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文科数学试题第 1页（共 10页）深圳市 2019 年高三年级第一次调研考试文科数学试题参考答案及评分标准第卷一选择题（1）C（2）B（3）A（4）C（5）B（6）A（7）C（8）A（9）C（10）B（11）D（12）C12【解析】不妨设21xx，由12()()f xf x，要使12|xx最大，即转化为求12maxxx，问题可转化为（如图所示）11(,)A x y到1(0)yxx距离的最大值问题 此时需过A点的切线与1yx平行当0 x 时，()ln1fxx，令()1fx，则11x，(1,0)A，21x 所以12|xx的最大值为 2二填空题：13e 11460152162 716【解析】由题意可知11sin150324ABCSacac，得4 3ac 设BDx，则134 344BCDABDSSaxcx，可得4 33xac，当且仅当3ac时x取到最大值，所以2 3a，2c，由余弦定理可得2 7b 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 12 分）记nS为等差数列na的前 n 项和已知14a，公差0d，4a是2a与8a的等比中项（1）求数列na的通项公式；（2）求数列1nS前n项和为nT【解析】（1）2a，4a，8a成等比数列，2428aa a，文科数学试题第 2页（共 10页）2111(3)()(7)adad ad，2 分2(43)(4)(47)ddd，解得4d 或0d，0d，4d 4 分数列na的通项公式1(1)4()naandn nN6 分（2）21()222nnn aaSnn，8 分2111 11()2221nSnnnn，10 分12111.nnTSSS111111111()()()(1)21223121nnn 12 分【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式、等比中项、裂项相消求和法等知识与技能，重点考查方程思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养18（本小题满分 12 分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标 Y 进行检测，一共抽取了 48 件产品，并得到如下统计表该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关，具体见下表质量指标 Y9.4,9.89.8,10.210.2,10.6频数82416一年内所需维护次数201（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标 Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取 6 件产品，再从 6 件产品中随机抽取 2 件产品，求这 2 件产品的指标 Y 都在9.8,10.2内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为 300 元/次工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加 100 元，该产品即可一年内免费维护一次将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用假设这 48 件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？文科数学试题第 3页（共 10页）【解析】（1）指标 Y 的平均值132=9.6+10+10.410.076662 分（2）由分层抽样法知，先抽取的 6 件产品中，指标 Y 在9.8,10.2内的有 3 件，记为123AAA、；指标 Y 在10.2,10.6内的有 2 件，记为12BB、；指标 Y 在9.4,9.8内的有1 件，记为C3 分从 6 件产品中随机抽取 2 件产品，共有基本事件 15 个：121311A AA AA B,、,、,、121A BA C,、,、2321222,A AA BA BA C、31323,A BA BA C、1212,B BB CB C、5 分其中，指标 Y 都在9.8,10.2内的基本事件有 3 个：121323,A AA AA A,、,、6 分所以由古典概型可知，2 件产品的指标 Y 都在9.8,10.2内的概率为31155P 7 分（3）不妨设每件产品的售价为x元，假设这 48 件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x元 其中有 16 件产品一年内的维护费用为 300 元/件，有 8 件产品一年内的维护费用为 600 元/件，此时平均每件产品的消费费用为1=4816 300+8 600=20048xx元；9 分假设为这 48 件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为48100 x元，一年内只有 8 件产品要花费维护，需支出8 300=2400元，平均每件产品的消费费用1=48100+8 30015048xx元11 分所以该服务值得消费者购买12 分【命题意图】本题主要考查通过用样本估计总体（平均数）、古典概型、概率决策等知识点，重点体现数学运算、数据分析等数学核心素养19（本小题满分 12 分）已知四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，PDDC，ADPC（1）求证：ACAP；（2）若平面APD 平面ABCD，120ADC，4ADDC，求点B到平面PAC的距离文科数学试题第 4页（共 10页）【解析】（1）证明：取PC中点M，连接AM，DM，1 分PDDC，且M为PC中点，DMPC，2 分ADPC，ADDMD，3 分PC平面ADM，4 分AM 平面ADM，PCAM，5 分M为PC中点，ACPA6 分（2）过点P作PH垂直AD延长线于点H，连接CH，7 分平面APD 平面ABCD，平面APD 平面ABCDAD，PH平面APD，PH AD，PH 平面ABCD，8 分CH平面ABCD，PH CH，9 分PDDC，ADAD，ACAP，ADPADC，120ADCADP，4PDCDAD，4 3ACAP，2 3PHCH，2 6PC 10 分设Bh为点B到平面PAC的距离，由于P ABCB ACPVV，可得1133ABCACPBSPHSh，134 44 322ABCS ，12 6426 72ACPS，11 分所以4 77Bh 即点B到平面PAC的距离为4 7712 分【命题意图】本题主要考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的定义、面面垂直的性质、文科数学试题第 5页（共 10页）等体积法求点到面的距离等知识，重点考查等价转换思想，体现了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养20（本小题满分 12 分）设抛物线C：24yx，直线:l20 xmy与C交于A，B两点（1）若4 6AB，求直线l的方程；（2）点M为AB的中点，过点M作直线MN与y轴垂直，垂足为N，求证：以MN为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标【解析】（1）由22,4,xmyyx消去x并整理，得2480ymy，1 分显然216320m，设),(11yxA，),(22yxB，由韦达定理可得，124yym，821 yy，3 分22212121211()4ABmyymyyy y +，224124 6ABmm，4 分24m（舍去）或21m，1m，直线方程为02 yx或02 yx5 分（2）设AB的中点M的坐标为),(MMyx，则1222Myyym，又21212()444xxm yym，212222Mxxxm，6 分2(22,2)Mmm，由题意可得(0,2)Nm，7 分设以MN为直径的圆经过点),(00yxP则200(22,2)PMmxmy，00(,2)PNxmy，8 分由题意可得，0PNPM，即22200000(42)420 x my mxyx，9 分由题意可知00220004204020 xyxyx，10 分文科数学试题第 6页（共 10页）20 x，00y，11 分定点)0,2(即为所求12 分【命题意图】本题主要考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系、弦长公式、定点问题等知识，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养21（本小题满分 12 分）已知函数()2 e2xf xaxx，其中2a （1）当0a 时，求函数()f x在1,0上的最大值和最小值；（2）若函数()f x为R上的单调函数，求实数a的取值范围【解析】（1）当0a 时，()=2e2xf xx，()=2e1xfx1 分由()0fx解得ln2x ，由()0fx解得ln2x 故函数()f x在区间1,ln2 上单减，在区间ln2,0上单增2 分min()ln2ln2 1f xf3 分2(1)=10ef ，(0)=0f，max()(0)0f xf4 分（2）法一：法一：令()()2 e1xg xfxaxa，则()22 exg xaxa（i）当=0a时，由（1）知，与题意不符；5 分（ii）当0a 时，由2()0 2g xxa，2()0 2g xxa 22min2()=g2=e10ag xaa ，(0)=+10ga，此时函数()fx存在异号零点，与题意不符6 分（iii）当20a 时，由()0 g x，可得2 2xa，由()0 g x可得22xa()g x在2,2a 上单调递增，在22+a，上单调递减文科数学试题第 7页（共 10页）故22max2()=g2=e1ag xaa 7 分由题意知，22e10aa 恒成立8 分令22ta，则上述不等式等价于e12tt，其中1t 9 分易证，当0t 时，e112ttt ，又由（1）的结论知，当10t ，时，e12tt成立 11 分由2120a ，解得21a 综上，当21a 时，函数()f x为 R 上的单调函数，且单调递减12 分（2）法二：法二：因为2(1)10ef ，所以函数()f x不可能在 R 上单调递增6 分所以，若函数()f x为 R 上单调函数，则必是单调递减函数，即()0fx恒成立由(0)10fa 可得1a ，故()0fx恒成立的必要条件为21a 7 分令()()2 e1xg xfxaxa，则()22 exg xaxa当21a 时，由()0 g x，可得2 2xa，由()0 g x可得22xa，()g x在2,2a 上单调递增，在22+a，上单调递减故22max2()=g2=e1ag xaa 9 分22()=e1ah aa 令，下证：当21a 时，22()=e10ah aa 即证221eaa 令22ta，其中1,0t，则112ta则原式等价于证明：当1,0t 时，e12tt11 分由（1）的结论知，显然成立综上，当21a 时，函数()f x为 R 上的单调函数，且单调递减 12 分文科数学试题第 8页（共 10页）【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，以及不等式恒成立问题，重点考查分类讨论、化归转化等数学思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为,sin,cos2tytx（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos2，直线l与曲线C交于A，B两个不同的点（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若点P为直线l与x轴的交点，求2211PBPA的取值范围【解析】（1）cos2cos22，1 分222yx，xcos，3 分 曲线C的直角坐标方程为0222xyx5 分（2）将,sin,cos2tytx代入曲线C的直角坐标方程，可得08cos62tt，6 分由题意知236cos320=，故98cos2，又1cos2，1,98cos2，7 分设这个方程的两个实数根分别为1t，2t，则cos621tt，821tt，8 分1t与2t同号，由参数t的几何意义可得：cos62121ttttPBPA，821ttPBPA，22222()211PAPBPAPBPAPBPAPB文科数学试题第 9页（共 10页）221212212()29cos4()16ttt tt t，9 分1,98cos2，165,41164cos92，2211PBPA的取值范围为165,4110 分【命题意图】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化、直线的参数方程、直线与圆的位置关系、函数的最值问题等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数21)(xxxf，1)(2mxxxg（1）当4m时，求不等式)()(xgxf的解集；（2）若不等式)()(xgxf在21,2上恒成立，求m的取值范围【解析】（1）21)(xxxf，,2,12,21,3,1,12)(xxxxxxf1 分当4m时，14)(2xxxg，当1x时，原不等式等价于022 xx，解得，02x，12x2 分 当21x时，原不等式等价于0242 xx，解得，2222x，221x3 分 当2x时，11)2()(gxg，而3)2()(fxf，不等式)()(xgxf解集为空集4 分文科数学试题第 10页（共 10页）综上所述，不等式)()(xgxf的解集为),(2225 分（2）当12x时，)()(xgxf恒成立等价于xxmx22，又0 x，2xm，故4m；7 分 当211x时，)()(xgxf恒成立等价于3)(xg恒成立，即3)(minxg，只需3)21(3)1(gg即可，由此可得,29,3mm29m，9 分综上所述，9,2m 10 分【命题意图】本题主要考查绝对值不等式以及一元二次不等式的解法、分段函数等知识点，重点考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养命题组长：李志敏（深圳市教科院）副组长：董正林（深圳中学），命题组成员：金宁（深圳市第三高级中学中学），吴振文（深圳市翠园中学），陈林（深圳大学附中）