2020届广东省惠州市高三上学期第三次调研考试数学（理）试题（PDF版）.pdf

1 页 惠州市惠州市 20202020 届高三第三次调研考试届高三第三次调研考试 理科数学理科数学 2020.1 全卷满分 150 分，时间 120 分钟 注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：一、选择题：本题共本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1已知全集UR，|21xAx，则UA()A1x x B1x x C0 x x D0 x x 2设i为虚数单位，复数21322zi，则z在复平面内对应的点在第()象限 A一 B二 C三 D四 3已知20201loga，20201b，12020c，则()Acab Bacb Cbac Dabc 4在直角坐标系xOy中，已知角 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线3yx上，则3sin(2)2=()A45 B45 C35 D12 5在平行四边形ABCD中，ABauuu rr，ADbuuu rr，4AMMCuuuu ruuu u r，P为AD的中点，则MPuuu r=()A43510abrr B4354abrr C43510abrr D1344abrr 6设aR，则“2a”是“直线1:250lxay与直线2:420laxy平行”的()条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 7数列na：1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，它是由十三世纪意大利数学家列昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。该数列从第 3 项开始，每项等 2 页 于其前相邻两项之和，即21nnnaaa 记该数列na的前n项和为nS，则下列结论正确的是()A201920202Sa B201920212Sa C201920201Sa D201920211Sa 8 易经是中国传统文化中的精髓之一。右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线）。从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为()A114 B17 C528 D514 9函数 21sin1xf xxe的图象的大致形状是()A B C D 10如图，平面过正方体的顶点 A，平面平面平面，则 m、n 所成角的正弦值为()A12 B12 C33 D32 11已知 F 为抛物线的焦点，点 A、B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，其中 O 为坐标原点，则与面积之和的最小值是()A2 B3 C17 28 D 12已知函数满足，且在上有最小值，无最大值。给出下述四个结论：；若，则；的最小正周期为 3；在上的零点个数最少为 1346 个 其中所有正确结论的编号是()A B C D x y O x y O x y O x y O mn 3 页 二二、填空题：本题共填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分分，共，共20分分，其中第，其中第15题第一空题第一空2分，第二空分，第二空3分。分。4 页 0n 开始结束2nnn输出220?n是否 5 页 13执行如图所示的程序框图，则输出的 n 值是_ 14若，则的值是_ 15设数列的前 n 项和为，若，则_，_ 16已知双曲线1:C22221(00)xyabab，的离心率2e，左、右焦点分别为12FF、，其中2F也是抛物线22:20Cypx p的焦点，1C与2C在第一象限的公共点为P若直线1PF斜率为34，则双曲线离心率e的值是_ 三三、解答题：共解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必题为必考题，每个考生都必须作答。第须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共60分。分。17（本小题满分 12 分）在平面四边形ABCD中，3ABC，2ADC，2BC （1）若ABC的面积为3 32，求AC；（2）若2 3AD，3ACBACD，求tanACD 18（本小题满分 12 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，E 为 CD 中点，以 AE 为折痕把折起，使点 D 到达点 P 的位置平面 （1）证明：；B D C A 6 页（2）若直线 PB 与平面 ABCE 所成的角为4，求二面角的余弦值 19.（本小题满分 12 分）为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程。惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了 100 人进行调查。（1）已知在被抽取的学生中高一班学生有 6 名，其中 3 名对游泳感兴趣，现在从这 6 名学生中随机抽取 3 人，求至少有 2 人对游泳感兴趣的概率；（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示。若从高一班和高一班获奖学生中随机各抽取 2 人进行跟踪调查，记选中的 4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数为，求随机变量的分布列及数学期望。班级 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 市级 比赛获奖人数 2 2 3 3 4 4 3 3 4 2 市级以上 比赛获奖人数 2 2 1 0 2 3 3 2 1 2 20（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知过点的直线l与椭圆22:14xCy交于不同的两点，其中.（1）若，求的面积；（2）在 x 轴上是否存在定点 T，使得直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形。21（本题满分 12 分）7 页 已知实数0a，设函数 eaxf xax（1）求函数 fx的单调区间；（2）当12a 时，若对任意的1,x ，均有 212af xx，求a的取值范围。注：e2.71828L L为自然对数的底数。（二）选考题：共（二）选考题：共10分。分。请考生在第请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。时请写清题号并将相应信息点涂黑。22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为2cos，若极坐标系内异于O的三点1,A，2,6B，3123,06,C 都在曲线M上（1）求证：1233；（2）若过B，C两点的直线参数方程为32212xtyt（t为参数），求四边形OBAC的面积 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 24f xxx（1）求不等式 3f xx的解集；（2）若 1f xk x对任意Rx恒成立，求k的取值范围 8 页 惠州市惠州市 20202020 届高三第三次调研考试届高三第三次调研考试 理科数学参考答案及评分细则理科数学参考答案及评分细则 一、一、选择题选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D A C A D D A D B C 1.【解析】210 xAxx x，0UC Ax x，故选 D.2.【解析】21313ii2222z （），所以z对应的点在第二象限，故选 B.3.【解析】20201loga 2020log10，20201b01，12020c 1，所以abc.故选 D.4.【解析】因为角 终边落在直线3yx上，所以tan3，21cos10，所以3sin(2)224cos2(2cos1).5 故选 A.5.【解析】如图所示，12451245()12br45(arbr)45ar310br.故选 C.6.【解析】依题意，知4a12a，且52a12，解得 a2.故选 A.7.【解析】1233243546521()()()()()nnnnSaaaaaaaaaaaaaaLL 2221nnaaa，所以201920211Sa，故选 D.8.【解析】11332815.14C CPC故选 D.9.【解析】21sin1xf xxe1sin1xxexe是偶函数，排除 C、D，又(1)0,fQ故选 A.10.【解析】如图：面，面，面，可知，因为是正三角形，mn、所成角为 60 则 m、n 所成角的正弦值为故选 D 11.【解析】设直线 AB 的方程为：，点,，直线 AB 与 x 轴的交点为，9 页 由，根据韦达定理有,，结合及，得，点 A、B 位于 x 轴的两侧，故不妨令点 A 在 x 轴上方，则,又,当且仅当，即时，取“”号，与面积之和的最小值是 3故选 B 12.【解析】区间中点为，根据正弦曲线的对称性知,正确。若，则，即，不妨取，此时，满足条件，但为上的最大值，不满足条件，故错误。不妨令，两式相减得,即函数的周期，故正确。区间的长度恰好为 673 个周期，当时，即时，在开区间上零点个数至少为，故错误。故正确的是，故选 C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分分，共，共20分分，其中第，其中第15题第一空题第一空2分，第二空分，第二空3分。分。13、6 14、3 15、1（2 分）；分）；121（3 分）分）16、47 13.【解析】22,220;n 44,220;n 66,220.n 故答案为 6.14.【解析】令0 x，得01a，令，则所以1283.aaa L 15.【解析】由时，可得，又，即，即有，解得；由，可得，由，可得，16.【解析】因为2F是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以2pc，解得2pc，所以抛物线的方程为：24ycx；由1123tan4PFkPFF，124cos5PFF，如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设0(P x，0)y，则2002pPMPFxxc，1015()cos4PMPFxcMPF 由122PFPFa，可得0005()()284xcxcaxac 在12PFF中，208PFxca，12210PFPFaa，122FFc，由余弦定理得2222112112122cosPFPFFFPF FFPFF 即2224(8)(10)(2)2 1025aacac，化简得2540450ee 10 页 47e，又2e，47e 故答案为47 三、解答题：共三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必题为必考题，每个考生都必须作答。第须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。17（本小题满分 12 分）【解析】【解析】（1）在ABC中，因为2BC，3ABC，13 3sin22ABCSAB BCABC，1 分 所以33 322AB，解得3AB 2 分 在ABC中，由余弦定理得2222cos7ACABBCAB BCABC，4 分 因为0AC，所以7AC 5 分（2）设ACD，则33ACBACD 6 分 在Rt ACD中，因为2 3AD，所以2 3sinsinADAC 7 分 在ABC中，3BACACBABC，8 分 由正弦定理得sinsinBCACBACABC，即22 33sin()sin32，9 分 所以2sin()sin3，所以312(cossin)sin22，10 分 即3cos2sin，11 分 所以3tan2，即3tan2ACD 12 分 11 页 18.（本小题满分 12 分）【解析】【解析】（1）证明：连接 BD，设 AE 的中点为 O，四边形 ABCE 为平行四边形，1 分，为等边三角形，2 分 又，平面 POB，平面 POB 3 分【注】无写出此步骤不得分。【注】无写出此步骤不得分。平面 POB 4 分 又平面 POB，5 分（2）【解法一】向量法 在平面 POB 内作平面 ABCE，垂足为 Q，则 Q 在直线 OB 上，直线 PB 与平面 ABCE 夹角为，又，、Q 两点重合，即平面 ABCE,6 分【注】无证明此得分点不给分。【注】无证明此得分点不给分。以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 0,，0,，0,，7 分 设平面 PCE 的一个法向量为 y,，则，即,8 分 令，得 9 分 又平面 PAE，1,为平面 PAE 的一个法向量 10 分 设二面角为，则 11 分 易知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为12 分【解法二】几何法 在平面 POB 内作平面 ABCE，垂足为 Q，则 Q 在直线 OB 上，直线 PB 与平面 ABCE 夹角为，又，、Q 两点重合，即平面 ABCE，6 分【注】无证明此得分点不给分。【注】无证明此得分点不给分。过点 C 作 CHAE 交于点 H，连结 PH，则二面角 A-PE-C 与二面角 H-PE-C 互为补角。又因为 CHPO，所以 CH面 PAE，过 H 作 HFPE 交于点 F，连结 CF，由三垂线定理知 CFPE 所以CFH 为二面角 H-PE-C 的平面角。7 分 在 RtCHE 中，CEH=60，CE=1，所以 HE=，CE=，8 分 在 RtHFE 中，FEH=60，HE=，所以 HF=9 分 F 12 页 在 RtCHF 中，由勾股定理知 CF=10 分 故 cosCFH=11 分 所以二面角的余弦值为12 分 19.（本小题满分 12 分）【解析】（1）【解法一】记事件从 6 名学生抽取的 3 人中恰好有 i 人有兴趣，1，2，；则与互斥1 分 故所求概率为2 分 3 分；4 分【解法二】记事件从 6 名学生抽取的 3 人中恰好有 i 人有兴趣，1，2，；则与互斥1 分 故所求概率为2 分 3 分；4 分（2）由题意知，随机变量的所有可能取值有 0，1，2，3；5 分 6 分 7 分 8 分 9 分 则的分布列为：0 1 2 3 p 10 分【注】无列表此得分点不得分。【注】无列表此得分点不得分。数学期望为 12 分 20.（本小题满分 12 分）【解析】（1）当时，代入椭圆方程可得或 1 分 若，此时直线 l：2 分 13 页 联立2244044xyxy，消 x 整理可得3 分 解得或235y，故 B 4 分 所以的面积为.5 分，由对称性知的面积也是45，综上可知，当时，的面积为45.6 分（2）【解法一】显然直线 l 的斜率不为 0，设直线 l：7 分 联立，消去 x 整理得 由，得8 分 则，,9 分 因为直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形，所以10 分 设，则,即,解得.11 分 故 x 轴上存在定点，使得直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形12 分【解法二】显然直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l：(4)yk x 7 分 联立22(4)440yk xxy，消去y整理得2222(1 4)326440kxk xk 由2222(32)4(1 4)(644)0kkk ，得2112k,8 分 则21223214kxxk，212264-41 4kx xk,9 分 因为直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形，所以10 分 设，则12121212(4)(4)TATByyk xk xkkxtxtxtxt1212122(4)()8()()x xtxxtkxt xt 14 页 即12122(4)()80 x xtxxt，222222128-8(4)328t32-01 41 41 4ktktkkkk 解得.11 分 故 x 轴上存在定点，使得直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形12 分 21（本题满分 12 分）【解析】（1）【解法一】由()(1)=0axaxfxa eaa e，解得0 x 1 分 若0a，则当(0,)x时，()0fx，故()f x的单调递增区间为(0,)；当(,0)x 时，()0fx，故()f x的单调递减区间为(,0)2 分 若0a，则当(0,)x时，()0fx，故()f x的单调递增区间为(0,)；当(,0)x 时，()0fx，故()f x的单调递减区间为(,0)3 分 综上所述，()f x的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)4 分【解法二】令,)(tetgt其中axt.1)(tetg令，0)(tg得0.t 当时，)0,(t，0)(tg）上单调递减；在（0,)(tg 当时，)0(t，0)(tg.0)(）上单调递增，在（tg 1 分 又当0a时，axt 在 R 上单调递增；当0a时，axt 在 R 上单调递减。2 分 由复合函数单调性知，0a时，()f x的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)；0a时，()f x的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)3 分 综上所述，()f x的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)4 分。（2）2()(1)2af xx，即2(1)2axaex（）令0 x，得12a，则122a 5 分 当1x 时，不等式（）显然成立，当(1,)x 时，两边取对数，即2ln(1)ln2aaxx恒成立 6 分 15 页 令函数()2ln(1)ln2aF xxax，即()0F x 在(1,)内恒成立7 分 由22(1)()=011a xF xaxx，得211xa 故当2(1,1)xa 时，()0F x，()F x单调递增；当2(1+)xa，时，()0F x，()F x单调递减.8 分 因此22()(1)2ln2ln2ln22aaF xFaaaa 9 分 令函数()2ln2ag aa，其中122a，则11()10ag aaa，得1a，故当1(,1)2a时，()0g a，()g a单调递减；当(1,2a时，()0g a，()g a单调递增 10 分 又13()ln4022g，(2)0g，故当122a时，()0g a 恒成立，因此()0F x 恒成立，11 分 综上知：当1,22a时，对任意的 1,)x ，均有2()(1)2af xx成立12 分 22.（本小题满分 10 分）【解析】（1）【解法 1】由12cos，22cos6，32cos6，3 分 则232cos2cos66 2 3cos 4 分 所以12335 分【解法 2】M的直角坐标方程为2211xy，如图所示，1 分 假设直线 OA、OB、OC 的方程为ykx，2yk x，3yk x，3,3k，由点到直线距离公式可知21kMFk 在直角三角形 OMF 中，由勾股定理可知2211+12MF，得1221k2 分 16 页 由直线方程可知tank，2tan+6k，3tan6k 所以2tan+tan3+16=31 tantan6kkk，得2231kk3 分 所以3tan-tan316=31 tantan6kkk，得3231kk4 分 所以12335 分（2）【解法一】曲线M的普通方程为：2220 xyx，6 分 将直线BC的参数方程代入上述方程，整理得230tt，解得120,3tt；7 分 平面直角坐标为13,2,022BC8 分 则231,2,6；又得13.9 分 即四边形面积为1213113 3sinsin26264OBACS 为所求.10 分【解法二】由 BC 的参数方程化为普通方程得：.23 yx5 分 联立022322xyxyx解得0211yx或232122yx，即)23,21(B,)0,2(C6 分,6,12点 A 的极坐标为），（63，化为直角坐标为），（23237 分 直线 OB 的方程为xy3，点 A 到直线 OB 的距离为.23)3(1232332d8 分.4332322123121OACOBAOBACSSS10 分 23（本小题满分 10 分）【解析】（1）当4x 时，原不等式等价于243xxx，解得2x ，所以4x 1 分 17 页 当2x 时，原不等式等价于243xxx，解得25x，所以此时不等式无解2 分 当24x 时，原不等式等价于243xxx，解得2x，所以24x3 分 综上所述，不等式解集为2,5 分（2）由 1f xk x，得241xxk x，当1x 时，60恒成立，所以Rk；6 分 当1x 时，241 31 333111111xxxxkxxxx 7 分 因为3333111121111xxxx 8 分 当且仅当3311011xx即4x 或2x 时，等号成立，9 分 所以，2k；综上，k的取值范围是,2 10 分【注】【注】如果本题两个小问通过图象法解答，分别正确作出图象（如下图）各如果本题两个小问通过图象法解答，分别正确作出图象（如下图）各 1 分，正确写出结果各分，正确写出结果各 1 分，分，中间过程可酌情给中间过程可酌情给 1-2 分，但每小问给分最多不超过分，但每小问给分最多不超过 4 分。分。如果作图的坐标系没有箭头或如果作图的坐标系没有箭头或xOy、的标记，扣除过程分的标记，扣除过程分 1 分。分。第（1）问图象 第（2）问图象