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皖江名校联盟皖江名校联盟 2019 届高三开年摸底大联考届高三开年摸底大联考数学(文)数学(文)本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第 I 卷第 1 至第 2 页,第卷第 2 至第 4页全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1若集合725Axx,230Bxxx,则AB()A0,3B1,3C0,:D1,2设z是复数 z 的共轭复数,且1 2i5iz,则z()A3B5C3D53已知两个非零单位向量1e,2e的夹角为,则下列结论不正确的是()A1e在2e方向上的投影为sinB2212eeC R,1212eeeeD不存在,使122e e4安徽黄山景区,每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下,某人下午在山上,准备乘坐缆车下山,则他等待时间不多于 5 分钟的概率为()A13B16C19D1125若eeabba,则有()A0ab B0ab C0ab D0ab 6过抛物线 C:24xy的焦点 F 的直线 l 交 C 于 A,B,点 A 处的切线与 x,y,轴分别交于点 M,N,若MON 的面积为12,则AF()A1B2C3D47孙子算经是中国古代重要的数学著作,书中有一问题:“今有方物一束,外周一匝有十二枚,问积几何?”该著作中提出了一种解决此问题的方法:“重置二位,左位减八,余加右位,至尽虚减一,即得”通过对该题的研究发现,若一束方物外周一匝的枚数 n 是 8 的整数倍时,均可采用此方法求解如图是解决这类问题的程序框图,若输入 n=24,则输出的结果为()A47B48C39D408某几何体的三视图如图所示,图中每一个小方格均为正方形,且边长为 l,则该几何体的体积为()A8B323C283D129已知双曲线 C:221124xy,O 为坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 P,Q若POQ 为直角三角形,则PQ()A2B4C6D810若关于 x 的方程sin10 x 在区间0,2上有且只有一解,则正数的最大值是()A8B7C6D511已知奇函数 21axbfxx的图象经过点(1,1),若矩形 ABCD 的顶点 A,B 在 x 轴上,顶点 C,D 在函数 f(x)的图象上,则矩形 ABCD 绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值为()A2BC32D212正三棱锥 P-ABC 中,已知点 E 在 PA 上,PA,PB,PC 两两垂直,PA=4,PE=3EA,正三棱锥P-ABC 的外接球为球 O,过 E 点作球 O 的截面,则截球 O 所得截面面积的最小值为()AB2C3D4第卷注意事项:第卷共 3 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答,答案无效本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答 第 22 题第 23 题为选考题考生根据要求作答二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填在横线上13若tan2,则cos2_14若实数 x,y 满足条件1010330 xyxyxy,则 z=3x-y 的最大值为_15已知边长为 3 的正ABC 的三个顶点都在球 O 的表面上,且 OA 与平面 ABC 所成的角为 30,则球 O 的表面积为_16在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c若 A=45,2bsinB-csinC=2asinA,且ABC 的面积等于 3,则 c=_三解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写在答题卡上的指定区域内17.(本小题满分 12 分)已知数列 na满足11a,121nnaa(I)证明1na 是等比数列,并求 na的通项公式;(II)证明:12122311111nnnaaaa aaaaa18.(本小题满分 12 分)销售某种活海鲜,根据以往的销售情况,按日需量 x(公斤)属于0,100),100,200),200,300),300,400),400,500进行分组,得到如图所示的频率分布直方图这种海鲜经销商进价成本为每公斤20元,当天进货当天以每公斤30元进行销售,当天未售出的须全部以每公斤10元卖给冷冻库 某海鲜产品经销商某天购进了 300 公斤这种海鲜,设当天利润为 Y 元(I)求 Y 关于 x 的函数关系式;(II)结合直方图估计利润Y不小于 800 元的概率19.(本小题满分 12 分)在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为梯形,ABCD,BCAB,2 3AB,6BC,3CDPC(I)点 E 在线段 PB 上,满足 CE/平面 PAD,求BPBE的值;()已知 AC 与 BD 的交点为 M,若 PM=1,且平面 PAC平面 ABCD,求四棱锥 P-ABCD 的体积20.(本小题满分 12 分)已知点11,A x y,22,B xy是椭圆 C:221259xy上两个不同的点,A,94,5M,B 到直线 l:254x 的距离顺次成等差数列(I)求12xx的值;(II)线段 AB 的中垂线 m 交 x 轴于 N 点,求直线 MN 的方程21.(本小题满分 12 分)设函数 22ln0axf xxaxax(I)求函数 f(x)的单调区间;(II)记函数 f(x)的最小值为 g a,证明:1g a 请考生从第 22、23 题中任选一题做答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分:多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为cos1 sinxy(为参数)P 是曲线 C1上的动点,将线段 OP 绕 O 点顺时针旋转 90得到线段 OQ,设点 Q 的轨迹为曲线 C2以坐标原点 O 为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系(I)求曲线 C1,C2的极坐标方程;(II)在(I)的条件下,若射线03与曲线 C1,C2分别交于 A,B 两点(除极点外),且有定点4,0M,求MAB面积23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲已知函数 1lnf xxaxa(I)当 a=l 时,求不等式 ln10f x 的解集;(II)求证:1ee4ff xx文数参考答案文数参考答案题题号号1 12 23 34 45 56 67 78 89 9 1010 1111 1212答答案案C CD DA AB BD DZxxkComZxxkComB BA AB BC CB BB BC C1.【解析】|1,03Ax xBxx,0ABx x2.【解析】由题,5 1252521212125iiiiziiii ,则2zi,22215z .3.【解 析】因 为12,e e为 单 位 向 量,所 以22121212,,eeeeee成 立,121211 cos,e ee e,所以不存在,使122e e,B,C,D 都正确;1e在2e方向上的投影为122e eecos,故选 A4.【解析】此人在 25 分到 30 分或 55 分到 60 分之间的 5 分钟内到达,等待时间不多于 15 分钟,概率51306P.5.【解析】法一:取特殊值排除;法二:构造函数利用单调性:令 aaf xe,则 f x是增函数aabbee,f afb,即0ab.6.【解析】由题意,焦点0,1F,设直线1ykx,不妨设A为左交点,00,A xy,则过A的切线为0022x xyy,则00,0,0,2xMNy,所以0011222xSy,解得02x ,则2,1A,所以2AF.7.【解析】输入初始值 n=24,则 S=24,第一次循环:n=16,S=40,第二次循环:n=8,S=48第三次循环:n=0,S=48,即出循环 s=47,输出 47.8.【解析】该几何体是一个半圆柱上面放一个半圆锥,体积和为221113224242323V.xyO9.【解析】由对称性,不妨假设P点在第一象限、Q点在第二象限,90OPQ.则由已知30MOF,4OF,2 3OP,在POQ中,60POQ,90OPQ,2 3OP 36PQOP.故选 C.10.【解析】sin10 x 可变为sin1x,方程sin10 x 在区间0,2上有且只有一解,即sin,1yx y 在区间0,2上有且只有一个交点,如图,由已知可得:设函数sinyx的最小正周期为T,则324724TT,32247224,37.11.【解析】由 00f,及 11f得,2,0ab,221xfxx,如图,不妨设点,C D在x轴的上方,不难知该旋转体为圆柱,半径RBC,令221xRx,整理得220RxxR,则,CDxx为这个一元二次方程的两不等实根,于是圆柱的体积2222222421CDRVRxxRRRR221RR,当且仅当212R 时,等号成立.12.【解析】三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线,32R,过O作,OHPA H为垂足,22OH,在RtOHE中,2 2,1,3OHHEOE,当OE垂直截面时,截面圆半径最小.22222(2 3)33rROE,23Sr.13.【答案】13【解析】221tan1cos21tan3.14.【答案】7【解析】画出1010330 xyxyxy 表示的可行域,3zxy的几何意义是直线3yxz的纵截距的相反数,平移直线3yxz,根据图形可得结论.画出实数xy,满足条件1010330 xyxyxy 表示的平面区域,如图,3yxz的几何意义是直线3zxy的纵截距的相反数,由10330 xyxy,可得交点坐标为3,2,平移直线3yxz根据图形可知,当直线3yxz在经过3,2时,3yxz取得最大值,最大值为7,故答案为7.15.【答案】16【解析】设正ABC的外接圆圆心为1O,易知13AO,在1Rt OO A中,12cos30O AOA,故球O的表面积为24216.16.【答案】2 2【解析】由45A,2 sinsin2 sinbBcCaA,且ABC的面积等于ABC,分别利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式列方程,解方程即可得结果.由2 sinsin2 sinbBcCaA,根据正弦定理可得,22222bca由余弦定理可得,2222abcbc由三角形面积公式得12=322bc由得,5,3,2 2abc,故答案为2 2.17.【解析】(I)由121nnaa得112(1)nnaa。又112a ,所以1na 是首项为2,公比为2的等比数列12nna ,因此 na的通项公式为21nna.6 分()由(I)知 111121121212121nnnnnnnnaaa于是 121223112231111111111212121212121nnnnnaaaa aaaaa11121n:12122311111nnnaaaa aaaaa12 分18.【解析】()当日需求量不低于300公斤时,利润30203003000Y 元;当日需求量不足300公斤时,利润302030010203000Yxxx(元);故203000,03003000,300500 xxYx 6 分()由800Y 得,190500 x,300190200200500P xPxPx10.00200.00300.00250.00151000.721012 分19.【解析】()延长,BC AD交于点F,2 分则PF是平面BCP与平面PAD的交线,由CE平面PAD,则CEPF4 分E为PB中点,2BPBE6 分()在梯形ABCD中,BCAB,BCCD,且2 3,6,3ABBCCD,3 2,3ACBDABCD,CDCMDMABMAMB,故112,133CMCADMDB8 分2223CMDMDC,ACBD且2 2,2,1,2AMMCDMBM,又1,3,2PMPCCM,可得PMCM,DMBCPA 平面10 分1113 2132 363322P ABCDABCDVPMS 四棱锥四边形.12 分20.【解析】()设,A M B到直线l的距离顺次是123,d dd,则112322525925,4,4444dx ddx123,d dd顺次成等差数列,2132ddd,即12925252444xx128xx.4 分()设线段AB的中点为D,由()124,2yyD,设0,0N x,则AB的中垂线DN的方程为:12121242yyxxyxyy,6 分0,0N x在直线DN上,故有1212012042yyxxxyy,即221201242yyxxx8 分,A B在椭圆上,得222211229925,252525yxyx,22121212925yyxxxx 10 分联立可得:01296445025xxx,即点N坐标为64,025N,直线MN的方程为2520640 xy.12 分21.【解析】()显然)(xf的定义域为),0(1 分2222423322222(2)()()1xx axaxxxxafxaxxxxx 3 分220 x,0 x,若(0,)xa,0 xa,此时()0fx,)(xf在(0,)a上单调递减;若(,)xa,0 x a,此时()0fx,)(xf在(,)a 上单调递增;综上所述:()f x在(0,)a上单调递减,在(,)a 上单调递增 5 分()由()知:aaaaaaaaaafxf1ln)1(ln2)()(2min,即:1()lng aaaaa 6 分要证()1g a,即证明1ln1aaaa,即证明2111 lnaaa,令211()ln1h aaaa,则只需证明211()ln10h aaaa,8 分223331122(2)(1)()aaaah aaaaaa,且0a,当(0,2)a,20a,此时()0h a,)(ah在(0,2)上单调递减;当(2,)a,02 a,此时0)(ah,)(ah在(2,)上单调递增,min111()(2)ln21ln20244h ah 11 分211()ln10h aaaa()1g a 12 分22.【解析】()由题设,得1C的直角坐标方程为22(1)1xy,即2220 xyy,2 分故1C的极坐标方程为22 sin0,即2sin 3 分设点(,)(0)Q,则由已知得,2M,代入1C的极坐标方程得2sin()2,即2C的极坐标方程为2cos(0)5 分()将3代入12,C C的极坐标方程得3,1,33AB,7 分又因为(4,0)M,所以1sin323TOASOA OM,8 分1sin323TOBSOBOM,9 分所以33MABMOAMOBSSS 10 分23.【解析】()当1a 时,()ln11f xxx,由1110 xx,得 111111101+1101110 xxxxxxxxx 或或3 分解得55xx 或4 分()ln10f x 的解集为,55,;5 分()11111ff xxeexaxaaxxa 12 aa8 分12()4aa,当且仅当1a 时等号成立.10 分欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org