2020年高考数学（理）金榜冲刺卷（八）（解析版）.pdf

公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞 2020 年高考金榜冲刺卷（八）数学（理）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集，集合，集合，则图中阴影部分所示的集合是（1,2,3,4,5U 1,3,5M 3,4N）ABCD13,42,3,4 4【答案】D【解析】由图可知，阴影部分表达的集合是；容易知NCMN3MN故.故选：D.4NCMN公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞2在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（）21iziAAABCD1 i1i1i 1i【答案】B【解析】复数，复数的共轭复数是，就是复数所对应的点2 121111iiiziiii 1 i21izi关于实轴对称的点为 A 对应的复数,故选 B3“”是“”成立的（）ln2ln10ab1abA充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由，得，ln2ln10ab201021abab 得，；反之，由，不一定有，如，“1ab1ab1abln2ln10ab2,1ab ”是“”成立的充分不必要条件.故选 A.ln2ln10ab1ab4已知是第二象限角，且，则的值为（）3sin()5 tan2ABCD45237247249【答案】C公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】由，得.因为是第二象限角，所以.3sin5 3sin54cos5.故选 C.34sintancos 232tan242tan291tan7116 5执行如图所示的程序框图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）n13S46aAB910a910aCD1011a89a【答案】B【解析】输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环13,0nS13,12Sn25,11Sn；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，36,10Sn46,9Sn46S 故的取值范围是，故选 B.a910a6若直线与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是（1yk x243322yxxyxyk）公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞ABCD,10,22,12,2【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域,如下图所示243322yxxyxy直线过定点 1yk x(1,0)A 要使得直线与不等式组表示的平面区域有公共点1yk x243322yxxyxy则,.故选 B.0ACkk20=20(1)ACk-=-0,2k 7 九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞ABCD1213131421291415【答案】C【解析】由题意知：，设，则,在中，列勾股方程2BC 5B C ACx2ABABxRt ACB得：，解得,所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为22252xx214x,故选 C.21214P2122924xx8中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A种B种C种D种30506090【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10 种任意选，所以共有；若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10 种任意选，1121020CC所以共有；所以共有种.故选 B.1131030CC203050公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞9设，则（）0.231log0.6,log20.6mnABmnmnmnmnmnmnCDmnmnmnmnmnmn【答案】B【解析】因为，0.30.32211log0.6log10,log 0.6log 1022mn所以，因为，而0,0mnmn0.60.60.6112log2log0.250,log0.30nm，所以，即可得，因为，所0.60.6log0.25log0.3110nm0nm()()20mnmnn 以，所以，故选 B.mnmnmnmnmn10已知(1,2)P是函数()sin()(0,0)f xAxA图象的一个最高点，,B C是与P相邻的两个最低点.设BPC，若3tan24，则()f x的图象对称中心可以是（）A(0,0)B(1,0)C3,02D5,02【答案】D【解析】结合题意,绘图公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞132tan244BC，6BC，所以周期26Tw，解得3w，所以sin1,223236kk，令 k=0，得到6,所以2sin36yx，令,36xmmZ,得对称中心13,02m，令 m=1,得到对称中心坐标为5,02，故选 D11已知锐角的角，的对边分别为，且，三角形的面积，ABCABCabc1c ABC1ABCS则的取值范围为（）22abABCD17,2(9,)17,9217,92【答案】D【解析】设边上的高为，ABCDh公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞则，则.以为直径作圆，显然在圆外，故为锐角，又、为锐角，设1112h 2h ABCACBAB，因为已证为锐角，所以的取值因，为锐角限定，所以，所以ADxACBxAB01x，对称轴为，由，对称轴时取得最小值，两2222414abxx2229xx12x 01x端是最大值（不能取得），可得的取值范围为.故选 D.22ab17,9212已知函数，曲线上总存在两点使 1ln,0,kef xxx kkx yf x1122,M x yN xy曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围是（）yf x,M N12xxABCD2,e24,e2,e24,e【答案】D【解析】函数，可得,1ln,0,kef xxx kkx 2111kefxkxx曲线在两点处的切线互相平行，yf x1122,M x yN xy所以,即,12fxfx221122111111kkeekxxkxx 2212121111kekxxxx，（，故等号取不到）12121212112kxxekxxx xx x12xx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞即恒成立，设，122kkx xe 2kkg ke 22kkg ke当时，单调递增；当时，单调递减；1k 0g k g k1k 0g k g k所以时，取最大值，为，所以，即，故选 D 项.1k g k 21ge122x xe1224x xe二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的年广告支出（单位：万元）与年销售额m（单位：万元）进行了初步统计，如下表所示.t年广告支出/万元m24568年销售额/万元t3040p5070经测算，年广告支出与年销售额 满足线性回归方程，则的值为_mt6.517.5tmp【答案】60【解析】由题意可得，2456855m 3040507019055ppt又回归直线必过样本中心，所以，解得.故答案为 606.517 5.tm1906.5 5 17.55p 60p 14若非零向量满足，则_,a b2aababb【答案】1【解析】因为非零向量满足，所以，即，所以,a b2aab20a ab220aa b公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，因此.故答案为 1.22a ba 2221aa bbabbbbb15设分别为离心率的双曲线的左、右焦点，分别为双12,F F5e 2222:10,0 xyCabab12,A A曲线的左、右顶点，以为直径的圆交双曲线的渐近线 于两点，若四边形的面积为C12,F Fl,M N21MA NA，则_4b【答案】2【解析】由题,故渐近线方程为 以为直径的圆的方程为，e5,2cbaay2x,12,F F222xyc联立，得 y=,由双曲线与圆的对称性知四边形为平行四边形，不妨设2222xycyx25c21MA NA则四边形的面积 S=得 ac=,又，得 a=1,c=，故答案2,5Mcy21MA NA22a4,5c55ca5,2b 为.216四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，SABCDABCD2SADSD若，则四棱锥的体积取值范围为_2 24SCSABCD【答案】4 3 8,33【解析】公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞如图所示，四棱锥中，可得：平面平面平面SABCD;ADSA ADABADSAB SAB，过作于，则平面，故，在中，ABCDSSOABOSO ABCD1433SABCDABCDVSSOSOSAB，设，则有，,又2SAABSAB2 32cosSC2 24SC，则，四棱锥的体积取值范围为112cos,2233 2sin 3,2SOSABCD.4 3 8,33三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12 分）已知数列满足，且成等差数列.na*1102nnaanN234,2,a aa（1）求数列的通项公式；na（2）令，数列的前项和为，求的取值范围.*11111nnnbnNaa nbnnTnT【解析】（1）由知数列是等比数列，且公比为.1102nnaa*12,nnanNa na2q 成等差数列，,.234,2,a aa32411122,2 4228aaaaaa12a2nna（2）122311111111nTaaaa11111111111nnnaaaa,易知单调递减，,1111111 221nn nT123nTT 当时，.的取值范围为.n 1nT nT213nT 18（12 分）某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗、，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为 0.8，引种ABCA公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞树苗、的自然成活率均为.BC(0.70.9)pp（1）任取树苗、各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及；ABCXX()E X（2）将（1）中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种棵种树苗，()E XpBnB引种后没有自然成活的树苗中有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为 0.8，其余的75%树苗不能成活.求一棵种树苗最终成活的概率；B若每棵树苗引种最终成活后可获利 300 元，不成活的每棵亏损 50 元，该农户为了获利不低于 20 万元，问至少引种种树苗多少棵？B【解析】（1）依题意，的所有可能值为 0，1，2，3.X则；200.2 1P Xp，21210.810.21P XpCpp20.8 10.41ppp即，210.41.20.8P Xpp，21220.20.81P XpCpp220.21.611.41.6ppppp；230.8P Xp的分布列为：XX0123P20.20.40.2pp20.41.20.8pp21.41.6pp20.8p所以.22210.41.20.821.41.63 0.8E Xppppp 20.8p公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（2）当时，取得最大值.0.9p E X一棵树苗最终成活的概率为.B0.90.1 0.75 0.80.96记为棵树苗的成活棵数，为棵树苗的利润，Yn M nn则，,0.96YB n 0.96E Yn 3005035050M nYnYYn，要使，则有.35050286E M nE Ynn 200000E M n699.3n 所以该农户至少种植 700 棵树苗，就可获利不低于 20 万元.19（12 分）如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，ABCEFGABC BCGF.CB2GF,BFCF（1）求证：；ABCG（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.BCCFAEBEG【解析】（1）取的中点为，连结.BCDDF由是三棱台得，平面平面，从而.ABCEFG/ABCEFG/BCFG，四边形为平行四边形，.2CBGF/CDGFCDFG/CGDF，为的中点，.BFCFDBCDFBCCGBC公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞平面平面，且交线为，平面，ABC BCGFBCCG BCGF平面，而平面，.CG ABCABABCCGAB（2）连结.由是正三角形，且为中点，则.ADABCDADBC由（）知，平面，两两垂直.CG ABC/CGDFDFADDFBCDBDFDA以，分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.DBDFDAxyzDxyz设，则，2BC 0 03A,13,3,22E1,0,0B1,3,0G，.13,3,22AE 2,3,0BG 33,3,22BE 设平面的一个法向量为.由可得，.BEG,nx y z00BG nBE n 230333022xyxyz令，则，.3x 2y 1z 3,2,1n 设与平面所成角为，则.AEBEG6sincos,4AE nAE nAEn 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞20（12 分）已知椭圆的离心率为，以为圆心，椭圆的短半轴长为2222:1(0)xyCabab63(1,0)M半径的圆与直线相切.210 xy（1）求椭圆的标准方程；C（2）已知点和平面内一点，过点任作直线 与椭圆相交于，两点，设(3,2)N(,)(3)P m n m MlCAB直线，的斜率分别为，试求，满足的关系式.ANNPBN1k2k3k1323kkkmn【解析】（1）因为圆与直线相切，2221xyb210 xy 所以圆心到直线的距离，1,0210 xy 1 0212db即所以，又由题意得1b 221ac 63cea所以，所以椭圆的标准方程为2232acC2213xy（2）当直线的斜率不存在时，可得直线方程为，1x 由，解得 或，22113xxy163xy163xy 不妨设，所以，61,3A61,3B1366223323 13 1kk又，所以，所以，1322kkk21k 2213nkm整理得所以满足的关系式为.10mn,m n10mn 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞当直线的斜率存在时，设直线，:1l yk x由消去并整理得，22113yk xxyy2222316330kxk xk设点，则有，1122,A x yB xy22121222633,3131kkxxx xkk所以 122112131212213213223333k xxk xxyykkxxxx.1212121224261239kx xkxxkx xxx222 1262126kk所以，所以，整理得21k 2213nkm10mn 综上可得满足的关系式为,m n10mn 21（12 分）设，其中.()xf xaea2()g xaxx0a（1）证明：；()()f xg x（2）设函数，若在上单调递增，求的值.()()()2F xf xg xax()F xRa【解析】（1）令，所以，2xh xf xg xaexaxa 2xh xaexa所以在上单调递增，且 2xh xaexaR 002 00haea 易知当时，当时，,0 x 0h x0,x 0h x所以的最小值为，所以成立.h x 00h f xg x公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（2）由题意得.则.22xF xf xg xaxaexaxa 2xFxaexa易知当或时，均有.x x Fx 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立.F xR 0FxR的导函数，令，得，Fx 2xFxae 0Fx2xlna当时，递减；当时，递增.2xlna 0Fx Fx2xlna 0Fx Fx则的最小值为.所以.Fx2F lna22220Flnlnaaa令，2222222alnalnaalna则，则在上递增，在上递减，21aa a0,22,所以，当且仅当时取等号.所以.20a2a 2a(二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22【选修 4-4：坐标系与参数方程】（10 分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴xOy1C22xptyp tt0p x的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.2C4sin（1）求的普通方程和极坐标方程；1C（2）若与相交于、两点，且，求的值.1C2CAB2 3AB p公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】（1）由曲线的参数方程为可得，1C22xptyp t224ytp再将其带入中，即可得到曲线的普通方程为，2xpt1C220ypx y将代入，sincosyx、22ypx即可得到曲线的极坐标方程为。1C2sin2 cos(0)2p（2）由题意可知，显然与有一个公共点为原点，1C2C不妨设点为原点，由可设点的极坐标为.A2 3AB B2 3,(0)2代入的极坐标方程得，即，又，所以，2C2 34sin3sin2023再把代入的极坐标方程得，解得.2 3,31C312 3242p3 32p 23【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）已知函数，.()|21|3|f xxx()|1|g xaa x（1）求函数的值域；()f xM（2）若函数的值域为，且，求实数的取值范围.()g xNMN a【解析】（1）函数可化简为()f x32,31()4,32132,2xxf xxxxx 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞可得当时，.当时，.3x ()327f xx 132x 7()4,72f xx 当时，.故的值域.12x 7()322f xx()f x7,2M（2）当时，所以不符合题意.0a()1g x 1N MN 0a 当时，因为，所以函数的值域，0a 0 x()g x(,|1|Na 若，则，解得或，从而符合题意.MN 7|1|2a52a 92a 92a 当时，因为，所以函数的值域，0a 0 x()g x|1|,)Na此时一定满足，从而符合题意.MN 0a 综上，实数的取值范围为.a9(,0),2公众号：卷洞洞