角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等,若 几何体甲的体积是乙的体积的14,则几何体甲与乙的 表面积之比为 A1:3 B1:4 C1:2 D1:2 11建设“学习强国”学习平台是贯彻落实习近平总书记关于加强学习、建设学习大国重要指示精神、推动全党大学习的有力抓手该平台内容丰富,极大地满足了互联网条件下广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块某人在六大板块学习过程中,“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有 A192种 B240种 C432种 D528种 12 定 义 在(0,)上 的 函 数()f x的导 函 数()fx,且2(1)()()2xfxf xxx对(0,)x恒成立,现有下述四个结论:2(2)3(1)5ff;若(1)2f,01x,则211()22f xxx;(3)2(1)7ff;若(1)2f,1x,则211()22f xxx 其中所有正确结论的编号是 A B C D 二填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13已知a与b满足223ababa,则a与b的夹角为_ 14从数学内部看,推动几何学发展的矛盾有很多,比如“直与曲的 矛盾”,随着几何学的发展,人们逐渐探究曲与直的相互转化,高三理科数学(二)第 3 页(共 4 页)比如:“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等积的问题.如图,设等腰直角三角形ABC中,ABBC,90ABC,以AC为直径作半圆,再以AB为直径作半圆AmB,那么可以探究月牙形面积(图中黑色阴影部分)与AOB面积(图中灰色阴影部分)之间的关系,在这种关系下,若向整个几何图形中随机投掷一点,那么该点落在图中阴影部分的概率为_ 15已知A、B为抛物线24yx上的两个动点,且OAOB,抛物线的焦点为F,则ABF面积的最小值为_ 16在ABC中,内角,A B C所对的边分别为,a b c,sinsinsin2 sinaAbBcCaB,则2sin2tanAB的最大值是_ 三解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(一)必做部分 17(本小题满分 12 分)已知数列 na满足11(1)nnnanaa,*nN()证明:数列 na为等差数列;()设数列 na的前n项和为nS,若211aa,且对任意*nN,都有12311111433nSSSS,求整数1a的值 18(本小题满分 12 分)如图 1,在等腰梯形12ABFF中,两腰212AFBF,底边6AB,124FF,D,C是AB的三等分点,E是12FF的中点,分别沿CE,DE将四边形1BCEF和2ADEF折起,使1F,2F重合于点F,得到如图 2 的几何体在图 2 中,M,N分别为CD,EF的中点 ()证明:MN 平面ABCD;()求直线CN与平面ABF所成 角的正弦值 19(本小题满分 12 分)设函数()(1)e(2ee)xxf xxa()求()f x的单调区间;()若不等式()0f x 对(2,)x恒成立,求整数a的最大值 20(本小题满分 12 分)在某企业中随机抽取了 5 名员工测试他们的艺术爱好指数(010)xx和创新灵感指数(010)yy,统计结果如下表(注:指数值越高素质越优秀):艺术爱好指数 2 3 4 5 6 创新灵感指数 3 3.5 4 4.5 5()求创新灵感指数y关于艺术爱好指数x的线性回归方程;()企业为提高员工的艺术爱好指数,要求员工选择音乐和绘画中之一进行培训,培训音乐次数t对艺术爱好指数x的提高量200(10)(1 e)tx,培训绘画次数t对艺术爱好指数x的提高量为010(10)(1)10 xt,其中0 x为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数 高三理科数学(二)第 4 页(共 4 页)(i)艺术爱好指数已达 3 的员工甲选择参加音乐培训,艺术爱好指数已达 4 的员工乙选择参加绘画培训,在他们都培训了 20 次后,估计谁的创新灵感指数更高?(ii)若艺术爱好指数已达 4 的员工,参加培训 10 次、20 次的概率分别为23,13,而他选择参加音乐或绘画培训的概率分别为23,13,估计该员工培训后创新灵感指数的数学期望(精确到0.1)附:平均值11nxxxxn,计算值:12e0.6,1e0.37回归直线方程yabx的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()()()niiiniixxyybxx,aybx 21(本小题满分 12 分)已知椭圆2222:1xyCab(0ab)的右焦点为F,直线3 5:2l yx与椭圆C在第一象限内的交点Q在线段OF的垂直平分线上(O为坐标原点),且OQF的面积为3 58()求椭圆C的方程;()若PMN为椭圆的内接三角形,且满足MNx轴,设直线PM,PN与x轴的交点分别为G,H,求22OGOH的最小值,并求出此时点P的坐标 (二)选做部分 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上 22(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中,直线1:4Cx,圆2C的参数方程为1 cossinxy(为参数)以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系()求1C,2C的极坐标方程;()设射线l的极坐标方程为=(0,)2 与1C,2C的交点分别为,A B,P为AB 的中点,若5 22OP,求点P的极坐标 23(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 1+3f xxx ()求不等式 5f x 的解集;()证明:()+(4)81f xf xx 高三理科数学(二)第 5 页(共 4 页)2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷 理科数学(二)参考答案 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 C A D C D D A D C D C B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)1323 142+1 1512 1632 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17【解析】()因为11(1)nnnanaa,*nN,所以11(2)(1)nnnanaa,2n,-得:11(1)2(1)(1)0nnnnanana,2n 且*nN 所以1120nnnaaa,2n 且*nN,即1121nnnnaaaaaa 所以数列 na为等差数列;()因为211aa,所以数列 na的公差为1,因为对任意*nN,都有12311111433nSSSS,所以111433S,即1334S,所以11a 或2 当11a 时,22a,此时11S,23S,所以121114133SS,这与题意矛盾,所以11a 当12a 时,1nan,此时(3)02nn nS,111123S,所以123111113nSSSS恒成立因为12 11()33nSnn,所以 1231111211111111111(1)34253621123nSSSSnnnnnn211111114(1)32312393nnn 综上所述,整数1a的值为2 18【解析】()由于四边形BCEF和ADEF均为菱形,所以/ADBC且ADBC,故四边形ABCD为平行四边形 又ADCD,及由对称性知,90ADCBCD,所以四边形ABCD为正方形 N为EF中点,所以1EN,得1EC,3CN,于是222NECNCE,所以CNNE,所以CNBC 所以BC 平面CDN,从而MNBC 由对称性知CNDN且M为CD的中点,所以MNCD 高三理科数学(二)第 6 页(共 4 页)所以MN 平面ABCD()设AB的中点为G,以M为原点,以,MG MC MN分别为,x y z轴,建立空间直角坐标系 2MN,则(2,1,0),(2,1,0),(0,1,0),(0,0,2),(1,0,2)ABCNF 有(0,1,2)CN,(0,2,0)AB ,(1,1,2)AF 设平面ABF的法向量为(,)nx y z,由00n ABn AF ,得2020yxyz 取(2,0,1)n,由2sin3n CNn CN 得直线CN与平面ABF所成角的正弦值为23 19【解析】()()ee()exxxfxxaxa,令()0fx,则xa 当(,)xa 时,()0fx;当(,)xa时,()0fx 所以()f x的单调递增区间是(,)a,单调递减区间是(,)a()当(2,)x时,(1)e(2ee)0 xxxa恒成立,等价于当(2,)x时,(1)ee2exxxa恒成立,即min(1)ee2exxxa对(2,)x恒成立 令(1)e()e2exxxg x,(2,)x2e(e2e)()(e2e)xxxxg x令()e2exh xx,(2,)x,()e2e0 xh x,所以()e2exh xx在(2,)上单调递增 又因为2(2)e4e0h,2(3)e6e0h,所以()g x在(2,)上有唯一零点0 x,且000e2e,(2,3)xx x 所以()g x在0(2,)x上单调递减,在0(,)x 上单调递增,所以000min00(1)e()()(2,3)e2exxxg xg xx,故整数a的最大值为2 20【解析】()设yabx,有51145iixx,51145iiyy 则51521()()51102()iiiiixxyybxx,14422aybx,所以122yx()(i)员 工 甲 经 过20次 的 培 训 后,估 计 他 的 艺 术 爱 好 指 数 将 达 到201203(103)(1 e)107ex,因此估计他的创新灵感指数为1112(107e)7(1)22ey 员工乙经过 20 次的培训后,估计他的艺术爱好指数将达到104(104)(1)82010 x,高三理科数学(二)第 7 页(共 4 页)因此估计他的创新灵感指数为12862y 由于17(1)62e,故培训后乙的创新灵感指数更高(ii)该员工参加 10 次,20 次音乐培训后的创新灵感指数估计分别为37e,37e,该员工参加 10 次,20 次绘画培训后的创新灵感指数估计分别为112,6,参加 10 次音乐培训的概率为224339,参加 20 次音乐培训的概率为122339,参加 10 次绘画培训的概率为212339,参加 20 次音乐培训的概率为111339,所以创新灵感指数的期望估计为 343211211126(7)(7)6(59)5.59e92999eeeEY 21【解析】()由题意知(,0)F c,则3 5(,)24ccQ,将点Q的坐标代入椭圆方程得2222451416ccab 因为OQF的面积为3 58,所以13 53 5248cc,得1c 又222abc ,所以由得,故椭圆的方程为22143xy()设点00(,)P xy,11(,)M x y,11(,)N xy,则直线PM的方程为010001()yyyyxxxx 令0y,得011001y xy xxyy,所以011001y xy xOGyy 直线PN的方程为010001()yyyyxxxx 令0y,得011001y xy xxyy,所以011001y xy xOHyy 所以222201100110011022010101()()222y xy xy xy xy xy xOGOHOGOHyyyyyy 将2200334xy,2211334xy,代入2201102201()()2y xy xyy,得22220110220133(3)(3)4428333344xxxxxx,所以228OGOH,当且仅当OGOH,即0 11001100101y xy xy xy xyyyy时取得等号 高三理科数学(二)第 8 页(共 4 页)当0 11001100101y xy xy xy xyyyy时,化简得1010()0yyxx,根据题意知10 xx,若10y,则与题意不符,所以00y,此时02x 或02x 当0 11001100101y xy xy xy xyyyy 时,化简得220110y xy x,将2200334xy,2211334xy 代入上式并化简,得01103(3)()04x xxx,根据题意知10 xx,则013304x x,即014x x ,而022x,122x,所以014x x 不成立,即0 11001100101y xy xy xy xyyyy 不成立 综上,22OGOH的最小值为8,且此时点P的坐标为(2,0)或(2,0)22【解析】()1:4Cx 极坐标方程为cos4,21cos:sinxCy 的直角坐标方程为2220 xyx,所以2C极坐标方程为2cos()设(,)P,射线l的极坐标方程为=(0,)2 与1C,2C的交点,A B的极坐标 分别满足14cos,22cos由5 22OP,得12+25 2cos2cos2 所以22cos5 2cos40,即(2cos2)(cos2)0 所以2cos=2,=4,所以点P的极坐标为5 2(,)24 23【解析】()因为 1+35fxxx,当3x 时,不等式可化为(1)(+3)5xx,即(2)(+4)0 xx,所以43x ;当31x 时,不等式可化为(1)(+3)5xx,即2(1)+10 x,所以31x;当1x 时,不等式可化为(1)(+3)5xx,即(2)(+4)0 xx,所以12x 所以原不等式的解集为42xx ()()+(4)13511(35)f xf xxxxxxxx 1(35)81xxxx 高三理科数学(二)第 9 页(共 4 页)高三理科数学(二)选择填空详细解析 1C【解析】因为22020|log(103)|52Mx yxxxx,|20201|1xNy yx x所以|12MNxx,故答案选 C 2A【解析】因为22(1)11(1(1ii)iii),要使1 i2z是实数,所以复数i()zaaR,故答案选 A 3D【解析】因为sin3cBa,由正弦定理可得sinsin3sinCBA,sin0B,所以3sin3sinsinAaCBb 又ABC的面积为3 32,所以2133 3sin222abCa,得3a 又3 3ab,所以2 3b,3sin2C,所以1cos2C 所以根据余弦定理2222coscababC得21c 或3c,故答案选 D 4C【解析】在等差数列 na中,由14,ax ay可得3yxd,所以741172146315253yxSSadadxxy,令25zxy,作出可行域可知,在点(0,1)处取得最小值,故74minmin()2 05(1)5SSz ,故答案选 C 5D【解析】因为可判断函数()f x是奇函数,可以排除答案 A 和 B;当(0,)x时,有2()cos(cos1)sin(sin)2coscos1fxxxxxxx,令()0fx 可得1cos2x 或者cos1x(舍去),所以函数()f x在2(0,)3单调递减,在2(,)3单调递增,故答案选 D 6D【解析】因为奇函数()f x满足(1)(1)f xfx,有函数的周期为4T,所以4444(1log 80)(3log 5)(1log 5)5fff,则24(1log5)5f 因为21log5(1,0),所以21 log54(2)5a,即24()55a,故2a,故答案选 D 7 A【解析】由题意知()f x的最小正周期2T,解得2,所以()sin(2)f xx 又函数()f x的图像关于直线3x 对称,所以2sin()13,得6k,kZ,又22,所以6,故()sin(2)6f xx将函数()f x的图像向右平移12个单位长度 得 到()sin 2()sin(2)1263g xxx的 图 像 由112 22 232kxk 高三理科数学(二)第 10 页(共 4 页)(1kZ)可得1151212kxk(1kZ),又()g x在,t t上单调递增,所以12512tt 解得12t,所以012t,所以t的最大值为12,故答案选 A 8D【解析】设PDx(03x),则3PDx,因为AB 平面PAD,所以AB PD 又AC PD,所以PD 平面ABCD,则四棱锥PABCD可补形成一个长方体,球O的球心为PB的中点,从而球O的表面积为22222(3)4()3(1)262xxxx,故答案选 D 9C【解析】由题意知1(,0)Fc,2(,0)F c,设1,F M关于渐近线byxa对称,则1F到该渐近线的距离为22bcbab 连接1FM,记1FM与该渐近线交于点N,则12FMb,且N为1FM的中点连接2F M,因为坐标原点O是12FF中点,所以2/ONF M,则12FMF为直角,所以12FMF为直角三角形,由勾股定理得22244ccb,故22234()cca,因此224ca,得2e,故答案选 C 10D【解析】由三视图可知甲为圆锥,乙为球设球的半径为R,圆锥底面半径为r,则圆锥高2hR,母线长22lrh,因为甲与乙的体积之比为 1:4,所以324433Rr h,即222Rr,2243lrRr所以22122231482SrrlrrrSRr,故答案选 D 11C【解析】若“阅读文章”与“视听学习”相邻,则有2525AA种可能;若“阅读文章”与“视听学习”相隔一个答题模块,则有214244ACA种可能,故有 432 种可能,故答案选 C 12B【解析】设函数2()()1f xxg xx,则22()2(1)()()(1)fxxxf xxg xx 22(1)()()(2)(1)xfxf xxxx 因为2(1)()()2xfxf xxx,所以()0g x,故()g x在(0,)上单调递减,从而(1)(2)(3)ggg,整理得2(2)3(1)5ff,(3)2(1)7ff,故正确 当01x时,若(1)2f,因为()g x在(0,)上单调递减,所以1()(1)2g xg,即2()112f xxx,即211()22f xxx,故正确,从而不正确,故答案选 B 1323【解析】因为223ababa,所以22(2)3aba和22(2)3aba,两式 高三理科数学(二)第 11 页(共 4 页)相减得ba,代入可得212a ba ,所以1cos2a ba ba b ,又0,a b,故a与b的夹角为23 142+1【解析】由已知不妨设2 2AC,则2AB,如图,月牙形面积等于半圆AmB的面积减去弓形I的面积,即2211 1(2)22AOBAOBSSS 月牙形,可见月牙形面积与AOB面积相等,而1=22=12AOBS,整个图形的面积21=(2)112S ,阴影部分面积为2=2AOBS,由几何概型的概率计算公式得,所求概率为2+1 15 12【解析】设AB所在直线方程为xmyt,11(,)A x y,22(,)B xy 由题意知10y,20y,联立方程组24xmytyx得2440ymyt所以12124,4yym y yt 又因为OAOB,所以12120 x xy y,即221212044yyyy,解得1216yy,所以4t,即直线AB恒过定点(4,0)M又(1,0)F,所以3MF 故21213364(1)8122242ABFmSMFyy,当且仅当0m 时,等号成立,故答案为12 1632 2【解析】依题意得2222abcab,则2cos2abCab,所以2cos2C ,所以3,44CAB,所以22222(1tan)tansin2tancos2tan1tanBBABBBB 令21tan(1,2)tB,则有222(1tan)tan(2)(1)2()332 21tanBBt ttBtt,当且仅当时2t 取等号,故2sin2tanAB的最大值是32 2,故答案为32 2