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数学（理科）试题答案 第1页，共11页 惠州市惠州市 2019 届高三第三次调研届高三第三次调研考试考试 理科数学参考答案及评分标准理科数学参考答案及评分标准 一、一、选择题：选择题：题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 B B C A D C B D C A A D 1【解析】|21,|0AxxBx x=，集合|2ABx x=故选 B 另解：由 B 是 AB 的子集，所以选项中包含必有（0,+），排除选项 ACD，故选 B 2【解析】由题得 z=-1-=+11=1+,所以复数 z 对应的点为（-1,1），所以复数 z 对应的点在第二象限。故答案为 B 另解：也可以两边同时乘以，化简后可得答案。3【解析】作出可行域，如右图中的阴影部分，易知目标函数z=x+2y过点(1,3)时取得最大值为1+2 3=7，故选 C 4【解析】由题意可得：()27222 3abab+=，结合0ab，解方程组可得：34ab=，则双曲线中：2255,3ccabea=+=.故选 A 5【解析】函数y()与yex互为反函数，函数()=，y()的图象与y()的图象关于轴对称，函数()=，()1，即=1 =1故选 D.6【解析】=6 s=12 6sin600 2.598,n=12 s=12 12sin300=3,n=24 s=12 24sin150 3.1056，故选C.7【解析】直线l为20kxyk+=，又直线l与圆222xyx+=有两个交点，故2|2|11kkk+，2244k，故选 B 另解：数形结合，通过相切的临界值找出答案。8【解析】由三视图可知该几何体是由一个四棱锥（高为2 3，底面是以 4 为底、3 为高的矩形）和半个圆柱（半径为 2，高为 3）组合而成，数学（理科）试题答案 第2页，共11页 则该几何体的体积为()2114 32 3 238 3632V=+=+.故选 D.9【解析】由题意，抛物线x2=4y的准线方程为y=1，设M(1,y1),N(x2,y2)，所以|+|=1+1+2+1=6，解得1+2=4，所以MN的中点的纵坐标为2，所以线段MN的中点到该抛物线的准线的距离为2+1=3，故选 C 10【解析】由题意可知：AP=AB+4AD，其中 B,P,D 三点共线，由三点共线的充分必要条件可得：+4=1，则：4+1=(4+1)(+4)=8+16+8+216=16，当且仅当=12,=18时等号成立，即4+1的最小值为 16.故选A.11【解析】函数()=12 32=(+3)，(0)当 0,时，()1,12，1 cos(+3)12，则 +353 解得23 43，故的取值范围为23,43。故选A 12【解析】当 0 x4 时，f(x)=1ln2x2，令 f(x)=0 得 x=2，f(x)在（0，2）上单调递增，在（2，4）上单调递减，f(x)是偶函数，f(x+4)=f(4x)=f(x4)，f(x)的周期为 8，f(x)是偶函数，且不等式 f 2(x)+af(x)0 在200，200上有且只有 200 个整数解，不等式在（0，200）内有 100 个整数解，f(x)在（0，200）内有 25 个周期，f(x)在一个周期（0，8）内有 4 个整数解，若 a0，由 f2(x)+a f(x)0，可得 f(x)0 或 f(x)a，显然 f(x)0 在一个周期（0，8）内有 7 个整数解，不符合题意；若 a0，由 f 2(x)+af(x)0，可得 f(x)0 或 f(x)a，显然 f(x)0 在区间（0，8）上无解，f(x)a 在（0，8）上有 4 个整数解，f(x)在（0，8）上关于直线 x=4 对称，f(x)在（0，4）上有 2 个整数解，f(1)=ln2，f(2)=42=ln2，f(3)=63，f(x)a 在（0，4）上的整数解为 x=1，x=2 63aln2，解得ln2a63故答案为：D 数学（理科）试题答案 第3页，共11页 二填空题：本题共二填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 20 分分.13、17，14、1，15、23，16、304。13【解析】因为=35，(2，)，所以 cos=45，=34，因此tan(4+)=1+1=1341+34=17.14【解析】ABBC，AB=3，BC=1，AC=2，BCA=600；又ACD 是等边三角形，AD=AC=2，ADAB，AC BD=（AB+BC）（BA+AD）=AB BA+BC AD =3 3+1 2=1 15【解析】如右图，连接,OP OE，则OP=1,OE=22，PE=OP2 OE2=R2(22)2=22，又SABCD=2，VPABCD=13 SABCD PE=13 2 22=23 16【解析】+1=(+1)+(+1)，+1+1=1，数列是公差与首项都为 1 的等差数列=1+(1)1，可得=2b=cos2n3，b=n2cos2n3，令n=3k 2，k N，则32=(3 2)22(32)3=12(3 2)2，k N，同理可得31=12(3 2)2，；3=(3)2，k N 32+31+3=12(3 2)212(3 1)2+(3)2=9 52，k N，则24=9 (1+2+8)52 8=304 三解答题：共三解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考题，每个考生都必须作答。第题，每个考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要题为选考题，考生根据要求作答。求作答。17【解析】（1）4=2+c2 b2 由三角形的面积公式及余弦定理得:1 分（注意：没有（注意：没有写出写出此行文字本得分点不给分）此行文字本得分点不给分）4 12=2 2 分 tanB=13 分 0 4 分 数学（理科）试题答案 第4页，共11页 B=4 5 分（2）在ABD中,由正弦定理得ADsinB=BDsinBAD6 分 所以sinBAD=BDsinBAD=6223=33 7 分 cosBAC=1 2sin2BAD=13 8 分 0 所以sinBAC=223 9 分 所以=(34)=34+3410 分 =-2213+22223 11 分=4-26 12 分 18【解析】（1）由题意知142344)(40262aaaaS+=，23234013aaaa=+=，1 分 又公差为正数，故25a=，38a=,3d=公差，2 分 31nan=，3 分 由1*22nnTnN+=（）得 当111,2nbT=，4 分 当2,nnN时，()1122222nnnnnnbTT+=5 分 综上得*2nnbnN=（）6 分（2）由（1）知()31 2nnnabn=()22 25 231 2nnMn=+7 分 解法 1（错位相减法）()23122 25 231 2nnMn+=+8 分 得()()12331 243 222nnnMn+=+10 分()13428nn+=+12 分 数学（理科）试题答案 第5页，共11页 解法 2（待定系数法的简单解答过程）设()2nnMAnBB=+8 分 由124,24MM=，得()()2224224ABABBB+=解得6,8AB=9 分 所以()6882nnMn=+10 分分 注意：用待定系数法没有说明()2nnMAnBB=+的原理，最后结果正确也要扣 2 分。解法 3（分合法）()22 25 231 2nnMn=+7 分()12142 5 28 231 2nn=+()12142(32)2(3 5)23 342nn=+()12112142 2 25 23426 222nnn=+8 分()()12 1 24231 261 2nnnnMMn=+10 分 化简得()13428nnMn+=+12 分 如果学生有其余解法，评卷老师可与备课组长讨论决定评分细则，并上报给题组长备案。19【解析】（1）连接AC交BE于N，并连接CE，FN，1 分 BC/AD，BC=12AD，E为AD中点，AE/BC，且AE=BC，四边形ABCE为平行四边形，2 分 N为AC中点，又F为PC中点，NF/PA，3 分 NF 平面BEF，PA 平面BEF，PA/平面BEF.4 分（2）解法 1（向量法）连接PE，由 E 为 AD 的中点及PA=PD=3，得PE AD，则PE=2，侧面PAD 底面ABCD，且交于AD，PE 面ABCD，5 分 如图所示，以 E 为原点，EA、EB、EP 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，6 分 则(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，C(1,1,0)，(0,0,2).F为PC的中点，F(12,12,22)，P F C B E D A N P F C B E D A N 数学（理科）试题答案 第6页，共11页 EB=(0,1,0)，EF=(12,12,22)，7 分 设平面F 法向量为 =(,)，则m EB=0m EF=0 0+y+0=012+12+22=0,8 分 取m=(2,0,1),9 分 平面法向量可取：n =(0,0,1),10 分 设二面角 F-BE-A 的大小为，显然为钝角，=|=|m|m|=33,11 分 二面角 F-BE-A 的余弦值为33 12 分（2）解法 2（几何法 1）连接PE，由 E 为 AD 的中点及PA=PD=3，得PE ADDE=1，PE=2，5 分 取PD中点M，连ME，MF，MA，侧面PAD 底面ABCD，且交于AD，BE AD，BE 面PAD，6 分 F为PC的中点，ME/NF，MEA 为二面角 F-BE-A 的平面角8 分 在RtPDE中，cosPDE=33，ME=32，9 分 在 MDA中，由余弦定理得MA=112 10 分 在 MEA中，由余弦定理得 cosMEA=33，11 分 所以二面角 F-BE-A 的余弦值为33.12 分（2）解法 3（几何法 2）连接PE，由 E 为 AD 的中点及PA=PD=3，得PE AD 侧面PAD 底面ABCD，PE 面ABCD，5 分 BC=1，PE=2，连BD交CE于点Q，则Q为CE中点，连 QF，QN，FN，F为PC的中点，PE/FQ，FQ 面ABCD，6 分 又QN/BC，QN BE FNQ为二面角 F-BE-A 的平面角的补角8 分 在RtFQN中，FQ=12PE=22，QN=12BC=12，8 分 P F C B E D A N Q P F C B E D A N M 数学（理科）试题答案 第7页，共11页 由勾股定理得FN=32 9 分 cosFNQ=33，11 分 所以二面角 F-BE-A 的余弦值为33.12 分 20【解析】（1）解法 1抛物线y2=4的焦点为 F（-1,0），依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为F1（1,0），F2(1,0)1 分 又椭圆过点312P，由椭圆的定义知，2=|PF1|+|PF2|=4，2 分 =2，又=1，=33 分 椭圆的方程为22143xy+=4 分（1）解法 2抛物线y2=4的焦点为 F（-1,0），依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为F1（1,0），F2(1,0)1 分 又椭圆过点312P，222219141abab=+=2 分 解得=2，=33 分 椭圆的方程为22143xy+=4 分（1）解法 3抛物线y2=4的焦点为 F（-1,0），依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为F1（1,0），F2(1,0)1 分 又椭圆过点312P，232ba=2 分 221323202aaaa=，0 可解得=2，=33 分 椭圆的方程为22143xy+=4 分 数学（理科）试题答案 第8页，共11页（2）解法 1由22143ykxmxy=+=消去y整理得()2223484120kxmkxm+=，5 分 直线与椭圆交于不同的两点，()()2222644 344120m kkm=+，整理得2243mk+6 分 设()()1122,M x yN xy，线段MN的中点 A()00,xy，则21212228412,3434mkmxxx xkk+=+，7 分 024,34mkxk=+20022433434mkmykxmmkk=+=+=+，点 A 的坐标为2243,3434mkmkk+，8 分 直线 AG 的斜率为22232434413234348AGmmkkmkmkkk+=+，又直线 AG 和直线 MN 垂直，22413234mkmkk=，2348kmk+=，10 分 将上式代入式，可得22234438kkk+，整理得2120k，解得551010kk 或11 分 实数k的取值范围为55,1010+12 分（2）解法 2设),(),(),(2211yxAyxNyxM 则,1342121=+yx,1342222=+yx两式相减得.5 分 数学（理科）试题答案 第9页，共11页 3422212221yyxx=即 2121212143yyxxxxyy+=点A满足方程xky43=.6 分 又直线MNAG 且过点)0,81(G 点A也满足方程)81(1=xky .7 分 联立解得kyx83,21=，即)83,21(kA.8 分 点A在椭圆内部13422+yx.9 分 16431612+k .10 分 2012k 105105kk或 .11 分 k的取值范围为55,1010+.12 分 注意：本题的完整解答过程可以是两问上述解法的一种组合。注意：本题的完整解答过程可以是两问上述解法的一种组合。21【解析】（1）由题意知，函数()f x的定义域为()0+，1 分()()2ln11axfxx=+，2 分()111fa=，解得2a=.3 分（2）若函数()()24aF xf xx=+有两个零点，则方程2ln204a xaxaxx+=恰有两个不相等的正实根，4 分 即方程+2(2)+24=0恰有两个不相等的正实根.数学（理科）试题答案 第10页，共11页 设函数g()=+2(2)+24，定义域为()0+，5 分 g()=+2 (2)()()()22221xaxaxaxxx+=.6 分 当0a 时，()0gx 恒成立，则函数()g x在()0,+上是增函数，函数()g x最多一个零点，不合题意，舍去；7 分 当0a 时，令()0gx，解得2ax，令()0gx，解得02ax，则函数()g x在0,2a内单调递减，在,2a+上单调递增.8 分 易知0 x 时，()0g x 恒成立，又因为g()=+2 (2)单调递增，所以x+时，()0g x 成立，要使函数()g x有 2 个正零点，则()g x的最小值02ag，9 分 即()22ln202424aaaaaa+，即ln02aaa+，10 分 0a，ln12a，解得2ae，11 分 实数a的取值范围为()2,e+.12 分 注意：注意：结果正确的情况下，结果正确的情况下，没有说明没有说明x+时时，()0g x 的情况需要扣的情况需要扣 1 分分。22.【解析】（1）消去参数t得到6yx=+，1 分 故曲线1C的普通方程为60 xy+=2 分 22232cos3=，由cossinxy=3 分（注意：无写出此公式本得分点不给分）（注意：无写出此公式本得分点不给分）得到2223()23xyx+=，4 分 即2213xy+=,故曲线2C的普通方程为2213xy+=.5 分 数学（理科）试题答案 第11页，共11页（2）解法 1设点P的坐标为(3cos,sin)，6 分 点P到曲线1C的距离|2cos()6|3cossin6|622d+=，8 分 所以，当cos()16+=时，d的值最小，9 分 所以点P到曲线1C的最小距离为22.10 分（2）解法 2设平行直线1C：60 xy+=的直线方程为0 xym+=6 分 当直线1C与椭圆2C相切于点 P 时，P 到直线1C的距离取得最大或最小值。由22013xymxy+=+=得2246330 xmxm+=，7 分 令其判别式0=，解得2m=，8 分 经检验，当2m=时，点 P 到直线1C的距离最小，最小值为|62|2 22d=9 分 所以点P到曲线1C的最小距离为22.10 分 23.（1）由题意得|1|21|xx+，1 分 所以22|1|21|xx+，2 分 化简得3(2)0 x x3 分 解得02x，4 分 故原不等式的解集为|02xx5 分（2）由已知可得，()af xx恒成立，设()()g xf xx=，6 分 则2,11()2,12122,2xg xxxxx=+,7 分 由()g x的单调性可知，12x=时，()g x取得最大值 1，9 分 所以a的取值范围是1,)+10 分