A佳教育.2020年3月湖湘名校高三线上自主联合检测理科数学试题及答案.pdf

数学试题卷 第 1 页（共 4 页）机密机密 启用前启用前 A 佳教育2020 年 3 月湖湘名校高三线上自主联合检测 理科数学 班级：姓名：准考证号：本试题卷共 4 页，23 题（含选考题），全卷满分：150 分，考试用时：120 分钟 注意事项注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸及答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。一选择题：一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合1Ax x，则满足ABA的集合B可以是 A0 x x B2x x C0 x x D2x x 2若(4)()0mi m i，其中i为虚数单位，则实数 m 的值为 A2 B4 C4 D2 3已知向量(2,2)AB，(1,)ACa，若|1BC，则AB AC A2 B4 C6 D8 4已知函数)1sin(2)(xxf，若对于任意的Rx，都有)()()(21xfxfxf成立，则21xx 的最小值为 A2 B1 C4 D12 5在圆 M：224410 xyxy 中，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形ABCD 的面积为 A6 B12 C24 D36 6“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”。三国时期，吴国的数学家赵爽创制 了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明。如图所示 的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方 形，若直角三角形中较小的锐角12，现在向该正方形区域内随机地投掷 100 枚飞镖，则估计飞镖落在区域 1 的枚数最有可能是 A30 B40 C50 D60 公众号：卷洞洞数学试题卷 第 2 页（共 4 页）7已知抛物线24xy 的准线与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线围成一个等腰直 角三角形，则该双曲线的离心率是 A5 B5 C2 D2 8已知二进制数 1010(2)化为十进制数为n，若()nxa的展开式中，x7的系数为 15，则实数 a 的值为 A12 B15 C1 D2 9若两个等差数列 na、nb的前n项和分别为nA、nB，且满足2131nnAnBn，则371159aaabb 的值为 A3944 B58 C1516 D1322 10已知倾斜角为的直线l过定点0,2，且与圆2211xy相切，则1cos2cos2的值为 A4 23 B4 23 C23 D4 24 233或 11已知四棱锥 S-ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于22 3，则球 O 的体积等于 A34 B38 C316 D332 12已知函数()ln,f xaxx1,xe的最小值为 3，若存在12,1,nx xxe，使得 f(x1)+f(x2)+f(xn1)=f(xn)，则正整数n的最大值为 A2 B3 C4 D5 二二填空题：填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分。13已知实数 x，y 满足不等式组,0,042,01yyxyx 则)1(log2yxz的最大值为 .14我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC的三个内角,A B C所对的边分别为,a b c，面积为S，则“三斜求积”公式为222222142acbSa c，若ACasin5sin2，2216)(bca则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为 .公众号：卷洞洞数学试题卷 第 3 页（共 4 页）ABDCPEF15某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则yx的最大值为_ 16已知曲线1:()2xCf xex，曲线2:()cosCg xaxx，（1）若曲线1C在0 x 处的切线与2C在2x处的切线平行，则实数a ；（2）若曲线1C上任意一点处的切线为1l，总存在2C上一点处的切线2l，使得12ll，则实数a的取值范围为 （第一空 2 分，第 2 空 3 分）三、解答题三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：（一）必考题：60 分。分。17（12 分）设数列 na满足：11a,且112(2)nnnaaan，3412aa（1）求 na的通项公式；（2）求数列21nna a的前 n 项和 18（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，/ABCD,ABAD,PA平面ABCD，E是棱PC上的一点（1）证明：平面ADE 平面PAB；（2）若ECPE,F是PB的中点，3AD,AB=AP=2CD=2，且二面角 FADE 的正弦值为1010，求的值 19（12 分）已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线与椭圆交于两点，交轴于点，使22OAOBOAOB 成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由 2222:10 xyCabab32:20l xyCOCC,A By0,Mmm公众号：卷洞洞数学试题卷 第 4 页（共 4 页）20（12 分）甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的 5 道不同题中随机抽出 3 道题进行答题，答对一题加 10 分，答错一题（不答视为答错）减 5 分，已知甲能答对备选 5 道题中的每道题的概率都是23，乙恰能答对备选 5 道题中的其中 3 道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题，直到答错，则换人（换庄）答下一题以此类推例如若甲首先坐庄，则他答第 1 题，若答对继续答第 2 题，如果第 2 题也答对，继续答第 3 题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推当两人共计答完 20 道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第 n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为nP(120)n，其中11P，已知供甲乙回答的 20 道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是13，如果某位同学有机会答第 n 道题且回答正确则该同学加 10 分，答错（不答视为答错）则减 5 分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出回答下列问题（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由（2）求第二轮答题中2P，3P；求证12nP为等比数列，并求nP(120)n的表达式 21（12 分）已知对数函数()f x过定点1(,)2Pe(其中2.71828e),函数g(x)=nmf(x)f(x)（其中()fx为()f x的导函数，,n m为常数）（1）讨论()g x的单调性；（2）若对(0,)x 有()g xnm恒成立，且()()2h xg xxn在1212,()xx x xx处的导数相等，求证：12()()72ln2h xh x（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C：12cos2sinxy （为参数），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2)4sin(（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点)0,2(P，直线l交曲线C于A，B两点，求11PAPB的值23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数Rxxxxf,14)(（1）解不等式：5)(xf；（2）记)(xf的最小值为M，若实数ba,满足Mba22，试证明：32112122ba 公众号：卷洞洞数学参考答案 第 1 页（共 1 页）A 佳教育2020 年 3 月湖湘名校高三线上自主联合检测 理科数学 一、选择题（每题 5 分，共 60 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C B B C C A C A A B 4.【解析】对任意的，成立，所以2)()(,2)()(max2min1xfxfxfxf，所以12min21Txx，故选 B 5.【解析】222)(2)9,6xyEAC圆的方程为（过点 最长的弦长是直径，最短的2211-2,4,641222MEBDrMEBDS 弦是与垂直的弦，四边形的面积，故选 B6.【解析】设大正方形的边长为 1，区域 2 直角三角形的三边分别为,()a b ab，则,12cos1,12sin1ba则小正方形的面积为22()(cossin)1212Sba11 sin62，所以飞镖落在区域 1 的概率为12P，则估计飞镖落在区域 1 的枚数最有可能是1100502N 7.【解析】因为抛物线的准线与两条渐近线围成一个等腰直角三角形，所以两渐近线互相垂直，2,2)(1,122eabeab所以双曲线中一条渐近线的斜率，故选 C 8.【解析】10n 设通项为 Tk1Ck10 x10kak，令 10k7，k3，x7的系数为 C310a315，a318，a12.10.【解析】211 2sin1 cos22sinsincos2，倾斜角0,，故sin0,由图象可得,ACBACB或故2 2sin3,原式4 22sin3 ,选 A.12.【解析】解：11()axfxaxx,当0a或10ae时，()0fx 在1,xe恒成立，从而()f x在1,e单调递减，所以min()()13fxf eae，解得41(,aee，不合题意 当11ae时，易得()f x在1(1,)a单调递减，在1(,)ea单调递增，所以min11()()1 ln3fxfaa，解得21(,1)aee，不合题意 当1a 时，()f x在1,e单调递增，所以min()(1)31fxfa，满足题意。综上知3a。所以()3ln,1,f xxx xe所以min()(1)3fxf，max()()31fxf ee依题意有minmax(1)()()nfxfx，即(1)331,ne得23ne，又*nN,所以3n.从而n的最大值为 3.xR 12()f xf xf x公众号：卷洞洞数学参考答案 第 1 页（共 5 页）二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13、2 14、2【解析】ACasin5sin2,aca52，5ac因为2216)(bca，所以，6216222acbca，从而ABC 的面积为2)26(5412215、16 16、-2,112a【解析】(1)()2xfxe，曲线1C在0 x 处的切线的斜率1(0)3kf，()sing xax2C在2x处的切线的斜率2()12kga，依题意有2a.(2)曲线1C上任意一点处的切线的斜率1()2xkfxe,则与1l垂直的直线的斜率为11(0,)22xe，而过2C上一点处的切线的斜率2()sin1.1kg xaxaa依题意必有10112aa 解得112a三、解答题三、解答题（共共 7 70 0 分分）17.【解析】（I）由112(2)nnnaaan可知数列 na是等差数列，设公差为 d,因11a，由3412aa，得 d=2，4 分 所以 na的通项公式为：21()nannN6 分（）211111()(21)(23)4 2123nna annnn8 分所以数列21nna a的前 n 项和：11111111(1)()().()4537592123nsnn9 分1111(1)432123nn11 分 113(21)(23)nnn 12 分 18.【解析】（1）证明：因为PA平面 ABCD，AD平面 ABCD，所以PAAD1 分 又ABAD，PAABA，所以AD平面 PAB.2 分 公众号：卷洞洞数学参考答案 第 2 页（共 5 页）又AD平面 ADE，所以平面ADE 平面 PAB4 分 （2）建立如图空间直角坐标系5 分 则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(3,1,0),(3,0,0),(0,1,1)ABPCDF 6 分)2,2,0(,1PBADFADFPBAFPBPBAD的一个法向量为平面平面又）知由（.7 分 32(,)111132(,111PEECPEPCAEAPPE）分或的余弦值为二面角分则，令且且则的法向量为设平面12.41101034122210103,cos101010.).2,1,0(2-,1.00121130300),(2nPBEADFnzyxzyxxAEnADnzyxnADE 19.【解析】解：（1）由已知得2223,2,2cbabca 3 分 解得2 2a，2b，6c 4 分 所以，1C的方程为：22182xy 5 分 （2）假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为，ykxm公众号：卷洞洞数学参考答案 第 3 页（共 5 页）由得 6分，7 分 设，则，8 分，9 分 由得，即，即，11 分 故，代入（*）式解得232m 又，或12 分 20.【解析】（1）设甲选出的 3 道题答对的道数为，则2(3,)3B，设甲第一轮答题的总得分为x，则105(3)1515x，所以2151515 315153ExE 3 分（或法二：设甲的第一轮答题的总得分为x，则x的所有可能取值为 30,15,0，-15 且33328(30)()327P xC,2231 212(15)()3 327P xC,123126(0)()()3327P xC,03311(15)()327P xC，故得分为x的分布列为：x 30 15 0-15 P 827 1227 627 127 812130151515272727Ex.3 分）设乙的第一轮得分为y，则y的所有可能取值为 30,15,0 则，33351(30)10CP yC，2132356(15)10C CP yC，1232353(0)10C CP yC 故y的分布列为：y 30 15 0 P 110 610 310 故163015121010Ey 分5 分 22 182ykxmxy 22222418480,16 820*kxkmxmkm 1122,A x yB xy2121222848,4141kmmxxx xkk 2222121212122841mky ykxmkxmk x xkm xxmk22OAOBOAOBOAOB0OAOB 1 2120 x xy y228580km 228580km 2 105m 2 105m 公众号：卷洞洞数学参考答案 第 4 页（共 5 页）ExEy，所以第二轮最先开始答题的是甲。6 分（2）依题意知1211,3PP，31122533339P，7 分 依题意有1112(1)33nnnPPP11233nP(2)n9 分 1111()232nnPP ，(2)n10 分 又11122P 所以12nP是以12为首项以13为公比的等比数列11 分 1111()223nnP，1111()223nnP(120)n12 分 21.【解析】（1）令()logxaf x（0a 且1a），将定点1(,)2Pe代入得ae，所以()lnf xx1 分 得()lnmg xnxx，21()mg xxx2mxx（0 x）2 分 当0m时，()0g x 在0 x 时恒成立，即()g x在(0,)单调递减；3 分 当0m时()00g xxm，()0g xxm，即()g x在(0,)m单调递增，在(,)m 单调递减；综上：当0m时，()g x在(0,)单调递减；当0m时()g x在(0,)m单调递增，在(,)m 单调递减；5 分（2）因为(1)gnm，而(0,)x 有()(1)g xnmg恒成立知()g x 当 x=1 时有最大值(1)g，由（1）知必有 m=1，6 分 1()lng xnxx,1()()22lnh xg xxnxxx,7 分 依题意设12()()h xh xk即21122211201120kxxkxx 12111xx，8 分1212122xxx xx x1 24x x9 分 1212121211()()2()()(lnln)h xh xxxxxxx1 21 221 lnx xx x 10 分 令124tx x，()21 lnttt 公众号：卷洞洞数学参考答案 第 5 页（共 5 页）1()20(4)ttt()t在4t 单调递增11 分()(4)72ln2t12 分 22.【解析】曲线C的普通方程4)1(22yx，l的直角坐标方程02 yx 4 分 由已知，直线l的参数方程为222()22xttyt 为参数5 分 代入曲线 C：4)1(22yx化简，得0322tt，设 A,B 对应的参数分别为21,tt 则3,22121tttt 7 分 所以3144)(111121212212121212121t tt tttt tttttttttPBPA10 分 23.【解析】（1）5)(xf即514xx，由绝对值的几何意义可得：50 x 所以不等式的解集为：50 xx5 分（其他方法酌情给分）(2)因为3)1()4(14)(xxxxxf（当且仅当41 x等号成立）6 分 所以)(xf的最小值M=3，即322ba，7 分 等号成立），当且仅当所以21(326112212261)12212(61)1()2)(1121(11212222222222222222babaabbaabbababa 10 分 公众号：卷洞洞