北京东城2018.4文数.pdf

高三数学（文）（东城）第 1 页（共 11 页）北京市东城区 2018-2019 学年度第二学期高三综合练习（一）北京市东城区 2018-2019 学年度第二学期高三综合练习（一）数学（文科）2019.4本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合2 20,210AxxxBxx，则AB（A）12x x（B）12x x（C）0 x x（D）R（2）在复平面内，若复数(2i)z对应的点在第二象限，则z可以为（A）2（B）1（C）i（D）2+i（3）已知圆22:20C xxy+=，则圆心C到直线3x=的距离等于（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设E为ABC的边AC的中点，+BEmAB nAC，则,m n的值分别为（A）11,2-（B）1,12-（C）1,12-（D）11,2（5）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）平行四边形（D）梯形（6）若,x y满足62010 xxyyy则xy-的最大值为（A）0（B）1（C）2（D）4高三数学（文）（东城）第 2 页（共 11 页）（7）南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为12,S S，则“12,V V相等”是“12,S S总相等”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对 3 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票.这 3 名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%,70%,46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为（A）68%（B）88%（C）96%（D）98%第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）在等差数列 na中，262aa，则4a.（10）抛物线 C:22ypx上一点0(1,)y到其焦点的距离为 3，则抛物线 C 的方程为_.（11）在ABC中，若cossin0bCcB，则C=.（12）已知函数()2sin()4f xx，若对于闭区间ab，中的任意两个不同的数12xx，都有1212()()0f xf xxx成立，写出一个满足条件的闭区间.（13）设函数2,()1,.xexxaf xaxxa若1a=，则()f x的最小值为；若()f x有最小值，高三数学（文）（东城）第 3 页（共 11 页）则实数a的取值范围是_（14）设AB，是R的两个子集，对任意xR，定义：01xAmxA，01.xBnxB，若AB，则对任意xR，(1)mn_；若对任意xR，1mn，则AB，的关系为_.三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）已知函数 4cos sin16fxxx.（）求23f的值；（）求 fx的最小正周期，并画出 fx在区间0,上的图象.（16）（本小题 13 分）已知等比数列 na的首项为 2，等差数列 nb的前n项和为nS，且126aa，1342bab，323Sa.（）求 na，nb的通项公式；（）设nnacb，求数列 nc的前n项和.高三数学（文）（东城）第 4 页（共 11 页）（17）（本小题 13 分）改革开放 40 年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及下图是我国 2006 年至 2016年体育产业年增加值及年增速图其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（）（）从 2007 年至 2016 年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率；（）从 2007 年至 2011 年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过 25%的概率；（）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）（18）（本小题 14 分）如图，在四棱锥PABCD 中，PA 平面ABCD，3PA ，/ABCD，ABAD，1ADDC，2AB ，E为侧棱PA上一点.（）若13PEPA，求证：PC/平面EBD；（）求证：平面EBC 平面PAC；（）在侧棱PD上是否存在点F，使得AF 平面PCD？若存在，求出线段PF的长；若不存在，请说明理由高三数学（文）（东城）第 5 页（共 11 页）（19）（本小题 13 分）已知3(2,0),(1,)2AP为椭圆22221(0)xyMabab：上两点，过点P且斜率为,(0)kk k的两条直线与椭圆M的交点分别为,B C.（）求椭圆M的方程及离心率；（）若四边形PABC为平行四边形，求k的值（20）（本小题 14 分）已知函数2()(2)lnf xaxaxx.（）若函数()f x在1x 时取得极值，求实数a的值；（）当01a时，求()f x零点的个数.高三数学（文）（东城）第 6 页（共 11 页）北京市东城区 2018-2019 学年度第二学期高三综合练习（一）北京市东城区 2018-2019 学年度第二学期高三综合练习（一）数学（文科）参考答案及评分标准数学（文科）参考答案及评分标准2019.4一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C（2）B（3）D（4）A（5）A（6）D（7）B（8）C二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）1（10）28yx（11）34（12）544，（答案不唯一）（13）0；0,（14）0；ABR 三、解答题（共 6 小题，共 80 分）三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（I）2224cossin13336f24cossin132141 12 1.3 分（）4cos sin16f xxx4cossin coscos sin166xxx314cossincos122xxx22 3sin cos2cos1xxx3sin2cos2xx312sin2cos222xx2sin 26x.9分所以()fx的最小正周期22T.10 分高三数学（文）（东城）第 7 页（共 11 页）因为0,x，所以112,666x.列表如下：26x-6-0232116x012371256()f x1-0202-1-.13 分（16）（共 13 分）解:（）设数列 na的公比为q，数列 nb的公差为d.由126aa，得116aaq.因为12a，所以2q.所以1112 22nnnnaaq.由134322,3babSa，得111283,3312bbdbd，解得11,3.bd所以1(1)32nbbndn.8 分（）由（）知2nna，32nb=n.所以3 22nnnacb.从而数列 nc的前n项和1233(2222)2nnTn 高三数学（文）（东城）第 8 页（共 11 页）2(1 2)321 2nn 6226.nn.13 分（17）（共 13 分）解：（）设A表示事件“从 2007 年至 2016 年这十年中随机选出一年，该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上”根据题意，42()105P A.3 分（）从 2007 年至 2011 年这五年中有两年体育产业年增长率超过 25%，设这两年为A，B，其它三年设为C，D，E，从五年中随机选出两年，共有 10 种情况：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，其中至少有一年体育产业年增长率超过 25%有种情况，所以所求概率为710.9 分（）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大.13 分（18）（共 14 分）解：（）设ACBDG，连结EG.由已知/ABCD，1DC ，2AB,得2AGABGCDC.由13PEPA,得2AEEP.在PAC中，由AEAGEPGC，得/EGPC.因为EG平面EBD，PC平面EBD，所以PC/平面EBD.5 分（）因为PA 平面ABCD，BC平面ABCD，高三数学（文）（东城）第 9 页（共 11 页）所以BCPA.由已知得2AC，2BC，2AB，所以222ACBCAB.所以BCAC.又PAACA，所以BC 平面PAC.因为BC平面EBC，所以平面EBC 平面PAC.10 分（）在平面PAD内作AFPD 于点F，由DCPA，DCAD，PAADA，得DC 平面PAD.因为AF平面PAD，所以CDAF.又PDCDD，所以AF 平面PCD.由3PA，1AD，PAAD，得32PF .14分（19）（共 13 分）解：（I）由题意得222,191.4aab解得2,3.ab所以椭圆M的方程为22143xy.又221cab，所以离心率12cea.5 分（II）设直线PB的方程为(0)ykxm k，由22,143ykxmxy消去y，整理得222(3 4)8(412)0k xkmxm.高三数学（文）（东城）第 10 页（共 11 页）当0 时，设1122(,),(,)B x y C x y，则21241213 4mxk，即2124123 4mxk.将3(1,)2P代入ykxm，整理得32mk，所以21241233 4kkxk.所以2112121292(34)kkykxmk.所以2222412312129(,)342(34)kkkkBkk.同理2222412312129(,)342(34)kkkkCkk.所以直线BC的斜率212112BCyykxx.又直线PA的斜率30121(2)2PABCkk，所以/PABC.因为四边形PABC为平行四边形，所以PABC.所以2222412341231(2)3434kkkkkk，解得32k 或12.12k 时，(2,0)B 与A重合，不符合题意，舍去.所以四边形PABC为平行四边形时，32k.13 分（20）（共 14 分）解：（I）()fx定义域为(0,).212(2)1(21)(1)()2(2)axaxxaxfxaxaxxx.由已知，得(1)0f，解得1a=.当1a=时，(21)(1)()xxfxx.所以()001,()01fxxfxx.所以()fx减区间为(0,1)，增区间为(1,)+.高三数学（文）（东城）第 11 页（共 11 页）所以函数()fx在1x 时取得极小值，其极小值为(1)0f=，符合题意所以1a.5 分（II）令(21)(1)()0 xaxfxx，由01a.所以11()00,()0fxxfxxaa.所以()fx减区间为1(0,)a，增区间为1(,)a+.所以函数()fx在1xa时取得极小值，其极小值为11()ln1faaa=+-.因为01a，所以1ln0,1aa.所以110a.所以11()ln10faaa=+-+=，又因为01a.所以1()0fe.根据零点存在定理，函数()fx在1(0,)a上有且仅有一个零点.因为lnxx，22()(2)ln(2)(3)f xaxaxx axax xx ax a .令30axa，得3axa-.又因为01a.所以当3axa-时，()0f x.根据零点存在定理，函数()fx在1(,)a+上有且仅有一个零点.所以，当01a时，()fx有两个零点.14 分