专题17 不等式选讲.pdf

公众号:专题17不等式选讲决明学长QQ群:真题自测新题速览对应学生用书P3215435161701.课标全国201723已知函数f(x)=lx+11-1x-21.当x-1时，不等式化为-2x-2,故-2x(1)求不等式f(x)1的解集；-1(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空，求m的取值当-1x1时，不等式化为24，成立，故-11时，不等式化为2x4,解得x2,故1x2,-3,x-1,综上，若a=-4,则不等式f(x)-g(x)0的解集为【解】(1)f(x)=2x-1,-1x2，x-2x2.(2)因为f(x)=lx+11+1x-111(x+1)-(x-1)=2,当x2时，31成立，得x2.要使函数f(x)的图像与函数g(x)的图像有交点，需所以f(x)1的解集为xx1.f(x)min-a,(2)由f(x)x2-x+m得mx+11-x-21-x2+x.而故a的取值范围是(-，-2.x+11-x-21-x2+xx+1+1x-2-x2+x=山东青岛2019届检测已知f(x)=3m-2m2+1x+11+Ix-21.-(1x1-)2+,当且仅当x=时,|x+1|-|x-2|-(1)若m=-1,求不等式f(x)0的解集；(2)证明：当xR时，对任意m-.2.(x)1恒故m的取值范围为(一成立(1)【解】若m=-1,2.课标全国201823已知f(x)=lx+11-lax-1.则f(x)=-5+x+1|+1x-210，(1)当a=1时，求不等式f(x)1的解集；即x+1+|x-215，(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围令h(x)=lx+11+lx-21,【解】(1)当a=1时，f(x)=lx+11-x-11-2x,x-1,-2,x-1，则h(x)=3,-1x2，即f(x)=2x,-1x2.2,x1.若x1的解集为x成立等价于当x若x2,则h(x)=2x-15，解得x3，所以x(2,3，(0,1)时lax-110,|ax-1|1的解集为x|0 x,210，即2m2-3m+1lx+11+1x-21,所以21,故0a2.设g(m)=2m2-3m+1,综上，a的取值范围为(0,2当me-,2时，可得g(x)=3,即g(m)=2m2-3m+3.四川2019届一诊已知f(x)=x+11+1x-11,g(x)=13恒成立，-.因为h(x)=lx+1+lx-211(x+1)-(x-2)=3g(m),(1)若a=-4,求不等式f(x)-g(x)0的解集；(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像有交点，求a的所以当xR时，对任意m取值范围f(x)1恒成立.【解】(1)不等式f(x)-g(x)0可化为lx+1+x-10),当且仅当a=b时bl-c,写出f(x)的分段解析式，作出图像，找出使f(x)0或f(x)0的x的取值范围即可取等号方法三（数形结合思想）：利用绝对值的几何意义求解，(3)平均数定理：abe(a,b,c0),当且仅当a=|x-a|+lx-bl表示数轴上点P(x)到点A(a),B(b)距离的和.关键是找出到A(a),B(b)两点距离之和为c的点，“”取b=c时取等号中间，“”取两边(a1+a2+a)a1a2-a(a1 0,i=1,2,.注意这里cla-bl,若cla-b1,则lx-a|+lx-b1cn),当且仅当a1=a2=a时取等号的解集为O,lx-al+1x-b1c的解集为 R.(4)绝对值三角不等式3.柯西不等式与排序不等式点定理1：la|+|b1|a+b1(a,bR),当且仅当ab0(1)柯西不等式时，等号成立；柯西不等式的一般形式：定理2：如果a,b,cR,那么la-clla-b1+1b-cl,设 a1,a_,an,b,b2,b是实数，则(a2+a2+当且仅当(a-b)(b-c)0时，等号成立；a2)(b+b2+b)(a1b1+a2b2+anb)2,当且仅当31al-1b11la+b1.b=0(i=1,2,n)或存在一个数k,使得a1=kb(i=1,2,不等式选讲划重点(1)等号成立的条件在解题时经常用到，特别是n)时，等号成立用定理求函数的最大（小）值时，应特别注意柯西不等式的二维形式：(2)定理1还可以变形为la-b1la+1b1,等号成立的(i)代数形式：设a,b,c,d均为实数，则(a2+b2)(c2+d2)充要条件是ab0.ac+bd)2,等号成立ad=be.(3)依据定理我们可以有以下推广：a-1b1(i)向量形式：设a,b为平面上的两个向量，则la1b1la+ba+1b1;1a+b+clla+1b1+1cl.lab1.当且仅当b是零向量或存在实数k,使a=kb时，等号2.绝对值不等式的解法成立(1)绝对值不等式xa的解集(iii)三角形式：设x1,x2,y,y2R,则x2+y2+x2+y2不等式a0a=0a0(x1-x2)2+(y1-y2)2,其几何意义是三角形两边之和大于Ixlaxl-axaxxa或x0)型不等式的解法(a,bR),a+b2 ab(a,b0),柯西不等式中，a1,b(i=lax+bc(c0)-cax+bc;lax+b1c(c0)1,2,n)均为实数等.ax+bc或ax+b-c.(2)排序不等式(3)x-al+x-blc,lx-a+x-b1c型不等式的定义：设a1a2a,b1b2b为两组实数，解法c1,c2,c是数组b1,b2,b的任一排列，我们把S=方法一（分类讨论思想）：a1c1+a2c2+aze3+anen叫做数组(a1,a2,an)和(b1,令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；b2,b)的乱序和.其中，按相反顺序相乘所得积的和S=把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成若干个小a1b+a2b+ab+ab1称为反序和；按相同顺序相乘区间；所得积的和S2=a1b1+a2b2+a3b3+ab称为顺序和.不等在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨式S1SS1,即反序和乱序和顺序和论所得的不等式在这个区间上的解集；定理：（排序不等式，又称排序原理）设a1a2a,387600分分点700考法高考数学b1b2b为两组实数，c1,c2,c是b1,b2,b的任一充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实排列，则 a1b+azb_1+ab1 a1c1+a2c2+ancn a1b1+(定义、公理或已证明过的定理、性质等)，从而得出要证明的azbz+anbn,当且仅当 a1=az=an 或 b=bz=b,命题成立的方法.它是执果索因的方法.时，反序和等于顺序和(4)反证法：证明不等式时，首先假设要证明的命题不成4.不等式的证明方法立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定(1)比较法理、公理、性质等基本原理进行正确推理，逐步推理出一个作差法：依据aba-b0,aba-bB=AB.因此,用作成立(5)放缩法：证明不等式时，根据需要把要证明的不等式商法时必须先判定B的符号的一边适当放大或缩小，如欲证“AB”,可通过证明“AC,(2)综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质CB得到等，经过一系列的推理论证得出命题成立的方法.它是由因导划重点用换元法证明不等式时，要注意换元后，新元的果的方法取值范围会发生变化，而有时忽视这种变化会导致错误结论或(3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的无法进行下去核心方法重点突破例2四川绵阳2018模拟已知函数f(x)=12x-11+方法1绝对值不等式的解法中12x+31.含绝对值不等式的常用解法(1)解不等式f(x)6；(1)基本性质法：对a(0，+)，xa-axaxa.m,求a+2b的最小值.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号，适用于lx-alx-b1型的不等式的求解(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不由f(x)6解得x-2，综合得x-2；不等式选讲等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等当x2时，f(x)=4,显然f(x)6不成立；价的不含绝对值符号的不等式（组）求解(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值当x时，f(x)=4x+2,转化为数轴上两点的距离求解由f(x)6，解得x1，综合得x1.(5)图像法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两f(x)6的解集是(-，-2U1,+).个函数的图像，利用函数图像求解(2)f(x)=12x-11+12x+311(2x-1)-(2x+3)1=4,例1设f(x)=lx-11+x+1(xR).即f(x)的最小值m=4.(1)求证：f(x)2；(2)若不等式f(x)126+11-11-b1对任意非零实数ba2b(a+26),由2ab+a+2b=4可得4-(a+2b)161(当且仅当a=2b时取等号)，恒成立，求x的取值范围()(1)【证明】由绝对值三角不等式，得解得a+2b25-2，f(x)=x-11+x+1111-x+x+11=2.a+2b的最小值为25-2.(2)【解】12611-1-1_1261-1+6=3【反思】本题考查绝对值不等式、基本不等式的性质1b1161f(x)3，即x-1+x+113，该不等式等价于方法2含有不等式的恒成立、存在性、参数范围问题的求解中(1)解决含参数的绝对值不等式问题的两种方法：x的取值范围为-+)将参数分类讨论，将其转化为分段函数问题来解决【反思】含绝对值不等式的求解有两个基本方法，一是运借助于绝对值的几何意义，先求出相应式子的最值或值用零点分区间讨论；二是利用绝对值的几何意义求解.第一种域，然后根据题目要求进行求解是运用分类讨论思想，第二种是运用数形结合思想，将绝对值(2)对于不等式恒成立求参数取值范围问题，常见类型及不等式与函数以及不等式恒成立问题结合起来，解题时需加强其解法如下：对函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题分离参数法：运用“f(x)af(x)a,f(x)a的新动向.f(x)a”可解决恒成立中的参数取值范围问题388专题17不等式选讲mf(x)在xD上恒成立mf(x),xD;当x-时，不等式化为-x-2-4,可得mf(x)在xD上恒成立mf(x)in,xD.更换主元法：对于不少含参不等式恒成立问题，若直接-4x-+从主元人手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法综上可得，原不等式的解集为(号)数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思(2)若关于x的不等式f(x)a-有解，即为f(x)维的优势，可直观解决问题例3河南信阳高级中学2018月考设f(x)=lx+11-一12x-11.(1)求不等式f(x)x+2的解集；由(1)可得f(x)=(-)=-,即有a-=(2)若不等式满足f(x)1xl(la-11+a+11)对任意实解得-1a3.数x0恒成立，求实数a的取值范围所以a的取值范围是-1,3.【解】(1)根据题意可得，原不等式为x+11-12x-11x+2,【反思】本题考查了绝对值不等式的解法与应用及利用转或化思想求函数的最值问题方法3不等式中的最值问题的求解中解决最值问题时，一般有以下思路x+1-2x+1x+2.(1)分类讨论去绝对值符号，将函数解析式用分段函数形解得x式表示，作出函数图像，求得最值(2)利用性质“|a1-16111a+61a+1b”来求最综上可得，不等式f(x)x+2的解集为R值或证明，这时常要对绝对值内的式子进行分析、组合、添项、(2)不等式f(x)x|(1a-1+a+11)等价于拆项，使要证明的式子与已知联系起来，从而完成证明x+11-12x-11la-11+la+11.Ixl(3)利用基本不等式求出相应函数的最值，注意“一正、二定、三相等”的要求因为+11-2+2-点例5黑龙江2018仿真模拟已知函数f(x)=lx-al.1+2-=3,当且仅当(1+)(2)0时取(1)当a=2时，解不等式f(x)7-lx-11;等号.(2)若f(x)1的解集为0,2，+=a(m0,n不等式选讲因为lx+11-12x-11a-1-a+1对任意x0恒0),求证：m+4n22+3.Ix(1)【解】当a=2时，不等式为x-21+1x-117，成立，x2,x-2+x-17，故实数a的取值范围为(-).原不等式的解集为(-，-2U5,+).例4辽宁铁东2018二模已知函数f(x)=12x+11-(2)【证明】(x)1，即x-a1，Ix-11.解得a-1xa+1,而f(x)1的解集是0,2，(1)求不等式f(x)0,n0),【解】(1)函数f(x)=2x+1-x-1m+4n=(m+4n)(+)=3+=2+3.x+2,x1，3x,-x1,当且仅当m=2+1，n=2+y2时等号成立.-x-2,x-例6河南开封2018一模已知关于x的不等式lx+1+2x-13的解集为xmxn.当x1时，不等式化为x+22,解得x0,可得x；(1)求实数m,n的值；当-x1时，不等式化为3x2,解得x,可得(2)设a,b,c均为正数，且a+b+c=n-m,求+x一的最小值389公众号：决明学长600分700分QQ群:点考法高考数学543516170【解】(1)x+1+12x-113，(1)【证明】a+b+c=2,a2+b2+c2+2ab+2bc+x或-1x2ca=4,2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca=8,.8=2a2+2b2+2c2+4ab+4be+4ca6ab+6be+6ac,当+1-2x+13x-1，且仅当a=b=c=时取等号，.ab+bc+ac或-x-1-2x+13，(2)【解】a2+b2+c2+2ab+2be+2ca=4,解得-1x1，故m=-1,n=1.4a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2=3(a2+b2+(2)由(1)得a+b+c=2,则+c),当且仅当a=b=c=时取等号，a2+b2+c2=(+)(a+b+c).0aa2.同理bb2,cc2.a2+b2+c3a+b+c=2,a2+b3+c30),且x+不等式选讲(2)若待证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”y+z的最大值为20,求a的值“至多”等方式给出，则考虑用反证法(3)若待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法证【解(1)由题意可得g(x+4)=m-2lx+4-11l=m-明.在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简21x-71.化对问题的表述和证明若2f(x)g(x+4)恒成立，则2lx+31m-2lx-71,即例7江苏南通2018模拟已知x0,y0,z0,2x+m2(1x+31+lx-71).而由绝对值三角不等式可得2(1x+31+lx-71)21(x+2y+z=1,求证：3xy+yz+zx153)-(x-7)=20,【证明】因为(2x+2y+z)2-5(3xy+yz+zx)=m20，故m的最大值t=20.(x-y)2+(x+y-2z)20，(2)实数x,y,z满足2x2+3y2+6z2=a(a0),由柯西不所以(2x+2y+z)25(3xy+yz+zx),等式可得（2x)2+(3y)2+(6z)2(又因为2x+2y+z=1,()(x+y+),即ax1(x+所以3xy+yz+zx5y+z)2,当且仅当2x=3y=6z时等号成立，x+y+z/a.例8已知a,b,c为正实数，且a+b+c=2.(1)求证：ab+be+ac又x+y+z的最大值是20=1，a=1,a=1.(2)若a,b,c都小于1，求a2+b2+c2的取值范围基础好题发展练对应学生用书P3261.河北衡水武邑中学2018月考已知函数f(x)=1x-21-(2)若bR.不等式la+b1-1a-bf(x)对VxR恒2x+11.成立，求a的取值范围(1)解不等式f(x)2；390专题17不等式选讲x+3,x-(2)当b=1时，(a-2)x+a+4,x2，【解】(1)f(x)=1-3x,-x2,f(x)=(a+2)x+a-4,-1x4的解集2x2m+nl.解得x-1或-x2或x2，(1)【解】f(x)=lx-1+x+1=2x,x1，综上所述，不等式的解集是2.-1x4得2x4,或-2x4,-la-b1)masf(x)mas-解得x2或x4的解集P=xlx2或x2,n2,当x-时J(x)：所以m24,n24,(mn+4)2-4(m+n)2=(m2-4)(n2-4)0,当-x2时.-5f(x)4(m+n)2当x2时，f(x)-5，从而有1mn+4121m+nl4.(1)关于x的不等式lx-31+1x-41a的解集不是空集，所以f(x)=,所以由原不等式恒成立，得2|a，解求a的取值范围；得a或a-(2)设x,y,zR,且1,求x+y+z的取值所以a的取值范围为(-，-+范围【解】(1)x-31+x-411(x-3)-(x-4)1=1,且2.已知函数f(x)=alx+11-b12x-41(a,bR)x-31+1x-411,不等式选讲(1)当a=1,b=时，解不等式f(x)0即a的取值范围是(1，+).(2)由柯西不等式，得4+(5)2+22(2)当b=1时，若函数f(x)既存在最小值，也存在最大值求所有满足条件的实数a的集合()+)(4+*+2*号)【解】(1)当a=1,b=时(x+y+z)2,即251(x+y+z)2,当且仅当=号=f(x)=lx+11-1x-21.时等号成立由f(x)0，得lx+11lx-2lex2+2x+1x2-4x+4cx.5lx+y+zl,.-5x+y+z5.所以所求不等式的解集为(-x+y+z的取值范围是-5,5.考法例析成就能力本专题主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在(2)若f(x)1，求a的取值范围性问题以及不等式的证明，多以解答题的形式出现，难度中等，【解】(1)当a=1时，分值10分2x+4,x-1，f(x)=2,-12.例1课标全国201823设函数f(x)=5-1x+a-可得f(x)0的解集为x-2x3.Ix-21.(2)f(x)1等价于lx+a+1x-214.(1)当a=1时，求不等式f(x)0的解集；而x+a|+|x-21|a+21,且当x=2时等号成立.故391