立体几何与空间向量-高考必做题(详解版).pdf

立体几何与空间向量-高考必做题答案解析如图，四棱锥的底面是直角梯形，和是两个边长为的正三角形，为的中点，为的中点求证：平面；（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值（3）1证明过程见解析（1）证明过程见解析（2）（3）证明：设 为的中点，连接，则，四边形为正方形，为的中点，为的交点，（1）大海教育 在线1对1第1页(共44页)，在三角形中，平面；方法1：连接，为的中点，为中点，平面，平面，平面方法2：由（）知平面，又，所以过 分别做的平行线，以它们做轴，以为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：，则，平面，平面，平面；（2）设平面的法向量为，直线与平面所成角，则，即，解得，令，则平面的一个法向量为，又则，（3）第2页(共44页)大海教育 在线1对1考点直线与平面所成角的正弦值为立体几何与空间向量立体几何初步空间中的平行空间中的垂直空间向量空间向量及其运算空间向量的应用答案解析如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，且，为的中点求证:（1）求证:平面（2）求二面角的大小（3）2证明见解析（1）证明见解析（2）（3）平面，平面，（1）大海教育 在线1对1第3页(共44页)考点平面，平面，如图，连接，与相交于点，连接四边形是平行四边形，为的中点 为的中点，平面，平面，平面（2）如图，作，交于 点，则 为的中点，连接，则，平面，平面，从而，平面，是二面角的平面角，二面角的大小为（3）立体几何与空间向量立体几何初步三公理和三推论空间中的平行空间中的垂直第4页(共44页)大海教育 在线1对1答案解析考点在如图所示的棱长为 的正方体中，作与平面平行的截面，则截得的三角形中，面积最大的值是；截得的平面图形中，面积最大的值是312如图所示，截得的三角形中的面积最大，为边长为的等边三角形，面积为，截得的平面图形中，正六边形的面积最大，如图所示分别为各边中点，边长为，面积为故答案为；立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体如图，在棱长为 的正方体中，为的中点，点 在线段上点 到直线的距离的最小值为4大海教育 在线1对1第5页(共44页)答案解析如图所示，取的中点，连接，底面，四边形是矩形，又平面，平面平面直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离过点作平面平面平面过点作交于点，则取，连接，则四边形是矩形可得平面第6页(共44页)大海教育 在线1对1考点在中，得点 到直线的距离的最小值为故答案为：立体几何与空间向量立体几何初步点、直线、平面间的位置关系空间向量空间向量的应用答案解析如图，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是当时，为四边形；当时，为五边形；当时，为六边形；当时，为菱形5对于，如图所示大海教育 在线1对1第7页(共44页)考点当时，为中点，此时可得，截面为等腰梯形；当点 向 移动时，满足，只需在上取点满足，即可得截面为四边形，正确；对于，当时，如图所示，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，可证，由，可得，故可得，截面是五边形，正确；对于，由知当时，只需点 上移，此时的截面形状仍然为上图所示的五边形，错误；对于，当时，与重合，取的中点，连接，可证，且，可知截面为菱形，正确故答案为：立体几何与空间向量第8页(共44页)大海教育 在线1对1立体几何初步空间几何体点、直线、平面间的位置关系答案解析四棱锥中，底面是边长为 的菱形，且平面，点，分别是线段，上的中点，在上，且求证:平面（1）求直线与平面的成角的正弦值（2）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤（3）6证明见解析（1）（2）连接，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线（3）在中，因为点，分别是线段，上的中点，所以，因为平面，平面，所以平面（1）因为底面是边长为 的菱形，所以，（2）大海教育 在线1对1第9页(共44页)考点因为平面，所以，,如图，建立空间直角坐标系，则依题意可得，所以，设平面的法向量为，则由可得令可得因为，所以直线与平面的成角的正弦值为法1：延长，分别交，延长线于，连接，发现刚好过点，连接，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线法2：记平面与直线的交点为，设，则由可得所以即为点 所以连接，则四边形为平面与四棱锥的表面的交线（3）平面向量第10页(共44页)大海教育 在线1对1平面向量的基本概念向量的加法与减法平面向量的数量积数量积立体几何与空间向量立体几何初步点、直线、平面间的位置关系空间中的平行空间向量空间直角坐标系空间向量的应用答案解析在棱长为 的正方体中，点 是正方体棱上一点（不包括棱的端点），若，则满足条件的点 的个数为（1）若满足的点 的个数为，则的取值范围是（2）7（1）（2）如下图所示，,，以及，棱上面的点到，距离的情况是一致的，范围在之间，而另外六条棱上的点情况是一致的，以为例，当点在位置时，值最小是（1）大海教育 在线1对1第11页(共44页)考点当时，满足条件的在,，棱上各有一点；如果满足条件的点个数为，那么的取值范围是故答案为，（2）立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体点、直线、平面间的位置关系答案解析A.B.C.D.如图，动点 在正方体的对角线上过点 作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于，设，则函数的图象大致是（）8B设正方体的棱长为，显然，当 移动到对角线的中点 时，函数，取得唯一最大值，所以排除、；当 在上时，分别过、作底面的垂线，垂足分别为、，第12页(共44页)大海教育 在线1对1考点则是一次函数，所以排除 故选 函数与导数函数函数的概念与表示图象立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体答案解析考点A.函数的值域为B.数的最大值为C.函数在上单调递减D.函数满足如图，在空间四边形中，两条对角线，互相垂直，且长度分别为 和，平行于这两条对角线的平面与边，分别相交于点，记四边形的面积为，设，则()9D先证明出平行四边形是矩形，因为，所以，所以又因为，所以，所以所以矩形的面积，接下来研究这个二次函数的性质可知，正确函数与导数大海教育 在线1对1第13页(共44页)函数函数的概念与表示最值单调性对称性二次函数立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体点、直线、平面间的位置关系空间中的垂直答案解析如图，在边长为的正方形中，,分别为的中点，沿将矩形折起使得，如图 所示，点 在上，分别为中点求证：平面（1）求二面角的余弦值（2）10证明见解析（1）（2）法一：如图取中点，连结,，（1）第14页(共44页)大海教育 在线1对1则中位线且，又且,所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面法二：如图，延长交于点，连结，因为且，所以，为中点，所以中位线,又平面，面，所以平面法一：如图，因为，（2）大海教育 在线1对1第15页(共44页)所以，又所以，又，平面，面，,又，所以平面，面,，又为中点，所以，所以，所以平面，为二面角的平面角所以中，二面角的余弦值为法二：如图，又，又，平面，面，又，所以平面，面，第16页(共44页)大海教育 在线1对1考点建立如图所示的空间直角坐标系，则，而是平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，令，则，面的一个法向量为，所以，所以，二面角的余弦值为立体几何与空间向量立体几何初步点、直线、平面间的位置关系空间中的平行空间中的垂直空间向量空间直角坐标系空间向量及其运算空间向量的应用如图，正方体中，分别为棱，上的点 已知下列判断：11大海教育 在线1对1第17页(共44页)答案解析考点A.1个B.2个C.3个D.4个平面；在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；在平面内总存在与平面平行的直线；平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点 的位置有关，与点 的位置无关其中正确判断的个数有（）B对于平面，不一定成立，因为平面，而两个平面面与面不一定平行；对于在侧面上的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱，而 点在面上的投影到此棱的距离是定值，故正确；对于在平面内总存在与平面平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；对于平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点 的位置有关，与点的位置无关，此结论不对，与两者都有关系，可代入几个特殊点进行验证，如 与 重合，与 重合时的二面角与 与 重合，与 重合时的情况就不一样，故此命题不正确立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体第18页(共44页)大海教育 在线1对1点、直线、平面间的位置关系空间中的平行空间中的垂直答案解析如图,是边长为 的正方形，平面，与平面所成角为求证：平面（1）求二面角的余弦值（2）设点是线段上的一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论（3）12证明见解析（1）（2）点坐标为，证明见解析（3）证明：平面，平面，是正方形，又，平面（1）解：，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，（2）大海教育 在线1对1第19页(共44页)考点与平面所成角为，即，由，知，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，平面，为平面的法向量，又二面角为锐角，二面角的余弦值为点是线段上一个动点，设，则，平面，即，解得：，此时，点坐标为，（3）平面向量平面向量的基本定理及坐标表示第20页(共44页)大海教育 在线1对1平面向量的坐标运算用坐标表示平面向量共线的条件立体几何与空间向量立体几何初步点、直线、平面间的位置关系空间中的平行空间中的垂直空间向量空间向量及其运算空间向量的应用答案解析在空间直角坐标系中，四面体在，坐标平面上的一组正投影图像如图所示（坐标轴用细虚线表示）该四面体的体积是13该几何体还原如图所示，大海教育 在线1对1第21页(共44页)考点易得体积为立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体体积和表面积的计算三视图答案解析如图是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点求证：平面平面（1）若，求：二面角的余弦值（2）14答案见解析（1）答案见解析（2）由是圆的直径，得由平面，平面，得（1）第22页(共44页)大海教育 在线1对1考点又，平面，平面所以平面因为平面所以平面平面过 作，则平面以点 为坐标原点，分别以直线，为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系在中，又，故，设平面的法向量为，则，不妨令，则因为，设平面的法向量为，则，不妨令，则于是由图知二面角为锐角，故二面角的余弦值为（2）立体几何与空间向量大海教育 在线1对1第23页(共44页)立体几何初步空间中的垂直空间向量空间向量的应用答案解析已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A.存在某个位置，使得直线与直线垂直B.存在某个位置，使得直线与直线垂直C.存在某个位置，使得直线与直线垂直D.对任意位置，三直线“与”，“与”，“与”均不垂直15B如图，依题意，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则，平面，从而，与已知矛盾，故 错误；B 若存在某个位置，使得直线与直线垂直,则，平面平面，取中点，连接，则，就是二面角的平面角，此角显然存在，即当 在底面上的射影位于的中点时，直线与直线垂直，故 正确；第24页(共44页)大海教育 在线1对1考点C 若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则，从而，即 在底面上的射影位于线段上，审是不可能的，故 错误；由上所述可排除 立体几何与空间向量立体几何初步点、直线、平面间的位置关系空间中的平行空间中的垂直答案解析A.B.C.D.在长方体中，点为的中点，点 为对角线上的动点，点 为底面上的动点，（点可以重合），则的最小值为（）16C对角线上的动点 到底面上的 点的最小值为点 在底面上的投影，即直线上，所以选择确定点，点沿着线旋转，使得在一个平面上，过的中点做的垂线，垂足为，与的交点为，线段的长度为我们求的最小值由题意长方体，可得，则，另外，则，所以故答案为 大海教育 在线1对1第25页(共44页)考点三角函数与解三角形解三角形立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体点、直线、平面间的位置关系答案解析在半径为 的球内，有一个内接正三棱锥，它的底面上的三个顶点恰好在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三顶点后返回，则经过的最短路程是17由题意可知，球面上两点之间最短距离为大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，内接正三棱锥，它的地瞄三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，如图所示：第26页(共44页)大海教育 在线1对1考点动点从 到，再到，到 再回到，则经过的最短路径为：一个半圆和一个 圆，即立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体答案解析如图，三棱锥的顶点、都在同一球面上，过球心，且，是边长为等边三角形，点，分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为18因为且 为中点，所以，大海教育 在线1对1第27页(共44页)考点因为平面平面，由面面垂直的性质定理可得平面，即平面因为，所以为直角三角形，则，令，则，当且仅当，即时取等号故本题正确答案为不等式与线性规划均值不等式均值定理立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体体积和表面积的计算点、直线、平面间的位置关系空间中的垂直如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点 的轨迹是（）19第28页(共44页)大海教育 在线1对1答案解析考点A.线段B.圆弧C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分A（解法一）由于，所以，因此 为上的定点又，所以点 一定在线段的垂直平分面与底面的交线上，因此点 的轨迹是线段（解法二）设正方形的边长为，点 到和的距离分别为 和 由于，所以在中，由可得立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体点、直线、平面间的位置关系A.，B.，C.，D.，已知正方体，记过点 与三条直线，所成角都相等的直线条数为，过点 与三个平面，所成角都相等的直线的条数为，则下面结论正确的是（）20大海教育 在线1对1第29页(共44页)答案解析考点D以 为原点，所在直线分别为，轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，则，设过点 与三条直线，所成角都相等的直线的方向向量，根据题意则有，因此方向向量可以为，故；又因为平面，的法向量分别为，设过点 与三个平面，所成角都相等的直线的方向向量，则有，故故答案选D立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体点、直线、平面间的位置关系空间向量空间直角坐标系空间向量及其运算空间向量的应用21第30页(共44页)大海教育 在线1对1答案解析A.B.C.D.如图，在棱长为 的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面则线段长度的取值范围是（）B取的中点,的中点,连结，可以证明平面平面，所以点 位于线段上，把三角形拿到平面上，则有,，所以当点 位于时，最大，当 位于中点 时，最小，此时，所以，即，所以线段长度的取值范围是大海教育 在线1对1第31页(共44页)考点故答案为 立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体点、直线、平面间的位置关系空间中的平行答案解析A.B.C.D.如图所示，正方体的棱长为，分别是棱，的中点，过直线，的平面分别与棱，交于，设，给出以下四个命题：平面平面；当且仅当时，四边形的面积最小；四边形周长，是单调函数；四棱锥的体积为常函数；以上命题中假命题的序号为（）22C连接，第32页(共44页)大海教育 在线1对1在正方体中，平面，平面平面，正确；连接，平面，四边形的对角线是固定的，要使面积最小，只需的长度最小即可，此时为棱中点，长度最小，对应四边形的面积最小，正确；，四边形是菱形，当时，长度由大变小，当时，长度由小变大，函数不是单调函数，错误；连接，四棱锥分割成两个小三棱锥，以为底，分别以、为顶点，面积是个常数，、到平面的距离是个常数，大海教育 在线1对1第33页(共44页)考点四棱锥的体积为常函数，正确函数与导数函数值域定义域解析式最值单调性立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体体积和表面积的计算空间几何体空间中的垂直答案解析如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形,，分别为线段上的点若，则三棱锥体积的最小值为23第34页(共44页)大海教育 在线1对1考点,于是关键求的最小值。而为的外接圆直径，所以的最小值为，所以的最小值为立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体答案解析已知正方体的棱长为，动点 在正方体表面上运动，且，记点 的轨迹的长度为，则；关于 的方程的解的个数可以为（填上所有可能的值）2412，如图所示：当时，此时由一次函数的单调性可得：当时，在平面内，设以点 为圆心，为半径的圆弧与、分别交于点、，则，大海教育 在线1对1第35页(共44页)考点，；当时，综上所述：当时，；当时，；当时，根据以上解析式及图性和对称性可得的图象：由图象不难看出：函数与的交点个数分别为：，故答案为；，函数与导数函数值域定义域解析式函数的概念与表示图象函数与方程第36页(共44页)大海教育 在线1对1函数图象的交点函数的零点三角函数与解三角形三角函数任意角与弧度制三角函数的定义立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体解析几何曲线与方程答案解析A.B.C.D.在下列命题中：存在一个平面与正方体的条棱所成的角都相等；存在一个平面与正方体的 个面所成较小的二面角都相等；存在一条直线与正方体的条棱所成的角都相等；存在一条直线与正方体的 个面所成的角都相等其中真命题的个数为（）25D如图：平面满足题意，由共线向量的性质可知，平面与正方体的条棱所成的角只需验证该平面与 条棱（，）成角即可；平面的法向量，大海教育 在线1对1第37页(共44页)所以，该平面与 条棱（，）成角的正弦值分别为，满足题意；平面满足题意，平面与正方体的 个面所成较小的二面角只需验证该平面与 个平面（平面，平面，平面）成角即可；平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量，所以，该平面与 个平面（平面，平面，平面）所成较小的二面角的余弦值分别为，满足题意；如图：直线满足题意，由共线向量的性质可知，直线与正方体的条棱所成的角只需验证该直线与 条棱（，）成角即可；，所以，该直线与 条棱（，）成角的余弦值分别为，满足题意；直线满足题意，第38页(共44页)大海教育 在线1对1考点直线与正方体的 个面所成角只需验证该直线与 个平面（平面，平面，平面）成角即可；，平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量，所以，该直线与 个平面（平面，平面，平面）所成角的正弦值分别为，满足题意故答案选D立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体点、直线、平面间的位置关系空间向量空间直角坐标系空间向量及其运算答案解析A.B.C.D.正四棱柱的底面边长为，点是的中点，是平面内的一个动点，且满足，到和的距离相等，则点 的轨迹的长度为（）26D是平面内的一个动点大海教育 在线1对1第39页(共44页)考点并且 到和的距离相等，所以点 的轨迹是一条直线，又，所以 的轨迹是线段，其长为 如图：立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体点、直线、平面间的位置关系解析几何曲线与方程答案解析A.B.C.D.设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为，的直线给出下列三个结论：，使得是直角三角形；，使得是等边三角形；三条直线上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体其中，所有正确结论的序号是（）27B由条件，可以构造一个侧棱长度不限，底面边长为4,5,6的直三棱柱，设底面高为h正确在 上取,上取,以为直径做球体，可知必存在一球体可交 于，由球体性质可知是直角三角形；正确在 上取,上取,以中点O为圆心，以为半径并且所在面垂直于做圆变化长度，可知一定存在一圆可交 于，则是等边三角形；第40页(共44页)大海教育 在线1对1考点错误假设在 上，在 上，在 上，可知与直三棱柱的侧棱垂直，全等于，因为为直角三角形，与边长为4,5,6的形状矛盾，则此结论错误选答案B立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体点、直线、平面间的位置关系空间中的平行答案A.B.C.D.如图，四面体的三条棱两两垂直，,为四面体外一点给出下列命题不存在点,使四面体有三个面是直角三角形不存在点,使四面体是正三棱锥存在点,使与垂直并且相等存在无数个点,使点 在四面体的外接球面上其中真命题的序号是（）28D大海教育 在线1对1第41页(共44页)解析考点解：对于，当 为 关于平面的对称点时，四面体有三个面是直角三角形，故错误；对于，作等边三角形，以为轴旋转平面，使，此时四面体是正三棱锥，故错误；对于，当平面底面，且时，与垂直并且相等，故正确；对于，作四面体的外接球，在球上且在四面体外存在无数个点，故正确；故答案为D立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体空间中的平行空间中的垂直答案解析考点A.平面与平面垂直B.平面与平面所成的（锐）二面角为C.平面与平面平行D.平面与平面所成的（锐）二面角为在空间中，过点A作平面 的垂线，垂足为B，记设，是两个不同的平面，对空间任意一点，恒有，则（）29A略立体几何与空间向量立体几何初步点、直线、平面间的位置关系如图，是正方体对角线上一动点，设的长度为，若的面积为，则的图象大致是（）30第42页(共44页)大海教育 在线1对1答案解析考点A.B.C.D.A设正方体的棱长为，连接交于，连，则是等腰的高，故的面积为，在三角形中，画出其图像，如图所示，对照选项，A正确函数与导数函数函数的概念与表示大海教育 在线1对1第43页(共44页)图象立体几何与空间向量立体几何初步空间几何体第44页(共44页)大海教育 在线1对1