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理科数学试题答案及评分参考第 1页（共 14页）深圳市 2019 年高三年级第一次调研考试理科数学试题参考答案及评分标准第卷一选择题1.D2.B3.A4.C5.B6.C7.B8.A9.C10.D11.B12.A11.解析:设ABC的外接圆圆心为O，其半径为r，球O的半径为R，且|OOd，依题意可知1max2()3VRdVd，即2Rd，显然222Rdr，故23Rr，又42sin3ACrABC，故23r，球O的表面积为221664439Rr，故选 B.12.解析：11()9xx，9xx，ln2ln3xx，*xN，0，（法一）（法一）ln2ln3xx，令ln()xf xx，则21 ln()xfxx，易知()f x在(0,e)上递增，在(e,)上递减，注意到2e3，只需考虑(2)f和(3)f的大小关系，又ln2ln8(2)26f，ln3ln9(3)36f，(2)(3)ff，只需ln32ln3(3)3f，即6，即实数的最小值为6，故选 A.（法二）（法二）ln2ln3xx，2ln3ln xx，令2ln3k，则ln xkx（*），不等式（*）有正整数解，即lnyx在ykx的图象上方（或者图象的交点）存在横坐标为正整数的点，易知直线exy 与曲线lnyx相切，如右图所示，ln22k，或ln33k，解得4ln3ln2，或6，不难判断4ln36ln2，即实数的最小值为6，故选 A.理科数学试题答案及评分参考第 2页（共 14页）二填空题：13.314.1515.816.10316.解析：,11112nna，1,1211,(2)2nnan 下面求数列,2na的通项，由题意可知,21,11,2,(3)nnnaaan，,21,21,1211,(3)2nnnnaaan，即,21,2211,(3)2nnnaan，,2,21,21,22,23,22,22,2215()()()22nnnnnnaaaaaaaan，数列,2na显然递增，又易知102,2103,2100aa，m的最小值为103，故应填103三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分 12 分）如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知1BC，且3cos5BCD（1）若AC平分BCD，且2AB，求AC的长；（2）若45CBD，求CD的长解：（1）若对角线AC平分BCD，即22BCDACBACD ，23cos2cos15BCDACB ，cos0ACB，5cos5ACB，3 分在ABC中，1BC，2AB，5cos5ACB由余弦定理2222cosABBCACBC ACACB可得：22 5305ACAC，解得5AC，或3 55AC（舍去），AC的长为5.6 分ABCD（第17 题图）理科数学试题答案及评分参考第 3页（共 14页）（2）3cos5BCD，24sin1 cos5BCDBCD，7 分又45CBD，sinsin(18045)=sin(+45CDBBCDBCD）22(sincos)210BCDBCD，9 分在BCD中，由正弦定理=sinsinBCCDCDBCBD，可得sin=5sinBCCBDCDCDB，即CD的长为5.12 分【说明】本题主要考察正弦定理，余弦定理，三角恒等变换等知识，意在考察考生数形结合、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，45BAD，2PD，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上，且3PFFB.（1）求证：/EF平面ABCD；（2）若平面PDC 底面ABCD，且PDDC，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值解：（1）证明：（法一法一）如图，设DM中点为N，连接EN，NF，BD，则有/NEAD，NE 平面ABCD，AD 平面ABCD，/NE平面ABCD，2 分又34PNPFPDPB，/NFDB，4 分NF 平面ABCD，BD 平面ABCD，/NF平面ABCD，5 分又NFNEN，平面/NEF平面ABCD，/EF平面ABCD6 分（第 18 题图）PABCDFME理科数学试题答案及评分参考第 4页（共 14页）（法二）（法二）如图，设AD中点为R，Q为线段BD上一点，且3DQQB.连接ER、RQ、QF，则有/ERPD，1 分14BFBQBPBD，/QFPD，3 分/QFER，且14QFPDER，4 分即QFER为平行四边形，/EFQR，5 分EF 平面ABCD，RQ平面ABCD，/EF平面ABCD6 分（2）（法一）（法一）解：平面PDC 底面ABCD,且PDDC，PD 底面ABCD，7 分如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz，则(0,0,0)D，(0,0,2)P，(1,0,0)A，22(,0)22C，(1,0,0)BCAD ，22(,2)22PC ，8 分设平面PBC的一个法向量为1(,)nx y z，则1100n BCn PC ，0222022xxyz，取2 2y，可得1(0,2 2,1)n，10 分又易知平面PAD的一个法向量2(0,1,0)n ，11 分设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为q，则1212|cos|n nnnq 2 23，平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为2 2312 分（法二（法二）如图，过A、P分别做PD、AD的平行线，交于点S，则/SPADBC，xzy理科数学试题答案及评分参考第 5页（共 14页）直线SP为平面PAD与平面PBC的交线，过D做DGBC，交BC于G，连接PG，则BC 平面PDG，GPD即为平面PAD与平面PBC所成锐二面角，设为q，9 分底面ABCD是边长为 1 的菱形，45BAD，DGC为等腰直角三角形，22DG，又2PD，cosq2 2312 分【说明】本题主要考察了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的性质，平面与平面所成角等知识，意在考察考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力19.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为(1,0)F，且点3(1,)2P在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线4x于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上解：（1）(法一)设椭圆C的方程为22221(0)xyabab，一个焦点坐标为(1,0)F，另一个焦点坐标为(1,0)，1 分由椭圆定义可知2a 222233(1 1)(0)(1 1)(0)4222a，3 分AxyMNQF4x OB（第 19 题图）理科数学试题答案及评分参考第 6页（共 14页）2223bac，椭圆C的方程为22143xy.4 分(法二)不妨设椭圆C的方程为221xymn(0mn)，一个焦点坐标为(1,0)F，1m n，1 分又点3(1,)2P在椭圆C上，1312mn，2 分联立方程，解得4m，3n，椭圆C的方程为22143xy.4 分（2）设11(,)M x y，22(,)N xy，直线MN的方程为1xmy，由方程组221143xmyxy，消去x，并整理得：22(34)690mymy，22(6)36(34)0mm，122634myym，122934y ym，7 分直线BM的方程可表示为11(2)2yyxx，将此方程与直线4x 联立，可求得点Q的坐标为112(4,)2yx，9 分22(2,)ANxy，112(6,)2yAQx122126(2)2yyxx211216(2)2(2)2y xy xx211216(1)22(1)212ymyymymy（）理科数学试题答案及评分参考第 7页（共 14页）1212146()1my yyymy221964()6()343401mmmmmy，/ANAQ，11 分又向量AN和AQ有公共点A，故A，N，Q三点在同一条直线上12 分【说明】本题以直线与椭圆为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20.（本小题满分 12 分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：会员等级消费金额普通会员2000银卡会员2700金卡会员3200预计去年消费金额在(0,1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在(1600,3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(3200,4800内的消费者都将会申请办理金卡会员.消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励:普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数消费金额消费金额/元元理科数学试题答案及评分参考第 8页（共 14页）为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励.规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）.以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.解：（1）设随机抽取的 2 人中，去年的消费金额超过 4000 元的消费者有X人，则X的可能值为“0,1,2”，1 分11284422121216319(1)(1)(2)333333C CCP XP XP XCC.3 分（或者2821219(1)1(0)133CP XP XC .3 分）（2）方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为：28257100，602515100，12253100，4 分按照方案 1 奖励的总金额为：17 500 15 6003 80014900 元，5 分方案 2：设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则的可能值为“0,200,300”，6 分Q摸到红球的概率：121525CPC，03120133232381(0)5555125PCC ，21232336(200)55125PC ，33328(300)5125PC，8 分的分布列为0200300P81125361258125理科数学试题答案及评分参考第 9页（共 14页）81368020030076.8125125125E 元，10 分按照方案 2 奖励的总金额为：2(282 603 12)76.814131.2 元，11 分Q方案 1 奖励的总金额1多于方案 1 奖励的总金额2，预计方案 2 投资较少.12 分【说明】本题以健身锻炼为背景，考查应用超几何分布、二项分布等分布列模型及分层抽样与期望等统计学和概率知识对数据进行分析处理及决策的数学建模能力，综合考查了考生应用数学模型及所学知识对数据的处理能力及建模、解模的数学应用意识.21.（本小题满分 12 分）已知定义域为(0,)的函数()e(2)xaf xxx.（其中常数e=2.718 28，是自然对数的底数）（1）求函数()f x的递增区间；（2）若函数()f x为定义域上的增函数，且12()()4ef xf x，证明:122xx.解：（1）易知22e(1)()()xxxafxx，1 分若0a，由()0fx解得1x，函数()f x的递增区间为(1,)；2 分若01a，则x(0,)aa(,1)a1(1,)()f x00()f x极大值极小值函数()f x的递增区间为(0,)a和(1,)；3 分若1a，则22e(1)(1)()0 xxxfxx，函数()f x的递增区间为(0,)；4 分若1a，则x(0,1)1(1,)aa(,)a 理科数学试题答案及评分参考第 10页（共 14页）()f x00()f x极大值极小值函数()f x的递增区间为(0,1)和(,)a；5 分综上，若0a，()f x的递增区间为(1,)；若01a，()f x的递增区间为(0,)a和(1,)；若1a，函数()f x的递增区间为(0,)；若1a，函数()f x的递增区间为(0,1)和(,)a.（2）函数()f x为(0,)上的增函数，1a，即1()e(2)xf xxx，6 分注意到(1)2ef，故12()()4e2(1)f xf xf，不妨设1201xx，7 分(法一)欲证122xx，只需证212xx，只需证21()(2)f xfx，即证114e()(2)f xfx，即证11()(2)4ef xfx，令()()(2)xf xfx，01x，只需证()(1)x，8 分222222e(1)(3)()()(2)e(1)(2)xxxxxf xfxxxx，下证()0 x，即证2222e(1)(3)0(2)xxxxx，由熟知的不等式e1xx 可知221 222e(e)(11)xxxx，当01x时，即222e1xx，22322222e(1)(3)(3)311(2)(2)(2)xxxxxxxxxxxx，10 分易知当01x时，2210 xx，32231(1)(21)0 xxxxxx，2222e(1)(3)0(2)xxxxx，11 分()0 x，即()x单调递增，即()(1)x，从而122xx得证.12 分(法二)令222e(1)(1)e(1)()()e(1)xxxxxxg xfxxxx，理科数学试题答案及评分参考第 11页（共 14页）则323e(1)(2)()xxxxg xx，8 分x(0,1)1(1,)()g x0()g x极小值由上表可画出1()e(2)xf xxx的图象，如右图实线所示，右图虚线所示为函数1()e(2)xf xxx(01)x的图象关于点(1,2e)Q对称后的函数()4e(2)h xfx 的图象，设图中点11(,()A xf x，则12(2,()Cxf x，22(,()B xf x，欲证122xx，只需证212xx，只需证点B不在点C的左侧即可，即证当12x时，4e(2)()fxf x恒成立，即证2114ee()e(2)2xxxxxx，即证211e(2)e()4e2xxxxxx，10 分由基本不等式可知221111e(2)e()2 e(2)e()22xxxxxxxxxxxx112e 2(2)2e22(2)4e(2)(2)x xx xx xx x，211e(2)e()4e2xxxxxx，122xx得证.12 分【说明】本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为,sin,cos2tytx（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为qcos2，直线l与曲线C交于不同的两点A，B（1）求曲线C的参数方程；理科数学试题答案及评分参考第 12页（共 14页）（2）若点P为直线l与x轴的交点，求2211PAPB的取值范围解:（1）2cosq等价于22 cosq，1 分将222xy，cosxq代入上式，2 分可得曲线C的直角坐标方程为2220 xyx，即22(1)1xy，3 分曲线C的参数方程为1 cos,sin,xy（为参数）.5 分（2）将,sin,cos2tytx代入曲线C的直角坐标方程，整理得：26 cos80tt，6 分由题意得236cos320=，故98cos2，又1cos2，28cos(,19，7 分设方程26 cos80tt的两个实根分别为1t，2t，则cos621tt，821tt，8 分1t与2t同号，由参数t的几何意义，可得cos62121ttttPBPA，821ttPBPA，22222()211PAPBPAPBPAPBPAPB221212212()29cos4()16ttt tt t，9 分Q28cos(,19，29cos415(,164 16，2211PBPA的取值范围为15(,4 1610 分【说明】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程互化、直线的参数方程、直线与圆的位置关系等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养理科数学试题答案及评分参考第 13页（共 14页）23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数21)(xxxf，1)(2mxxxg（1）当4m时，求不等式)()(xgxf的解集；（2）若不等式)()(xgxf在1 2,2上恒成立，求实数m的取值范围解:(1)21)(xxxf，,2,12,21,3,1,12)(xxxxxxf1 分当4m时，14)(2xxxg，当1x时，原不等式等价于022 xx，解得02x，12x；2 分当21x时，原不等式等价于0242 xx，解之，得2222x，221x；3 分当2x时，11)2()(gxg，而3)2()(fxf，不等式)()(xgxf解集为空集4 分综上所述，不等式)()(xgxf的解集为(2,22)5 分（2）当12x时，)()(xgxf恒成立等价于xxmx22，又0 x，2xm，故4m；7 分当211x时，)()(xgxf恒成立等价于3)(xg恒成立，即3)(minxg，只需(1)31()32gg即可，即3,9,2mm 29m，9 分理科数学试题答案及评分参考第 14页（共 14页）综上，9(,)2m 10 分【说明】本题主要考查绝对值不等式以及一元二次不等式的解法、分段函数等知识点，重点考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养命题人：徐黄（深圳市南头中学），吕正军（深圳市新安中学），冯广军（深圳市科学高中），徐尤清（深圳实验学校）审题人：李志敏（深圳市教科院）