北京东城2018.4理数.pdf

高三数学（理）（东城）第 1 页（共 12 页）北京市东城区 2018-2019 学年度第二学期高三综合练习（一）北京市东城区 2018-2019 学年度第二学期高三综合练习（一）2019.4数学（理科）本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合2 20,210,AxxxBxx 则AB（A）12x x（B）12x x（C）0 x x（D）R（2）在复平面内，若复数(2i)z对应的点在第二象限，则z可以为（A）2（B）1（C）i（D）2+i（3）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点(1,)(0)Pm m，则下列各式的值一定为负的是(A)sincos(B)sincos(C)sincos(D)sintan（4）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）平行四边形（D）梯形高三数学（理）（东城）第 2 页（共 12 页）（5）若,x y满足01 0,26,xyyyx，则xy-的最大值为（A）0（B）1（C）2（D）4（6）已知直线l过抛物线28yx的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C.若点F是AC的中点，则线段BC的长为(A)83(B)3(C)163(D)6（7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S则“12,V V相等”是“12,S S总相等”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件（8）已知数列na满足：1aa，11()2nnnaanaN，则下列关于na的判断正确的是（A）0,2,an 使得2na（B）0,2,an 使得1nnaa（C）0,am N总有()mnaa mn（D）0,am N总有m nnaa高三数学（理）（东城）第 3 页（共 12 页）第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）在6(2)x的展开式中，2x的系数是.（用数字作答）（10）在ABC中，若cossin0bCcB，则C.（11）若曲线:Ccos,2sinxay（为参数）关于直线:l1,22xtyt (t为参数)对称，则a；此时原点O到曲线C上点的距离的最大值为.（12）已知向量(1,3)a，向量b为单位向量，且1a b，则2 ba与2b夹角为.（13）已知函数3()4f xxx，若1212,x xa b xx都有12122()(2)(2)f xxfxfx成立，则满足条件的一个区间是_.（14）设AB，是R中两个子集，对于xR，定义：01xAmxA，01.xBnxB，若AB.则对任意xR，(1)mn_；若对任意xR，1mn，则AB，的关系为_.三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）已知函数()4 cos sin()6f xaxx，且()13f.()求a的值及()f x的最小正周期；()若()f x在区间0,m上单调递增，求m的最大值.高三数学（理）（东城）第 4 页（共 12 页）（16）（本小题 13 分）改革开放 40 年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及下图是我国 2006 年至 2016年体育产业年增加值及年增速图其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（）（）从 2007 年至 2016 年随机选择 1 年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（）从 2007 年至 2016 年随机选择 3 年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过 20%的年数，求X的分布列与数学期望；（）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）（17）（本小题 14 分）如图，在棱长均为2的三棱柱111ABCABC中，点C在平面11A ABB内的射影O为1AB与1AB的交点，,E F分别为11,BC AC的中点（）求证：四边形11A ABB为正方形；（）求直线EF与平面11A ACC所成角的正弦值；高三数学（理）（东城）第 5 页（共 12 页）（）在线段1AB上存在一点D，使得直线EF与平面1ACD没有公共点，求1ADDB的值.（18）（本小题 13 分）设函数2()(2)lnf xaxaxx的极小值点为0 x.（I）若01x，求a的值()f x的单调区间；（II）若001x，在曲线()yf x上是否存在点P，使得点P位于x轴的下方？若存在，求出一个P点坐标，若不存在，说明理由.（19）（本小题 13 分）已知椭圆22:1(0)4xyCmmm与x轴交于两点12,A A，与y轴的一个交点为B，12BA A的面积为 2.（）求椭圆C的方程及离心率；（）在y轴右侧且平行于y轴的直线l与椭圆C交于不同的两点12,P P，直线1 1AP与直线22A P交于点P.以原点O为圆心，以1AB为半径的圆与x轴交于,M N两点（点M在点N的左侧），求PMPN的值.（20）（本小题 14 分）已知LN，数列12:nA aaaL，中的项均为不大于L的正整数.kc表示12,na aaL中k的个数(1)kLL，2，.定 义 变 换T，T将 数 列A变 成 数 列()T A12:(),(),()nt at at a其 中12()kccct kLnL.（）若4L，对数列A：1，1，2，3，3，4，写出ic4)i(1的值；（）已知对任意的(1,2,)k kn，存在A中的项ma，使得mak.求证：iit aa（）(1,2,)inL的充分必要条件为(12)ijcc ijL，；L（）若ln，对于数列12:,nA a aaL，令12():,nT T Ab bbL，求证：()iibt a(1,2,).in高三数学（理）（东城）第 6 页（共 12 页）北京市东城区 2018-2019 学年度第二学期高三综合练习（一）北京市东城区 2018-2019 学年度第二学期高三综合练习（一）2019.42019.4数学（理科）参考答案及评分标准数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C（2）B（3）D（4）A（5）D（6）C（7）B（8）D二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）60（10）34（11）313+1（12）60（13）(0,1)(答案不唯一)（14）0ABR 三、解答题（共 6 小题，共 80 分）三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（）由已知()13f，得114122a，解得1a.()4cos sin()6f xxx2314cos(sincos)222 3sin cos2cos3sin2cos21xxxxxxxx2sin(2)16x所以()2sin(2)16f xx的最小正周期为.7 分（）由（）知()2sin(2)1.6f xx当0,xm时，2,2,666xm 高三数学（理）（东城）第 7 页（共 12 页）若()f x在区间0,m上单调递增，则有262m，即3m.所以m的最大值为3.13 分（16）（共 13 分）解:（）设A表示事件“从 2007 年至 2016 年随机选出 1 年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”由题意可知，2009 年，2011 年，2015 年，2016 年满足要求，故42()105P A.4 分（）由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，3，且36310C1(0)=C6P X；1246310C C1(1)=C2P X；2146310C C3(2)=C10P X；34310C1(3)=C30P X.所以X的分布列为：X0123P1612310130故X的期望11316()01236210305E X .10分（）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大.13 分（17）（共 14 分）高三数学（理）（东城）第 8 页（共 12 页）解：（）连结CO因为C在平面11A ABB内的射影O为1AB与1AB的交点，所以CO 平面11A ABB由已知三棱柱111ABCABC各棱长均相等，所以ACBC，且11A ABB为菱形.由勾股定理得OAOB，即11ABAB.所以四边形11A ABB为正方形.5 分（）由（）知CO 平面11,A ABB1,.COOA COOA在正方形11A ABB中，1OAOA如图建立空间直角坐标系Oxyz由题意得11(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,2,2)OAABCC，2222(,0,),(2,)2222EF所以1(2,2,0),(0,2,2).A AAC 设平面11A ACC的法向量为(,),x y zm则10,0.AAACmm即220,220.xyyz令1,x 则1,1.yz于是(1,1,1)m又因为3 22(,0)22EF ，设直线EF与平面11A ACC所成角为，则30sin|cos|15EF,EFEF mm m所以直线EF与平面1A AC所成角的正弦值为3015.10 分（）直线EF与平面1ACD没有公共点，即EF平面1ACD设D点坐标为0(0,0)y，D与O重合时不合题意，所以00y 高三数学（理）（东城）第 9 页（共 12 页）因为10(2,0)ADy ，1(2,0,2)AC 设111(,)x y zn为平面1ACD的法向量，则110,0.ADAC nn即1011120,220.xy yxz令11x，则102yy，11z.于是02(1,1)yn.若EF平面1ACD，0EF n.又3 22(,0)22EF ，所以03 222022y，解得023y 此时EF 平面1ACD，所以2 23AD，14 23DB.所以112ADDB.14 分（18）（共 13 分）解：（）()f x定义域为(0,).212(2)1(21)(1)()2(2)axaxxaxfxaxaxxx.由已知，得(1)0f，解得1a=.当1a=时，(21)(1)(),xxfxx当01x时，()0fx；当1x 时，()0fx.所以()f x的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).+所以1a 时函数()f x在1x 处取得极小值.高三数学（理）（东城）第 10 页（共 12 页）即()fx的极小值点为1时a的值为1.6 分（II）当001x时，曲线()yf x上不存在点P位于x轴的下方，理由如下：由（I）知(21)(1)(),xaxfxx当0a 时，()0fx，所以()f x在(0,)单调递减，()f x不存在极小值点；当0a 时，令(21)(1)()0 xaxfxx，得1xa=.当1(0,)xa时，()0fx，()f x在区间1(0,)a上单调递减；当1(,)xa时，()0fx，()f x在区间1(,)a上单调递增.所以11()ln1faaa=+-是()f x在(0,)上的最小值.由已知，若001x，则有101a，即1a.当1a 时，ln0a，且101a，110a.所以1()0.fa当001x时，曲线()yf x上所有的点均位于x轴的上方.故当001x时，曲线()yf x上不存在点P位于x轴的下方.13 分（19）（共 13 分）解：（）因为0,m 由椭圆方程知：224,2,am bm am bm，1 2122222BA ASabmmm，所以1.m 所以椭圆C的方程为2214xy.由2,1ab，222abc，得3c，所以椭圆C的离心率为32.5高三数学（理）（东城）第 11 页（共 12 页）分（）设点(,)PPP xy,1002000(,),(,)(0),P xyP xyx不妨设12(2,0),(2,0),AA设0110:22yPAyxx，0220:22yP Ayxx，由00002222yyxxyyxx，得0004,2.PPxxyyx即0004,42=.22PPpPPPxxyxx yyyx又220014xy，得2224()414PPPxyx，化简得221(0).4PPPxyx因为1(2,0),(0,1)AB，所以15A B，即(5,0),(5,0).MN所以点P的轨迹为双曲线2214xy的右支，,M N两点恰为其焦点，12,A A为双曲线的顶点，且124A A，所以4PMPN.13分（20）（共 14 分）解：（）1=2c2=1c3=2c4=1.c.3分（）由于对任意的正整数(1)kkL，存在A中的项ma，使得mak.所以12LcccL，均不为零.高三数学（理）（东城）第 12 页（共 12 页）必要性：若()iit aa(1)in，由于12()kccct kLnL，所以有1(1)1ctLn；12(2)2cctLn；123(3)3ccctLn；L；12()Lccct LLnL.通过解此方程组，可得(12)ijcc ijLL，成立.充分性：若(12)ijcc ijLL，成立，不妨设(12)ijhcc ijLL，可以得到h Ln.所以有：(1)1htLn；2(2)2htLn；3(3)3htLn；L；()Lht LLLn.所以()iit aa(1)in 成立.9 分（）设12:nA aaaL，的所有不同取值为12muuuL，且满足：12muuuL.不妨设12111212122212:,mrrmmmrA uuuuuuuuuLLLL，其中111121ruuuL=；221222ruuuL；L；12mmmmruuuL=.又因为Ln，根据变换T有：111112111()()()()urct ut ut ut uLrnL；12221222212()()()()uurcct ut ut ut uLrrnL；;L121212()()()()mmuuummmrmmccct ut ut ut uLrrrLnLLL；所以12111222():(),(),()(),(),()(),(),().mmmmrrrT At ut ut ut ut ut ut ut ut u 个个个，即12111121212():,.mrrrT Ar rr rr rrrrL LL 个个个，所以12111121212():(),(),(),(),(),()(),(),().mrrrT T At rt rt rt rrt rrt rrt L t Lt L 个个个，因为11212,mrrrrrr所以有11121212(),(),()mt rr t rrrrt rrrL.因此，112121211112,rrrrrbbbr bbbrr1211211212mmrrrrrrnmbbbrrrL即():T T A12111121212,.mrrrr rr rr rrrrL LL 个个个，从而()(1,2,)iibt ain.因此结论成立.14 分