2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学（理）试题（PDF版）.pdf

页 1 第 武昌区 2020 届高三年级元月调研考试 理科数学 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。要求的。1已知集合02|2xxxA，2|axaxB，若01|xxBA，则BA A)2,1(B.)2,0(C)1,2(D)2,2(2已知复数z满足iizz，则z在复平面内对应的点位于 A第一象限 B.第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知na是各项均为正数的等比数列，11a，3223 aa，则na A23n B.13n C12n D22n 4已知2.0log1.0a，2.0log1.1b，2.01.1c，则a，b，c的大小关系为 Acba Bbca Cabc Dbac 5等腰直角三角形ABC中，2ACB，2 BCAC，点P是斜边AB上一点，且PABP2，那么CBCPCACP A4 B.2 C2 D4 6某学校成立了 A、B、C 三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意 4 位学生中，恰有 2 人申请 A 学习小组的概率是 A643 B.323 C274 D278 7已知数列na的前n项和nnSn21232，设11nnnaab，nT为数列nb的前n项和.若对任意的Nn，不等式39 nTn恒成立，则实数的取值范围为 页 2 第 A B E C D M A1 A)48,(B.)36,(C)16,(D),16(8已知过抛物线xy42焦点F的直线与抛物线交于点A，B，|2|FBAF，抛物线的准线l与x轴交于点C，lAM 于点M，则四边形AMCF的面积为 A425 B.225 C25 D210 9如图，已知平行四边形ABCD中，60BAD，ADAB2，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成DEA1.若M为线段CA1的中点，则在ADE翻折过程中，给出以下命题：线段BM的长是定值；存在某个位置，使CADE1；存在某个位置，使/MB平面DEA1.其中，正确的命题是 A B C D 10函数)sin()(xAxf（0A，0，20）的部分图象如图所示，给出下列说法：函数)(xf的最小正周期为；直线125x为函数)(xf的一条对称轴；点)0,32(为函数)(xf的一个对称中心；函数)(xf的图象向右平移3个单位后得 到xy2sin2的图象.其中正确说法的个数是 A1 B2 C3 D4 11已知 F1，F2分别为双曲线14922yx的左、右焦点，过 F2且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支交于A，B 两点，记21FAF的内切圆半径为 r1，21FBF的内切圆半径为 r2，则21rr的值等于 A3 B2 C3 D2 12已知函数2lne)(xxxxfx，xxxxgxlne)(2的最小值分别为a，b，则 Aba Bba Cba Da，b的大小关系不确定 页 3 第 A1 C B A B1 D C1 E F 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。136)12(xx 的展开式中，3x项的系数是_.14已知一组数据 10，5，4，2，2，2，x，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的 2 倍，则x所有可能的取值为_.15 过动点M作圆C：1)2()2(22yx的切线，N为切点.若|MOMN(O为坐标原点)，则|MN的最小值为_.16用IM表示函数xysin在闭区间I上的最大值，若正数 a 满足2,02aaaMM，则 a 的值为 .三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考生都必须作答。第生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分。17（本题 12 分）在ABC中，已知265AB，7AC，D是BC边上的一点，5AD，3DC.（1）求B；（2）求ABC的面积.18（本题 12 分）如图，在直三棱柱111CBAABC 中，ABAC，21ACABAA，D，E，F分别为AB，BC，BB1的中点.（1）证明：平面FCA11平面DEB1；（2）求二面角DEBB1的正弦值.19（本题 12 分）页 4 第 0.00050 0.00075 0.00100 0.00125 1200 1000 800 600 400 200 0 金额（单位：元）频率 组距 已知椭圆E：)0(12222babyax的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为 1.（1）求椭圆E的方程；（2）若不过原点的直线l与椭圆交于A，B两点，求OAB面积的最大值.20（本题 12 分）某健身馆在 2019 年 7、8 两月推出优惠项目吸引了一批客户为预估 2020 年 7、8 两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了 2019 年 7、8 两月 100 名客户的消费金额，分组如下：0，200)，200，400)，400，600)，1000，1200（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：（1）请用抽样的数据预估 2020 年 7、8 两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若把 2019 年 7、8 两月健身消费金额不低于 800 元的客户，称为“健身达人”经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为“健身达人”与性别有关？健身达人 非健身达人 总计 男 10 女 30 总计 （3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案 方案一：每满 800 元可立减 100 元；方案二：金额超过 800 元可抽奖三次，每次中奖的概率为12，且每次抽奖互不影响，中奖 1 次打 9 折，中奖 2 次打 8 折，中奖 3 次打 7 折 若某人打算购买 1000 元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案 附附：P（kK 2）0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 页 5 第 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879)()()()(22dbcadcbabcadnK.21（本题 12 分）已知函数1ee)(xxfx.（1）若e)(axxf对Rx恒成立，求实数 a 的值；（2）若存在不相等的实数1x，2x，满足0)()(21xfxf，证明：221 xx.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分。请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（本题 10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 C1的参数方程为tytx222,22（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2的极坐标方程为.22cos239.（1）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）若1C与y轴交于点M，1C与2C相交于A、B两点，求|MBMA 的值 23选修 4-5：不等式选讲（本题 10 分）（1）已知|)(xaxxf，若存在实数x，使2)(xf成立，求实数a的取值范围；（2）若0m，0n，且3nm，求证：341nm 页 6 第 A1 C B A B1 D C1 E F G H A B C D 武昌区 2020 届高三年级元月调研考试 理科数学参考答案及评分细则 一、选择题：一、选择题：题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 D A B D D D A C B C A A 二、填空题：二、填空题：13.240 14.11，3，17 15.827 16.43或89 三、解答题：三、解答题：17（本题本题 12 分）分）在ABC中，已知265AB，7AC，D是BC边上的一点，5AD，3DC.（1）求B；（2）求ABC的面积.解：解：（1）在ADC中，由余弦定理，得21cosADC，所以120ADC，从而60ADB.在ABD中，由正弦定理，得22sinB，所以45B.（4 分）（2）由（1）知75BAD，且46275sin.所以8)33(25sin21BADADABSABD，4315sin21ADCDCDASADC，所以875355ADCABDABCSSS.（12 分）18（本题本题 12 分）分）解：解：（1）因为ABAC，ACDE/，所以ABDE.因为1AA平面ABC，DE平面ABC，所以DEAA 1.因为AAAAB1，所以DE平面BBAA11.因为FA1平面BBAA11，所以FADE1.易证FADB11，因为DEDDB11，所以FA1平面DEB1.因为FA1平面FCA11，所以平面FCA11平面DEB1.（4 分）（2）方法一：过B作DBBH1，垂足为H，过H作EBHG1于G，连结BG，则可证BGH为二面角DEBB1的平面角.在BDB1Rt中，求得52BH；在BEB1Rt中，求得622BG.页 7 第 所以515sinBGBHBGH.（12 分）方法二方法二：建系，设（求）点的坐标，求两个法向量，求角的余弦，求正弦.19（本题本题 12 分）分）解：解：（1）由,1,3cacb及222cba，得2a，3b.所以，椭圆E的方程为13422yx.（4 分）（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为)0(mmkxy，代入椭圆方程，整理，得 01248)34(222mkmxxk.由0，得03422mk.设),(11yxA，),(22yxB，则348221kkmxx，341242221kmxx.于是34341344)(1|2222212212kmkkxxxxkAB.又，坐标原点O到直线l的距离为21|kmd.所以，OAB的面积3434|32|21222kmkmdABS.因为21342)34(34)34(3434|22222222222kmkmkmkmkmkm，所以，3|21dABS.当直线l的斜率不存在时，设其方程为mx，同理可求得 3312|21|212mmdABS.所以，OAB面积的最大值为3.（12 分）20（本题本题 12 分）分）解：解：（1）因为90000125.070000100.050000075.030000050.0100(x 620200)00050.0110000100.0（元），所以，预估 2020 年 7、8 两月份人均健身消费为 620 元 （2 分）（2）列联表如下：因为841.3762.470305050)40203010(10022K，因此有 95%的把握认为“健身达人”与性别有关系 （6 分）（3）若选择方案一：则需付款 900 元；若选择方案二：设付款 X 元，则 X 可能取值为 700，800，900，1000 81)21()700(333CxP，83)21()800(223CxP，健身达人 非健身达人 总计 男 10 40 50 女 20 30 50 总计 30 70 100 页 8 第 83)21()900(313CxP，81)21()1000(303CxP，所以850811000839008380081700)(XE（元）因为900850，所以选择方案二更划算 （12 分）21（本题本题 12 分）分）解：解：（1）令1)1(ee)()()(xaaxxfxgx，则axgx1e)(.由题意，知0)(xg对Rx恒成立，等价0)(minxg.当1a时，由0)(xg知1)1(e)(xaxgx在R上单调递增.因为01)1(1)1(aeg，所以1a不合题意；当1a时，若)1ln(,(ax，则0)(xg，若),1(ln(ax，则0)(xg，所以，)(xg在)1ln(,(a单调递减，在),1(ln(a上单调递增.所以0)1ln()1(2)1(ln()(minaaaagxg.记)1()1ln()1(2)(aaaaah，则)1ln()(aah.易知)(ah在)2,1(单调递增，在),2(单调递减，所以0)2()(maxhah，即0)1ln()1(2aaa.而0)1ln()1(2)(minaaaxg，所以0)1ln()1(2aaa，解得2a.（6 分）（2）因为0)()(21xfxf，所以)1e(2ee2121xxxx.因为22121e2eexxxx，21xx，所以22121e2eexxxx.令txx21，则02e2e22tt.记02e2e2)(2ttmt，则01e)(2ttm，所以)(tm在R上单调递增.又0)2(m，由02e2e22tt，得)2()(mtm，所以2t，即221 xx.（12 分）另证：另证：不妨设21xx，因为01e)(xxf，所以)(xf为增函数.要证221 xx，即要证122xx，即要证)2()(12xfxf.因为0)()(21xfxf，即要证0)2()(11xfxf.记e2ee)2()()(2xxxfxfxh，则xxxxhe)ee)(ee()(.所以0)1()(minhxh，从而0)2()()(xfxfxh，得证.22选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本题本题 10 分）分）解：解：（1）方程tytx222,22可化为02 yx.方程.22cos239可化为13922yx.（5 分）页 9 第（2）将tytx222,22代入13922yx，得032622tt.设方程032622tt的两根分别为1t，2t，则 23|21ttMBMA.（10 分）23选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本题本题 10 分）分）解：解：（1）方法一方法一：因为|)(axaxxaxxf，因为存在实数x，使2)(xf成立，所以2|a，解得22a.方法二：当0a时，符合题意.当0a时，因为,0,2,0 ,2|)(xaxaxaaxaxxaxxf所以axfmin)(.因为存在实数x，使2)(xf成立，所以2a.当0a时，同理可得2a.综上，实数a的取值范围为)2,2(.（5 分）（2）因为3nm，所以3)542(31)54(31)41(341nmmnnmmnnmnmnm，当且仅当2,1nm时取等号.（10 分）