2019届合肥一模数学答案-理科.pdf

高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页）合肥市2019 年高三第一次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共12小题，每小题小题，每小题5分分.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4小题，每小题小题，每小题5分分.13.1 6，14.1 15.133 2，16.222433nn 三、解答题：三、解答题：17.(本小题满分本小题满分12分分)(I)3131cos2sin2cos2sin2cos2sin 222226f xxxxxxx，函数 f x的最小正周期为T.5分 (II)由 13f 可得1sin 263.0,2，72 666，.又110sin(2),632 2+,62 2 2cos 263，12 6cos2cos2cos 2cossin 2sin6666666.12分 18.(本小题满分本小题满分12分分)(I)取CD的中点M，连结EM，BM.由已知得BCD为等边三角形，BMCD.2,2 3ADABBD，30,ADBABD 90,ADC/BMAD.又BM平面PAD，AD 平面PAD，BM平面PAD.E为PC的中点，M为CD中点，EMPD.又EM 平面PAD，PD 平面PAD.EM平面PAD.EMBMM，平面BEM平面PAD，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D A D D D C C B A 高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 4 页）BE 平面BEM，BE平面PAD.5分(II)连结AC，交BD于点O，连结PO.由对称性知，O为BD中点，且ACBD，BDPO 平面PBD 平面ABCD,POBD，PO 平面ABCD，1POAO，3CO.以O为坐标原点，OC的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.则D(0，3，0)，C(3，0，0)，P(0，0，1).易知平面PBD的一个法向量为11,0,0n.设平面PCD的法向量为2nxyz，则DCn 2,DPn 2，0022DPnDCn.)0,3,3(DC，)1,3,0(DP，03033zyyx.令3y，得3,1zx，)3,3,1(2n 1313131,cos212121nnnnnn 设二面角BPDC的大小为，则13cos13.12分 19.(本小题满分本小题满分12分分)(I)0.06 340.18 380.20 420.28 460.16 500.10 540.02 5844.7245x；5分(II)由题意知，39.2 50.8，39.250.80.6826Pt，所以估计该人群中一周睡眠时间在区间39.2 50.8，的人数约为10000 0.68266826(人)；12分 20.(本小题满分本小题满分12分分)(I)设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率为22知，2bc ab，则椭圆方程为222212xybb.易求得2 0A，则点2 2，在椭圆上，所以222212bb，解得2263ab，所以椭圆方程为22163xy.5分(II)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为2x，由（1）知，2 22 2MN，2 2 2 2 0OMONOM ON ，OMON.当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线方程为ykxm，高三数学试题（理科）答案 第 3 页（共 4 页）1122MxyN xy，则221mk，即2221mk.联立直线和椭圆的方程得2226xkxm，222124260kxkmxm，得122212204212621kmxxkmx xk .1122 OMxyONxy，12121212OM ONx xy yx xkxmkxm 22222121222264112121mkmkx xkm xxmkkmmkk 22222222222221264213 22663660212121kmk mmkkkmkkkk，OMON.综上所述，圆O上任意点P处的切线交椭圆C于点MN，都有OMON.在Rt OMN中，由OMP与NOP相似，可得22OPPMPN为定值.12分 21.(本小题满分本小题满分12分分)(I)易知1x，且 11xfxex.令 11xh xex，则 2101xhxex，函数 11xh xex在1x，上单调递增，且 000hf.可知，当1 0 x ，时，0h xfx，ln1xf xex单调递减；当0 x，时，0h xfx，ln1xf xex单调递增.函数 f x的单调递减区间是1 0，单调递增区间是0，.5分(II)ln1xg xf xaxexax，gxfxa.由(I)知，gx在1x，上单调递增，当1x 时，gx；当x 时，gx，则 0gx有唯一解0 x.可知，当01xx ，时，0gx，ln1xg xexax单调递减；当0 xx，时，0gx，ln1xg xexax单调递增，函数 g x在0 xx处取得极小值0000ln1xg xexax，且0 x满足0011xeax.0000011ln111xg xxexx.高三数学试题（理科）答案 第 4 页（共 4 页）max23S2312令 11ln111xxx exx，则 211xxx ex.可知，当1 0 x，时，0 x，x单调递增；当0 x，时，0 x，x单调递减，max01x.函数 g x极小值的最大值为1.12分 22.(本小题满分本小题满分10分分)(I)221:1Cxy，2:=2cosC，则2=2 cos，222xyx.联立方程组得222212xyxyx，解得111 232xy，221 232xy，所求交点的坐标为13 22，13 22，.5分(II)设B，则=2cos,AOB的面积11sin4 sin4cossin2233SOA OBAOB 2cos 236，当 时，10分 23.(本小题满分本小题满分10分分)(I)22f xx，即1 22xx1010122122xxxxxx 或13x 实数x的取值范围是1 3，.5分(II)1a，11a ，(1)211(1)1112axxg xa xxaaxxa ，-，易 知 函 数 g x在1xa ，时 单 调 递 减，在1xa，时 单 调 递 增，则 min111g xgaa.1112a，解得2a.10分