理数试卷及解析.pdf

2019 届高三校际联考理科数学2019.01本试卷共 5 页，满分 150 分。考生注意：1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。参考公式：34=3VR球(其中R是球的半径)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合21012ABx xxAB，则A 0B 1C11，D01，2复数 z 满足236zii(i为虚数单位)，则复数 z 的虚部为A3B3iC3iD33下列函数是偶函数且在0,上为增函数的是A12xyBlnyxC22xyxD2xy4将函数sin6yx的图象上所有的点向右平移4个单位长度，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，则所得图象对应函数的解析式为A5sin 212yxB.sin212xyC5sin212xyD5sin224xy5如图所示，D 是ABC的边 AB 的中点，则向量CD A.12BCBA B.12BCBA C.12BCBA D.12BCBA 6已知双曲线222210,0 xyabab的两条渐近线均与圆22:650C xyx相切，则该双曲线的离心率是A3 55B62C32D557 张邱建算经是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾”(注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布)若该女第一天织 5 尺布，现一月(按 30 天计)共织390 尺布，则从第 2 天起每天比前一天多织布的尺数为A12B1629C1631D8158已知下列四个命题：“若2001xxxx，则或”的逆否命题为“若2010 xxxx且，则”；“1x”是“2320 xx”的充分不必要条件；命题0:pxR，使得220010,10 xxpxRxx 则：，都有；若pq为假命题，则 p，q 均为假命题其中真命题个数为A1B2C3D49若直线102430 xayxy 与垂直，则二项式521axx的展开式中x的系数为A2B52C2D5210 椭圆C的中心为原点O，5,0F 为C的左焦点，P为C上一点，满足OPOF且6PF，则椭圆 C 的方程为A2213616xyB2214015xyC2214924xyD2214520 xy11 一个几何体的三视图如图所示，其中主(正)视图是边长为2 的正三角形，则该几何体的外接球的体积为A8 327B32 327C64 327D256 32712若 m 为函数 32f xxaxbxc 的一个极值点，且 f mm，则关于 x 的方程 2320f xaf xb的不同实数根个数不可能为A2B3C4D5二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知等比数列 na满足562431aaaa，且，则_14已知实数,x y满足约束条件则400,23,xyxyzxyx则的最小值是_15设140,0,5,1xyxyxy则的最小值为_16设12,x x分别是函数 log1xaf xxag xxx和的零点(其中1a)，则12100 xx的取值范围是_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17(12 分)如图，在平面四边形 ABCD 中，1,7,4,120CDBDABABC，120DCB(1)求sinDBC；(2)求AD18(12 分)已知正三角形 ABC 的边长为 3，E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点，满足 AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2(如图 1)将AEFEF沿折起到1AEF的位置，使平面1AEF 平面 BEFP，连接11ABAP、(如图 2)(1)求证：1AE 平面 BEFP；(2)求二面角1BAPF的余弦值的大小19(12 分)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务无雨时收益为 20 万元，有雨时收益为10 万元额外聘请工人的成本为 a 万元已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为 20 万元的概率为0.36(1)若不额外聘请工人，写出基地收益 X 的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由20(12 分)山东中学联盟已知抛物线220Eypx p：上在第一象限内的点 H(1，t)到焦点 F 的距离为 2(1)若1,04M，过点 M，H 的直线与该抛物线相交于另一点 N，求NF的值；(2)设 A、B 是抛物线 E 上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且94OA OB (其中 O 为坐标原点)求证：直线 AB 必过定点，并求出该定点 Q 的坐标；过点 Q 作 AB 的垂线与该抛物线交于 G、D 两点，求四边形 AGBD 面积的最小值21(12 分)设函数 ,2xp xe q xaxaR，其中，e是自然对数的底数(1)若直线yax与曲线 yp x相切，求实数 a 的值；(2)令 f xp xq x讨论函数 f x的单调性；若1,ak为整数，且当0 x 时，11kxfxx恒成立，其中 fxf x为的导函数，求k的最大值请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22(10 分)选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线2:sin2 cos0Caa，过点2,4P 的直线 l 的参数方程为222242xtyt (t为参数)，直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点(1)写出曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；(2)若,PMMNPN成等比数列，求a的值23(10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 22,f xxxa aR(1)当1a 时，解不等式 5f x；(2)若存在0 x满足0023f xxa，求的取值范围2019 届高三校际联考理科数学参考答案2019.01一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。DDCCAABCBCBA1答案：D【解析】，,故选 D2答案：D【解析】，故选 D3答案：C【解析】在上，和均为增函数，所以为增函数，故选C.4答案：C【解析】向右平移个单位长度得函数，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到函数，故选 C5答案：A【解析】在三角形中，故选 A.6答案：A【解析】双曲线的一条渐近线为，所以，解得，所以,，故选 A7答案：B【解析】设每天多织尺，依题意得，解得故选 B.8答案：C【解析】由题可知，正确，正确，特称命题的否定为全称命题，所以显然正确；若为假命题，则，至少有一个是假命题，所以的推断不正确.故选 C.9答案：B【解析】由直线与垂直，可得，求得，则 二 项 式的 展 开 式 的 通 项 公 式，令，求得，可得展开式中的系数为.故答案为 B10答案：C【解析】由题意可得，设右焦点为，由知，在中，由勾股定理，得，由椭圆定义，得，从而，得，于是，所以椭圆的方程为，故选C（注：本题还可以取中点，连结，利用中位线和椭圆定义或者答案验证法解题.）11 答案：B【解析】主视图是边长为的正三角形，面，高是，其中，球心在上，设球的半径为，则，解得，故.故选 B.12答案：A【解析】由，由题意有两个不等实根，不妨设为，因此方程有两个不等实根，即或，由于是的一个极值，因此有两个根，而有 或或个根（无论是极大值点还是极小值点都一样，不清楚的可以画出的草图进行观察），所以方程的根的个数是或或，不可能是故选A.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.【答案】【解析】因为，故，由等比数列的通项公式得14.【答案】【解析】作出满足题设条件的可行域(如图)，则当直线经过点时，截距取得最小值，即.15.【答案】【解析】.16答案：【解析】由已知得，因为与关于对称，图象关于对称，所以点与点关于对称，所以，且，其中，则在上单调递减，所以，故的取值范围是.三、解答题：17解：（1）在中，由正弦定理得，所以.6 分（2）在中，由已知得是锐角，又，所以8 分所以.10 分在中，因为，所以12 分18解：（1）在图 1 中，取的中点，连结，.而，是正三角形又，即在图 2 中，.5 分（2）由（1）知，即，以为原点，以向量的方向为轴的正方向建立如图所示的坐标系，则.7 分设分别是平面和平面的法向量,由，得，取，得，由，得，取，得，所以.因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.12 分19.解：（1）设事件“下周一无雨”的概率为，由题意，基地收益的可能取值为，则，.4 分基地收益的分布列为：201510，基地的预期收益为万元6 分（2）设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益（万元），8 分，9 分综上，当额外聘请工人的成本高于万元时，不外聘工人；成本低于万元时，外聘工人；成本恰为万元时，是否外聘工人均可以12 分20解：（1）点，解得，故抛物线 E 的方程为：，.3 分所以当时，直线的方程为，联立可得，.5 分（2）证明：设直线，联立抛物线方程可得，由得：，解得或（舍去），即，所以直线过定点；8 分由得同理得，.则四边形面积.令，则是关于的增函数，故当时，.当且仅当时取到最小值 88.12 分21解：(1)由题意知与相切，设切点为，由，所以，解之得.3 分（2）由题意知函数的定义域是，若，则，所以函数在上单调递增；若，令，得；令，得.所以，在上单调递减，在上单调递增.7 分由于，令，令，在单调递增,且，在存在唯一的零点，设此零点为，则且，当时，；当时，.，由，所以的最大值为.12 分22解：（1）由，得，即.由，可知直线过，且倾斜角为，直线的斜率等于，直线方程为，即.5 分（2）直线 的参数方程为（为参数），代入得到，则有，.因为，成等比数列，所以，所以，即，即解得10 分23解：（1）当时，由得当时，不等式等价于，解得，所以；当时，不等式等价于，即，所以此时不等式解集为；当时，不等式等价于，解得，所以所以原不等式的解集为5 分（2）因为原命题等价于，所以，所以为所求实数的取值范围10 分