江苏省南通市2019届高三第一次模拟考试数学试卷及解析.pdf

2019 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试数数学学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)参考公式：柱体的体积公式：V柱体Sh，其中 S 为柱体的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.1.已知集合 A1，3，B0，1，则集合 AB.2.已知复数 z2i1i3i(i 为虚数单位)，则复数 z 的模为.3.某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班 50 名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为.4.如图是一个算法流程图，则输出的 b 的值为.5.有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为.6.已知正四棱柱的底面边长是 3 cm，侧面的对角线长是 3 5cm，则这个正四棱柱的体积为cm3.7.若实数 x，y 满足 xy2x3，则 xy 的最小值为.8.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y22px(p0)的准线为 l，直线 l 与双曲线x24y21 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，AB 6，则 p 的值为.9.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y3xt 与曲线 yasin xbcos x(a，b，tR)相切于点(0，1)，则(ab)t 的值为。10.已知数列an是等比数列，有下列四个命题：数列|an|是等比数列；数列anan1是等比数列；数列1an是等比数列；数列lg a2n是等比数列.其中正确的命题有个.11.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x2)f(x).当 0 x1 时，f(x)x3ax1，则实数 a 的值为.12.在平面四边形 ABCD 中，AB1，DADB，ABAC3，ACAD2，则|AC2AD|的最小值为.13.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2y21，圆 C：(x4)2y24.若存在过点 P(m，0)的直线 l，直线 l 被两圆截得的弦长相等，则实数 m 的取值范围是.14.已知函数 f(x)(2xa)(|xa|x2a|)(ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B.(1)已知椭圆的离心率为12，线段 AF 中点的横坐标为22，求椭圆的标准方程；(2)已知ABF 的外接圆的圆心在直线 yx 上，求椭圆的离心率 e 的值.18.(本小题满分 16 分)如图 1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 ABCD，AB，AD 的长分别为 2 3 m 和4 m，上部是圆心为 O 的劣弧 CD，COD23.(1)求图 1 中拱门最高点到地面的距离；(2)现欲以点 B 为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形 ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图 2、图 3、图 4 所示.设 BC 与地面水平线 l 所成的角为.记拱门上的点到地面的最大距离为 h，试用的函数表示 h，并求出 h 的最大值.19.(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)axln x(aR).(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)设函数 f(x)的导函数为 f(x)，若函数 f(x)有两个不相同的零点 x1，x2.求实数 a 的取值范围；证明：x1f(x1)x2f(x2)2ln a2.20.(本小题满分 16 分)已知等差数列an满足 a44，前 8 项和 S836.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足错误错误!(bka2n12k)2an3(2n1)(nN*).证明：bn为等比数列；求集合（m，p）|ambm3apbp，m，pN*.2019 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试数学附加题数学附加题(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟)21.【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修 4-2：矩阵与变换(本小题满分 10 分)已知矩阵 Mabcd，N10012，且(MN)114002，求矩阵 M.选修 4-4：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是xt，yt2(t 为参数).以原点 O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是sin4 2.求：(1)直线 l 的直角坐标方程；(2)直线 l 被曲线 C 截得的线段长.C.选修 4-5：不等式选讲(本小题满分 10 分)已知实数 a，b，c 满足 a2b2c21，求证：1a211b211c21.【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分 10 分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22，121，3 553 等.显然 2位“回文数”共 9 个：11，22，33，99.现从 9 个不同的 2 位“回文数”中任取 1 个乘以4，其结果记为 X；从 9 个不同的 2 位“回文数”中任取 2 个相加，其结果记为 Y.(1)求 X 为“回文数”的概率；(2)设随机变量表示 X，Y 两数中“回文数”的个数，求的概率分布和数学期望 E().23.(本小题满分 10 分)设集合 B 是集合 An1，2，3，3n2，3n1，3n，nN*的子集.记集合 B 中所有元素的和为 S(规定：集合 B 为空集时，S0).若 S 为 3 的整数倍，则称 B 为 An的“和谐子集”.求：(1)集合 A1的“和谐子集”的个数；(2)集合 An的“和谐子集”的个数.2019 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试(南通南通)数学参考答案数学参考答案1.0，1，32.53.34.75.236.547.68.2 69.410.311.212.2 513.4，4314.33715.(1)在四棱锥 PABCD 中，M，N 分别为棱 PA，PD 的中点，所以 MNAD.(2 分)又底面 ABCD 是矩形，所以 BCAD.所以 MNBC.(4 分)又 BC平面 PBC，MN平面 PBC，所以 MN平面 PBC.(6 分)(2)因为底面 ABCD 是矩形，所以 ABAD.又侧面 PAD底面 ABCD，侧面 PAD底面 ABCDAD，AB底面 ABCD，所以 AB侧面 PAD.(8 分)又 MD侧面 PAD，所以 ABMD.(10 分)因为 DADP，又 M 为 AP 的中点，从而 MDPA.(12 分)又 PA，AB 在平面 PAB 内，PAABA，所以 MD平面 PAB.(14 分)16.(1)在ABC 中，因为 cosA33，0A，所以 sinA 1cos2A63.(2 分)因为 acosB 2bcosA，由正弦定理asinAbsinB，得 sinAcosB 2sinBcosA.所以 cosBsinB.(4 分)若 cosB0，则 sinB0，与 sin2Bcos2B1 矛盾，故 cosB0.于是 tanBsinBcosB1.又因为 0Bb0)的离心率为12，所以ca12，则 a2c.因为线段 AF 中点的横坐标为22，所以ac222.所以 c 2，则 a28，b2a2c26.所以椭圆的标准方程为x28y261.(4 分)(2)因为点 A(a，0)，点 F(c，0)，所以线段 AF 的中垂线方程为 xac2.又因为ABF 的外接圆的圆心 C 在直线 yx 上，所以点 Cac2，ac2.(6 分)因为点 A(a，0)，点 B(0，b)，所以线段 AB 的中垂线方程为：yb2abxa2.由点 C 在线段 AB 的中垂线上，得ac2b2abac2a2，整理得，b(ac)b2ac，(10 分)即(bc)(ab)0.因为 ab0，所以 bc.(12 分)所以椭圆的离心率 ecacb2c222.(14 分)18.(1)如图 1，过点 O 作与地面垂直的直线交 AB，CD 于点 O1，O2，交劣弧 CD 于点 P，O1P 的长即为拱门最高点到地面的距离.在 RtO2OC 中，O2OC3，CO2 3，所以 OO21，圆的半径 ROC2.所以 O1PROO1RO1O2OO25.故拱门最高点到地面的距离为 5m.(4 分)(2)在拱门放倒过程中，过点 O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点 P.当点 P 在劣弧 CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离 h 等于圆 O 的半径长与圆心 O 到地面距离之和；当点 P 在线段 AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离 h 等于点 D 到地面的距离.由(1)知，在 RtOO1B 中，OB OO21O1B22 3.以 B 为坐标原点，地面所在的直线为 x 轴，建立如图 2 所示的坐标系.当点 P 在劣弧 CD 上时，62.由OBx6，OB2 3，由三角函数定义，得点 O 2 3cos6，2 3sin6，则 h22 3sin6.(8 分)所以当62即3时，h 取得最大值 22 3.(10 分)如图 3，当点 P 在线段 AD 上时，06.设CBD，在 RtBCD 中，DB BC2CD22 7，sin2 32 7217，cos42 72 77.由DBx，得点 D(2 7cos()，2 7sin().所以 h2 7sin()4sin2 3cos.(14 分)又当 04cos62 3sin6 30.所以 h4sin2 3cos在0，6 上递增.所以当6时，h 取得最大值 5.因为 22 35，所以 h 的最大值为 22 3.故 h4sin2 3cos，06，22 3sin6，60 成立，所以函数 f(x)在(0，)为增函数；(2 分)当 a0 时，()当 xa 时，f(x)0，所以函数 f(x)在(a，)上为增函数；()当 0 xa 时，f(x)0 时，f(x)的最小值为 f(a)，依题意知 f(a)1lna0，解得 0aa，f(1)a0，函数 f(x)在(a，)为增函数，且函数 f(x)的图象在(a，1)上不间断.所以函数 f(x)在(a，)上有唯一的一个零点.另一方面，因为 0a1e，所以 0a2a1e.f(a2)1alna21a2lna，令 g(a)1a2lna，当 0a1e时，g(a)1a22a2a1a2g1e e20.又 f(a)a2.不妨设 x1x2，由知 0 x1aa2，即证 x1a2x2.因为 x1，a2x2(0，a)，函数 f(x)在(0，a)上为减函数，所以只要证 fa2x2f(x1).又 f(x1)f(x2)0，即证 fa2x2f(x2).(14 分)设函数 F(x)fa2x f(x)xaax2lnx2lna(xa).所以 F(x)（xa）2ax20，所以函数 F(x)在(a，)上为增函数.所以 F(x2)F(a)0，所以 fa2x2f(x2)成立.从而 x1x2a2成立.所以 p2ln(x1x2)2lna2，即 x1f(x1)x2f(x2)2lna2 成立.(16 分)20.(1)设等差数列an的公差为 d.因为等差数列an满足 a44，前 8 项和 S836，所以a13d4，8a1872d36，解得a11，d1.所以数列an的通项公式为 ann.(3 分)(2)设数列bn的前 n 项和为 Bn.由得3(2n1)3(2n11)(b1a2n1b2a2n3bn1a3bna12n)(b1a2n3b2a2n5bn1a12n2)b1(a2n32)b2(a2n52)bn1(a12)bna12n(b1a2n3b2a2n5bn1a12n2)2(b1b2bn1)bn22(Bnbn)bn2.所以 32n12Bnbn2(n2，nN*)，又 3(211)b1a12，所以 b11，满足上式.所以 2Bnbn232n1(nN*)，(6 分)当 n2 时，2Bn1bn1232n2，由得，bnbn132n2.(8 分)bn2n1(bn12n2)(1)n1(b120)0，所以 bn2n1，bn1bn2，所以数列bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列.(10 分)由ambm3apbp，得m2m13p2p1，即 2pm3pm.记 cnanbn，由得，cnanbnn2n1，所以cn1cnn12n1，所以 cncn1(当且仅当 n1 时等号成立).由ambm3apbp，得 cm3cpcp，所以 mp.(12 分)设 tpm(m，p，tN*)，由 2pm3pm，得 m3t2t3.当 t1 时，m3，不合题意；当 t2 时，m6，此时 p8 符合题意；当 t3 时，m95，不合题意；当 t4 时，m12131，不合题意.下面证明当 t4，tN*时，m3t2t30，所以函数 f(x)在4，)上是单调增函数，所以 f(x)f(4)10，所以当 t4，tN*时，m3t2t31，不合题意.综上，所求集合(m，p)|ambm3apbp，m，pN*(6，8).(16 分)21.A.由题意知(MN)114002，则 MN40012.(4 分)因为 N10012，则 N11002.(6 分)所以矩阵 M400121002 4001.(10 分)B.(1)直线 l 的极坐标方程可化为(sincos4cossin4)2，即sincos2.又 xcos，ysin，所以直线 l 的直角坐标方程为 xy20.(4 分)(2)曲线 Cxt，yt2(t 为参数)的普通方程为 x2y.由x2y，xy20得 x2x20，所以直线 l 与曲线 C 的交点 A(1，1)，B(2，4).(8 分)所以直线 l 被曲线 C 截得的线段长为 AB（12）2（14）23 2.(10 分)C.由柯西不等式，得(a21)(b21)(c21)(1a211b211c21)(a211a21 b211b21c211c21)29，(5 分)所以1a211b211c219a2b2c2391394.(10 分)22.(1)记“X 是回文数”为事件 A.9 个不同的 2 位“回文数”乘以 4 的值依次为 44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有 44，88.所以事件 A 的概率 P(A)29.(3 分)(2)根据条件知，随机变量的所有可能取值为 0，1，2.由(1)得 P(A)29.(5 分)设“Y 是回文数”为事件 B，则事件 A，B 相互独立.根据已知条件得，P(B)20C2959.P(0)P(A)P(B)(129)(159)2881；P(1)P(A)P(B)P(A)P(B)(129)5929159 4381；P(2)P(A)P(B)29591081(8 分)所以，随机变量的概率分布为012P288143811081所以随机变量的数学期望为 E()02881143812108179.(10 分)23.(1)集合 A11，2，3的子集有，1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3，其中所有元素和为 3 的整数倍的集合有，3，1，2，1，2，3，所以 A1的“和谐子集”的个数等于 4.(3 分)(2)记 An的“和谐子集”的个数等于 an，即 An有 an个所有元素和为 3 的整数倍的子集；另记 An有 bn个所有元素和为 3 的整数倍余 1 的子集，有 cn个所有元素和为 3 的整数倍余 2 的子集.由(1)知，a14，b12，c12.集合 An11，2，3，3n2，3n1，3n，3n1，3n2，3(n1)的“和谐子集”有以下四类(考察新增元素 3n1，3n2，3(n1)：第一类：集合 An1，2，3，3n2，3n1，3n的“和谐子集”，共 an个；第二类：仅含一个元素 3(n1)的“和谐子集”，共 an个；同时含两个元素 3n1，3n2 的“和谐子集”，共 an个；同时含三个元素 3n1，3n2，3(n1)的“和谐子集”，共 an个；第三类：仅含一个元素 3n1 的“和谐子集”，共 cn个；同时含两个元素 3n1，3(n1)的“和谐子集”，共 cn个；第四类：仅含一个元素 3n2 的“和谐子集”，共 bn个；同时含有两个元素 3n2，3(n1)的“和谐子集”，共 bn个，所以集合 An1的“和谐子集”共有 an14an2bn2cn个.同理得 bn14bn2cn2an，cn14cn2an2bn.(7 分)所以 an1bn12(anbn)，a1b12，所以数列anbn是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.所以 anbn2n.同理得 ancn2n.又 anbncn23n，所以 an232n23n(nN*).(10 分)