数列-高考必做题(详解版).pdf

数列-高考必做题答案解析考点在等比数列中，求数列的通项公式；（1）若，分别为等差数列的第 项和第 项，求（2）1（1）（2）设等比数列的公比为 由，所以所以所以等比数列的通项公式（1）因为，分别为等差数列的第 项和第 项，所以，设等差数列的公差为，解得，所以等差数列的通项公式因为当时，（1）当时，（2）当时，综上所述：（2）数列大海教育 在线1对1第1页(共33页)由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。等差数列等差数列的概念和通项等差数列的性质等差数列的前n项和等比数列等比数列的概念和通项等比数列的性质答案解析考点等差数列中，求数列的通项公式（1）记表示不超过 的最大整数，如，令求数列的前项和（2）2（1）（2）由题设有，解得，所以（1）当，即时，；当，即时，；当，即时，；当，即时，；所以数列的前项和为（2）数列数列的概念数列的前n项和等差数列等差数列的概念和通项第2页(共33页)大海教育 在线1对1由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。答案解析考点在等差数列中，为其前 和，若求数列的通项公式及前 和（1）若数列中，求数列的前 和（2）设函数为奇数为偶数，求数列的前 和（只需写出结论）（3）3，（1）（2）（3）由题意可知，得：（1），（2），当时，当，当，所以（3）数列数列的概念大海教育 在线1对1第3页(共33页)由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。数列的定义及表示方法数列的递推公式数列的前n项和等差数列等差数列的概念和通项等差数列的性质等差数列的前n项和等比数列等比数列的前n项和推理与证明合情推理和演绎推理合情推理数学归纳法数学归纳法的应用答案解析设等差数列的前 项和为，已知，为整数，且求的通项公式（1）设数列的前 项和为，求证：（2）4（1）证明见解析（2），为整数，可知：等差数列的公差 为整数，由，则，解得，为整数，（1）数列的前 项和（2）第4页(共33页)大海教育 在线1对1由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。考点令，由于函数的图象关于点对称及其单调性，可知：，数列数列的概念数列的前n项和等差数列等差数列的概念和通项等差数列的性质答案解析已知数列满足，为其前 项和，且求的值；（1）求证：；（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由（3）5（1）证明见解析（2）答案见解析（3）由题意知：，即所以因为，所以（1）因为，所以因为，所以，即因为，（2）大海教育 在线1对1第5页(共33页)由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。考点所以数列是等差数列理由如下：由（）得：所以，即由（）知：，所以所以数列是以 为首项，为公差的等差数列（3）数列等差数列等差数列的概念和通项答案解析已知数列中，求证：数列是等比数列（1）求数列的通项公式（2）设，使成立，求实数的取值范围（3）6证明见解析（1）（2）（3），数列是等比数列（1），是以为首项，公比为 的等比数列，当时，（2）第6页(共33页)大海教育 在线1对1由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 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的值（3）因为，所以，因为，所以，即所以（）所以数列是以 为首项，为公差的等差数列所以（1）若数列是等比数列，则由（）可得解得当时，由得显然，数列是以 为首项，为公比的等比数列所以（2）当时，由（）知（）（3）第12页(共33页)大海教育 在线1对1由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。考点所以，即数列就是一个无穷等差数列所以当时，可以得到满足题意的等差数列当时，因为，即，所以数列是以 为首项，为公差的等差数列所以下面用反证法证明：当时，数列中不能取出无限多项并按原来的次序排列而成等差数列假设在，从数列中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为设数列的公差为（）当时，（）所以数列是各项均为正数的递减数列所以因为（），所以当时，这与矛盾（）当时，令，解得所以当时，恒成立所以数列必然是各项均为负数的递增数列所以因为（），所以当时，这与矛盾综上所述，是唯一满足条件的 的值数列数列的概念数列的前n项和等差数列等差数列的概念和通项大海教育 在线1对1第13页(共33页)由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。等差数列的前n项和等比数列等比数列的概念和通项推理与证明合情推理和演绎推理直接证明和间接证明反证法答案解析已知等差数列中，数列前 项和为，且求数列和的通项公式；（1）设数列求的前 项和；（2）把数列和的公共项从小到大排成新数列,试写出，并证明为等比数列（3）12答案见解析（1）答案见解析（2）答案见解析（3）设数列的公差为，则由，得，解得.所以，.因为，所以.-得,即.由得,则.所以是首项为,公比为 的等比数列,所以,.（1）由题知数列的奇数项组成首项为,公差为 的等差数列；数列的偶数项组成首项为,公比为 的等比数列.为偶数时,（2）第14页(共33页)大海教育 在线1对1由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。考点；为奇数且时,.经检验,当时上式也成立.综上所述，由，可得，.假设,则.所以,不是数列中的项；，是数列中的第项.所以，从而.所以是首项为,公比为 的等比数列.（3）数列数列的概念数列的前n项和等差数列等差数列的概念和通项等比数列等比数列的概念和通项设数列的前 项和为，且数列满足，求数列的通项公式；（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式（2）设数列的前 项和为，是否存在常数，使得不等式恒成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由（3）13大海教育 在线1对1第15页(共33页)由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。答案解析考点（1）证明见解析（2），证明见解析（3）当时，；当时，因为适合通项公式所以（1）因为，所以，即所以是首项为，公差为 的等差数列所以，所以（2）存在常数 使得不等式恒成立因为所以由-得，化简得因为，（1）当 为奇数时，所以，即所以当时，的最大值为，所以只需；（2）当 为偶数时，所以，所以当时，的最小值为，所以只需；由（1）（2）可知存在，使得不等式恒成立（3）数列数列的概念第16页(共33页)大海教育 在线1对1由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 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的调节下都相等，不存在峰值即所以，解得，综上，或（2）函数与导数二次函数二次函数的概念、图象和性质导数及其应用利用导数求函数的极值与最值数列数列的应用数列的单调性和最值答案某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 棵树种植在点处，其中,当时，表示非负实数 的整数部分，例如T(2,6)=2,T(0,2)=0.按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2008棵树种植点的坐标应为201第22页(共33页)大海教育 在线1对1由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。解析考点2略数列数列的概念数列的定义及表示方法数列的递推公式推理与证明合情推理和演绎推理合情推理演绎推理答案解析考点已知数列中，表示的整数部分，表示的小数部分，则=；数列中，则=2112新定义数列问题，可算出前几项，然后找规律进行猜想证明；（填空题证明可从略）对于第一空：；找规律猜想：=；对于第二空；由知为等比数列，又=1，=2，易求得由前空知=，其为等差数列，可用错位相减法求出数列数列的概念大海教育 在线1对1第23页(共33页)由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。数列的递推公式等差数列等差数列的性质等比数列等比数列的性质答案解析A.B.C.D.在数列中，若，（，为常数），则称为“等方差数列”下列是对“等方差数列”的判断：是等方差数列，则是等差数列；是等方差数列；是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列；若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列其中正确命题序号为（将所有正确的命题序号填在横线上）22D是等方差数列，（，为常数）成立，得到为首项是，公差为 的等差数列；，数列是等方差数列；数列中的项列举出来是：，数列中的项列举出来是：，类似地有：，第24页(共33页)大海教育 在线1对1由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。考点同上连加可得，数列是等方差数列；既是等方差数列，又是等差数列，且，联立解得，为常数列，当时，显然为常数列，该数列为常数列故答案为数列数列的概念数列的定义及表示方法等差数列等差数列的性质答案解析已知数量的各项均为正整数，对于有为奇数为偶数 为使为奇数的正整数当时，；若存在，当且为奇数时，恒为常数，则 的值为2312 或由题设知，从第 项开始是周期为 的周期数列，若存在，当且为奇数时，恒为常数，大海教育 在线1对1第25页(共33页)由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。考点则，数列的各项均为正整数，当时，当时，数列数列的概念数列的定义及表示方法答案解析考点已知向量序列：满足如下条件：，且（）若，则；中第项最小2412由题可知，又，故，所以，解得；由题可得：，故时最小平面向量平面向量的基本概念向量的线性运算平面向量的数量积数量积数列数列的概念数列的定义及表示方法第26页(共33页)大海教育 在线1对1由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 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项和，、是其中的三项给出下列命题：对任意满足条件的，存在，使得一定是数列中的一项；对任意满足条件的，存在，使得一定是数列中的一项；存在满足条件的数列，使得对任意的，成立其中正确命题为（写出所有正确命题的序号）27，均是 的倍数，又，、均是 的倍数，正确，不正确，大海教育 在线1对1第29页(共33页)由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。考点、是其中三项，又各项均为整数，正确故答案为数列数列的概念数列的递推公式数列的前n项和等差数列等差数列的概念和通项等差数列的前n项和答案解析已知数列满足，表示不超过的最大整数（如），记，数列的前 项和为若数列是公差为 的等差数列，则若数列是公比为的等比数列，则2812（1）由题意可知，所以，则，所以.（2）由题意可知，则，第30页(共33页)大海教育 在线1对1由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。考点所以为整数，又，所以，则.数列等比数列等比数列的前n项和计数原理二项式定理二项式定理的应用答案解析已知数列满足，其中，若对恒成立，则实数 的取值范围是29由，得，数列的奇数项与偶数项均是以 为公差的等差数列，当 为奇数时，；当 为偶数时，当 为奇数时，由，得，即若，若则，；大海教育 在线1对1第31页(共33页)由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。考点当 为偶数时，由，即，即综上，的取值范围为故答案为：数列数列的应用数列与不等式数列的概念数列的递推公式等差数列等差数列的性质答案解析对于数列，若，（），都有（为常数）成立，则称数列具有性质 若数列的通项公式为，且具有性质，则 的最大值为 若数列的通项公式为，且具有性质，则实数 的取值范围是3012由于数列的变化速度随着 的增大越来越快，所以只要保证的最小值都比 大即可，所以当，时，令函数由题意可知等价于在恒成立即令的最大值小于等于在单调递增，在上单调递减又因为；所以第32页(共33页)大海教育 在线1对1由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。考点函数与导数函数单调性数列数列的概念数列的定义及表示方法数列的递推公式大海教育 在线1对1第33页(共33页)由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。由免费初高中、大学网课等资源微信公众号：博物青年 整理，请勿用于任何商业用途，请在下载后24小时后删除，侵删。