2020届河南省洛阳市高三第一次统一考试数学（理）试卷 PDF版.pdf

AB.C.D.12.已知正项数列a，的前11项和为S，11，且65,f十3a”2.若对于任意实数2,2，不等式卫！.！O),A为右顶，点，过坐标原点。的直线交椭圆C IF 于P,Q两点，线段AP的r:J-.为M，直线QM交.T轴于N(2,0），椭圆C的离心率为3，则椭圆C的标准方程为16.已知函数f(x)=ln工2仰，别工）上a，且f（工）g（工）。在定义域内恒成立，则实数的取值范阁为三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）在t6.ABC中，角A,B,C对应边分别为a,b,c.(1）若61-BC的而积S满足4J3S+c22+t/.,c 汀，4且bc，求b的倍；(2）若a=J言，A互且6ABC为锐角三角形，求.6ABC周长的范围3 18.（木小题满分12分）如阁，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF _l平面ABCD,AD II BC,AD=AB=1，ABC=60。(1）求证：平面CDEJ_平面BDEF;(2）点M为线段EF上一动点，求ED与平面BCM所成角正弦值的取值范到19（本小题满分12分）过点P(O.2）的直线与抛物线C:x2=4y相交于A、B两点(1）若灭Ji=z PB，.点A在第一象限，求直线AB的方程；高三数学（理）第3页（共4页）(2020.01)(2）若A,B在直线y=-2上的射影分别为儿，Bi，线段A1B1的中点为Q,求证BQII PA1.20.（本小题满分 12分）1 1 设函数f(X)=ex(X-2）一kx3十一位23 2(1）若k=l，求！川的单调区间；(2）若f(x）存在三个极值点X1,X2，句，且X1 Zxz.21.（本小题满分12分）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征是社会主义法治理念的价值追求“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中 275个高薪职位和25个普薪职位实际报名人数为2000名，考试满分为400分一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布）考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名(1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）(2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由参考资料：(1）当XN怡，Z）时，令Y主二丘，则YN(O;l).(2）当YN(O,l)时，P(Y2.17)勾0.985,PY1.28）0.900,P(Y1.09).句0.863,P(Y 笔二1.04）句o.85.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用ZB铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑22.本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆心C a一I x+l I对x R成立，求实数a的取值范围高三数学（理）第4页（共4页）(2020.01)啊阳明型 苦斗得过中医！叫4洛阳市2019一2020学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（理）本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分共150分考试时间120分钟第I卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上2.考试结束，将答题卡交回一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合M二.rI.r(x-2)O）对称，1 2则一十丁的最小值是a D A.1 B.3 C.5 D.9 7函数f(x)=（矿e-.r cos3x(e为自然对数的底数）的大致图象为二E，tI Ir I I立I HII I.:r:A C，D s：正三棱锥的三视图如图所示则i亥正三棱锥的表面积为A.3./30+3./3 B.3 J3百9zllifC.12/3o.fJio+f9.已知点Fi,Fz分别是双曲线C：.一乒l(a 0,b 0).az bz 的左，右焦点，0为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足IF,F2 I=2 I OP I,tanL三PF2F1=4，则双曲线C的离心率为./1 7 17 A.,/5 B.5C.工3 910.设Jb：）是定义在R上的函数，满足条件f(x+1)=f(-x+1)，且当z1时，f（工）e-3,YWa二JClogz7),b=f(3一句，C=f(3一1.5.）的大小关系是A.a.b cB.C b.C.b c D.c b11.正方体ABCD-A,B,CiD，的棱长为1，点E为棱cc，的 中点下列结论：线段BD上存在点F，使得CFf平面AD1E；线段BD上存在点F，使得CF_l平面AD,E；平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为工其巾所有正确24 的序号是高三数学（理）第2页（共4页）(2020.01)理数学试卷参考答案一、选择题1-5 CBDCB 二、填空题11-12 CA6-10 BCACB 16.a I a=e2或t:.,e 15.豆i.=136 20 14.-913.,/f百三、解答题分分17.(1）由条件和正弦定理得4./3S+c2=2./3 ahsinC+c2=a2+b2,即2./3ah sinC 2+b2 _ c2.将余弦定理a2+b2-c2=2ahcosC 代人上式时sinC=cosC,NP tanC 子，因为C川，所以C号4分将c疗，4,C互代人c2=a2+b2 2ahcosC，得b24./3 b+9=0 6 6分结合条件bc得b=3./3.(2）由正弦定理得一一_=2sinA sinB sinC 7分所以b十c=2(sinB十sinC)=2sinB+sin(rr B互）=2sinB+sin（B)3=2个inB 字叫）=2./3 sin(B 号）9分因为A十B+C，且A互及锐角角形得Bco，王）且（主B）co3-2 3 分2./3.所以互B 互一即一sm(B 一）1.所以（b十c）（3,2./3.6 3.2 6 主），所以互B互2 6 11分12分所以周长b十c范围是C3疗，318.(1）证明：在等腰梯形ABCD中，ADII BC,AD=AB=1，ABC=60。，BADCDA=120。，ADB=30。，BD=,/AB2+AD2-2AB AD cosl20。./3.CDB=90。2分(2020.01)（共5页）第1页高兰数学答案（理）即BD_l CD.3分又 平面BDEFi平面ABCD，平面BDEFn平面ABCD=BD,CD C平面ABCD,CD上平面BDEF,4分CD C平面CDE,平面CDEi平面BDEF.5分(2）解：由(1）知，分别以直线DB，町，DE为z轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设EM=m(Om./3），则B(.j言，0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),M(m,0,./3),亘古（.言，1,0),B政(m.言，0,./3),1冠（疗，0,0),6分设平面BMC的法向量为n=(x,y，材，（二百二0tv3x户。一，即BM=0 lCm-./3)x十./3z=O令X=.j言，则y=3,z=J3 m,平面BMC的一个法向量为二（.言，3,./3-m).8分设BD与平面BCM所成角为（）sin()=I cos 二，亘古_ lBDI _ J3 一们南DI-V(m-./3)2十12当m=0时取最小值子，当m=./3时取最大值，故皿与平面BCM所成角正弦值的取值范围为宁主分分12分19.解：(1）设AB方程为y二是x+2(k 0),A(x1,Y1),B(x2,Y2),x1 0,rx2=4y,联立方程消去y 得：x2-4kx-8=0,.6=16厅十 32 0.ly=kx+2.-（冉冉8,2分X1 岛性又互芦（屿，2Y1),PB=（岛，只2)由互芦2n得：工1=2x2 4分代人解得k=_!_,5分2 直线AB的方程为：y=_!_x+2，即z2y+4=0.2 由得A1Cx1,-2),B1 Cx2,-2),Q咛旦，2)6分7分高兰数学答案（理）第2页（共5页）(2020.01)(2)J(x)=ex(x-2)+ex-kx2+kx=(ex-kx)(x-1)f(x）有三个极值点，方程ex-kx=O有两个不等根，且都不是1,令g(x)=ex一缸，是0时，g(x）单调递增，以x)=0至多有一根，kO解g(x)0 得X lnk，解g(x)0 得X lnk.g(x）在（一，lnk）上递减，在（lr埠，）上递增，g(lnk)=e1nk-klnk=k(l-lnk)e,此时，g(O)=1 O,lnk l,g(l)=e k e时，J(x)=0有三个根矶山2，岛，且0 X1 0得x O,h(x)0得x 0即ex-xO,解J(x)0得xl，解J(x)0得x，一一，可变形为ln生2王一，X3-X1 X3 1 X1 X1 王三1x,高兰数学答案（理）第3页（共5页）(2020.01)分9分0011分12分1分2分3分4分5分6分7分8分9分分2(t-l)令 t去1，以t)=Int一丁丰了分1 4 Ct 1)2 伊I(t)=-Ct丰w灭t+1)20cp(t）在(1，十）上递增，二r3十二r1 2xz.X3十二LI2,cp(t)(1)=0.1 lnx3-lnx1 2 一、-一X3 X1 X3 町12分分21.(1）设考生成绩为X，则依题意X应服从正态分布，即XNC180，2).X-180 令Y一一一一一，则YN(0,1).3分30 由360分及其以 上的高分考生30名可得PCX 飞 360)一一，即 2000 30 360-180 P(X 360)=1 一一一句0 985，亦即P(Y 267，所以能被录取286-180 P ex 286)=P CY )=P CY 1.28）0.90，表明不低于考生 甲83 的成绩 的人数约为总人数的10.90=0.10,20000.1200，即 考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位12分1分2分22.(1）由已知得，圆心C(6，王）的直角坐标 为C(3,3,/3),r=3,3 所以C的直角坐标方程为（x-3)2+(y-3,v3)2=9,rx=3十3cos(所以圆C的参数方程为4（为参数）lY=3,/3+3sin(J.4分(2）由(1）得，圆C的极坐标方程为2_6（cos（十,/3sin（）十27=O,.6分即2均sin（号）-27.7分(2020.01)（共5页）第4页设 PC，的，QC1,(l),高兰数学答案（理）I OP I:I PQ I=2:3,：1=2:5，又（）=fJ1.8分将1=t户。1二州人C的极坐标方程，得2矿120sin（）十号）十108二O,9分即动点P轨迹的极坐标方程为均2-120sin（）号）+108二O-3x,x-l10分i-x十2，一1zi23.(1）根据绝对值的定义，可得J(x)斗3x,x 所以y=f(x）的图象如图所示：(2)f(x)一I x+1 I,即I 2x-1 l+I 2x十2 I，5分6分I 2x 1 I+I 2x+2 I注I 2x 1 2x 2 I=3,8分a3，即实数的取值范围是（一，3).3分y u J X 分高兰数学答案（理）第5页（共5页）(2020.01)