2020年高考数学（理）金榜冲刺卷（三）（解析版）.pdf

公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞 2020 年高考金榜冲刺卷（三）数学（理）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合那么集合为（）(,)2,(,)4,Mx y xyNx y xyMNABCD3,1xy 3,131，-3,1【答案】D【解析】由得所以，选 D.2,4xyxy3,1xy 3,1MN2 是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为()i12aiiaABCD221212【答案】A公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】,复数为纯虚数,1(1)(2)2(2)(2)aiaiiiii2(21)4aai2(21)42aai12aii，故选 A.20,2210aaa 3根据中国生态环境部公布的 2017 年、2018 年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图：则下列说法错误的是（）A2018 年的水质情况好于 2017 年的水质情况B2018 年与 2017 年相比较，、类水质的占比明显增加C2018 年与 2017 年相比较，占比减小幅度最大的是类水质D2018 年、类水质的占比超过60%【答案】C【解析】2018 年、类水质的占比明显超过 2017 年、类水质的占比，故 A 正确；2018 年、类水质的占比达到 60.4%，而 2017 年、类水质的占比为 46.4%，故 B 正确；2018 年与 2017 年相比较，占比减小幅度最大的是 III 类水质，故 C 错误；2018 年、类水质的占比达到 60.4%，超过，故60%D 正确.故选 C4函数的图像大致是（）1()cos1xxef xxe公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞ABCD【答案】A【解析】函数，可得，1cos1xxef xxe 11coscos11xxxxeefxxxf xee 函数是奇函数，排除 B，时，排除 D，时，对应2x02f6x66130621efe点在第四象限，排除 C.故选 A.5设双曲线 C:的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为 1，则双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A2BCD422 2【答案】B【解析】双曲线的两条渐近线互相垂直，渐近线方程为，2222:10,0 xyCababyx 顶点到一条渐近线的距离为 1，双曲线的方程为ab212a 2abC，焦点坐标为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为22122xy 2,0,2,0222d 6 海岛算经中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1 尺米），已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，则估算出该粮仓存0.33放的米约为()公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞A43 斛B45 斛C47 斛D49 斛【答案】D【解析】观察发现该几何体为圆台和圆柱的结合体，其体积为：（尺），则该粮仓存放的米约为（斛）.2221179262211333 793 1.62493 故选 D.7已知，若的任意一条对称轴与轴的交点横坐标都不属于1()sincos(,)4f xxxxR()f xx区间，则的取值范围是（）(2,3)AB3 1111 19,8 128 12155 3(,4 128 4CD3 77 11,8 128 121 39 17(,4 48 12【答案】C【解析】因为，所以由可得，()2sin()4f xx()2sin()24f xx 42xk其对称轴方程，由题设且，13()()4xkkZ13()2()4kkZ13()3()4kkZ公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞即且，也即且，解之得13()2()4kkZ13()3()4kkZ3()28kkZ1()34kkZ，故选 C.3 77 11,8 128 128条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常见的条形码是“”通用代码，它是由从左到右排列的个数字（用，表示）组成，这些数字13EAN 131a2a13a分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校验码，其中是校验码，用来校验前个数字代码的正13a12确性图（1）是计算第位校验码的程序框图，框图中符号表示不超过的最大整数（例如13 mm）现有一条形码如图（2）所示（），其中第个数被污损，那么这个被365.73653977107202551a3污损数字是（）3a ABCD9876公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【答案】B【解析】由程序框图可知，表示的结果为前项中所有偶数项之和；表示的结果为前项中所有奇S12T12数项之和，则：，77022523S 3391 70522Taa,，即：,333 232291Maa 131a9N33919110910aa且,当时，此时：30,9a 3aN3919.1,1010a30,9a 391910a，解得：,当时，此时：,391909a38a 39a 3911010a39110009a39a综上所述：,故选 B.38a 9函数在上满足，则曲线在点处的切线方程 f xR 22288f xfxxx yf x 1,1f是（）ABCDyx32yx23yx 21yx【答案】D【解析】，.2()2(2)88f xfxxx2(2)2()(2)8(2)8fxf xxx.将代入，2(2)2()44 1688fxf xxxx(2)fx2()2(2)88f xfxxx得，在处的切22()4()28888f xf xxxxx 2()f xx()2fxx()yf x(1,(1)f线斜率为，函数在处的切线方程为，即.所以答案为2y()yf x(1,(1)f12(1)yx 21yxD.10已知平面图形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线ABCD的同侧），且，则四边形面积的最大值为（）2,4,5,3ABBCCDDAABCDA B C D2 302 312 332 34公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【答案】A【解析】设，在中，由余弦定理可得，.ACxABC222242 2 4cos20 16cosxBB 在中，由余弦定理可得，即有，ACD222352 3 5cos3430cosxDD 15cos8cos7DB又四边形面积，即有，又ABCD112 4sin3 5sin22SBD 8sin15sin2BDS，两式两边平方可得.化简可得，15sin8sin7DB264225240 sin sincos cos494BDBDs，由于，即有，当即1cos1BD 2 30S cos1BD 时，解得.故的最大值为,故选 A.BD24240240S 2 30S S2 3011已知抛物线，过其焦点的直线 交抛物线于两点，若，且抛物2:2(0)C ypx pFl,A B3AFFB 线上存在点与轴上一点关于直线 对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）CMx(7,0)NlA4B5CD6112【答案】D【解析】设抛物线与的准线为，如图所示，当直线的倾斜角为锐角时，220ypx p:2plx AB分别过点作，垂足为，过点作交于点，,A B,AMl BMl,M NBBCAMC公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞则，,AMAFBNBF334AFBFAB12AMBNACAFBFAB在中，由，可得，轴，Rt ABC12ACAB60BAC/AMx60BACAFx，直线方程，由可得点的坐标：tan603ABk32pyx37373222MMMMyxyxP M,，代入抛物线的方程化简可得：，3742Mxp3(7)22Mpy234840pp6p该抛物线的焦点到准线的距离为，故选 D.612函数，当在上变化时，设关于的方程的不同实数解2()(3)xf xxemRx2212()()0fxmf xe的个数为，则的所有可能的值为（）nnA3 B1 或 3 C3 或 5 D1 或 3 或 5【答案】A【解析】因为,所以由方程可得或，且22480me 2212()()0fxmf xe1()f xt2()f xt,不妨设则，又因为1 22120t te 10t 221120te t，由得或，当22()2(3)(23)(1)(3)xxxxfxxexexxexxe()0fx3x 1x 时，函数在区间上单调递增，且，当时，3x ()0fx()f x(,3)()0f x 31x，所以函数在区间上单调递减，当时，所以函数在区间()0fx()f x(3,1)1x()0fx()f x上单调递增，且当(1,)32612()(3),()(1)2,()(),f xff xfe f xf xee 极大值极小值极大值极小值时，此时，由图象可知无解，有三个解;当时，12te 2360te1()f xt2()f xt12te，此时，由图象可知有一个解，有两个解，即方程共有三个解；当236te1()f xt2()f xt公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞时，此时，由图象可知有两个解，有一个解，方程有三个不同120et236te1()f xt2()f xt的解，综上所述，关于的方程共有三个不同的解.故选 A.x2212()()0fxmf xe二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知向量，若，则_1,3a,2bmaabm【答案】4【解析】由题意得，)，故答(11)abm，()aab1 30aabm 4m 案为414设变量满足约束条件，则的最大值是_.,x y2040440 xyxyxy21yx【答案】52【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示表示可行域内的点与点连线的斜率结合图形得，可行域内的点 A 与点连线的21yx(,)x y(1,2)(1,2)斜率最大由，解得所以点 A 的坐标为答案：4020 xyxy13xy(1,3)max2325()11 12yx公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞.5215，则_201201xnnnaa xa xa xdxx x12naaa【答案】1221nn【解析】将所给的等式两侧求导可得：，1201211nnnnaa xa xa xxnx x令 可得：，令 可得：，0 x 01a 1x 101222nnaaaan据此可得：.112221nnaaan16如图，三棱柱中，侧棱底面，111ABCABC1AA ABC，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点有下列12AA 2ABBC90ABCOE1BB判断：直线与直线是异面直线；一定不垂直于；三棱锥的体积为定值；AC1C E1AE1AC1EAAO的最小值为其中正确的序号是_1AEEC2 3【答案】【解析】对于，由于平面外一条直线与平面相交于一点，则此直线与平面内不过交点的直线互为异面直线，所以正确.对于，过作，交于.由于，所以平面1A11AEAB1BBE1,BCAB BCAABC，而，所以平面.所以，所以平面，所以11ABB A11/BCBC11BC 11ABB A111BCAE1AE 11ABC，所以错误.对于，由于两两垂直，所以三棱柱的外接球直径为（或）11AEAC1,BC BA BB1AC1AC公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，也即球心在与的交点处.由于,所以平面，所以动点到平面的1AC1AC11/BBAA1/BB1AAOE1AAO距离为定值，而三角形面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以正确.1AAO1EAAO对于，将两个半平面与展开成矩形（平面图形）,则的最小值为11BB A A11BBC C1AEEC.故正确.故答案为：.221111122 3ACAAAC三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(12 分）已知数列的前项和nan122nnSn（1）求数列的通项公式；na（2）设，求证：2log1)nnba（1 22 33 4111111nnbbb bb bb b【解析】(1)由，则.11222122nnnnSnSnn21nna 2n 当时，综上.1n 113aS21nna（2）由.22log1log 2nnnban 1 22 33 411111.nnbbb bb bb b1111.1 22 33 41n n公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞.得证.11111111.223341nn1111n 18(12 分）习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足千步的人为“不健康生活方式者”，4不少于千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校10名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：400（1）求名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）；400（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布，其中为样本平均数，2,N 标准差的近似值为，求该校被抽取的名教职工中日行步数（千步）的人数（结果四2.54002,4.5舍五入保留整数）；（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取人作为“日行万步”活动的慰2问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人元；“一般生活方式者”奖励0金额每人元；“超健康生活方式者”奖励金额每人元.求工会慰问奖励金额的分布列和数学期100200X望.附：若随机变量服从正态分布，2,N 则，.()0.6826P(22)0.9544P公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】（1）.0.04 1 0.08 30.16 50.44 7x 0.16 90.1 11 0.02 13 6.967（2），7,2.5N(4.59.5)0.6826P(212)0.9544P .(24.5)P1(212)2P(4.59.5)0.1359P走路步数的总人数为人.2,4.5400 0.135954（3）由题意知的可能取值为，X4003002001000，400P X 2220.120.0144C300P X 120.12 0.760.1824C ，200P X 120.12 0.12C2220.760.6064C，.100P X 120.12 0.760.1824C0P X 20.120.0144则的分布列为：XX0100200300400P0.01440.18240.60640.18240.0144 .400 0.0144300 0.1824EX 200 0.6064 100 0.18240 0.0144200 19(12 分）在四棱锥中，PABCD2 3BCBDDC2ADABPDPB（1）若点为的中点，求证：平面；EPC/BEPAD（2）当平面平面时，求二面角的余弦值PBD ABCDCPDB公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】(1)取的中点为，连结，.由已知得，为等边三角形，.CDMEMBMBCDBMCD，2ADAB2 3BD 30ADBABD，.又平面，平面，90ADC/BMADBM PADAD PAD平面.为的中点，为的中点，.BMPADEPCMCDEMPD又平面，平面，平面.EM PADPD PADEMPAD，平面平面.平面，平面.EMBMMBEMPADBE BEMBEPAD(2)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.ACBDOPOOBDACBDPOBD平面平面，平面，.PBD ABCDPOBDPO ABCD1POAO3CO 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.OOCxOxyz则(0，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一个法向量为.D3CPPBD110 0n，设平面的法向量为，则，PCD2nxyz，2nDC 2nDP 2200nDCnDP 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞，.令，得，33 0DC，031DP ，33030 xyyz3y 13xz ，2133n，.设二面角的大小为，则.121212113cos1313n nn nnn ，CPDB13cos1320(12 分）已知椭圆的左、右焦点分别为，.椭圆的长轴与焦距比为2222:1(0)xyCabab1F2FC，过的直线 与交于、两点.2:12(3 0)F,lCAB（1）当 的斜率为 时，求的面积；l11F AB（2）当线段的垂直平分线在轴上的截距最小时，求直线 的方程.AByl【解析】（1）依题意，因，又，得，2221ac3c 3 2a 29b 所以椭圆的方程为，设、，当时，直线：,将直线与C221189xy11,A x y22,B xy1k l3yx椭圆方程联立，消去得，解得，2211893xyyxx2230yy13y 21y 124yy所以.1121212F ABSFFyy16 4122 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（2）设直线 的斜率为，由题意可知，由，消去得lk0k 2211893xyyk xy，恒成立，222212121810kxk xk0 21221212kxxk设线段的中点，设线段的中点，则，AB00,H xy212026212xykxk0023312kyk xk设线段的垂直平分线与轴的交点为，则，得.ABy0,Dm1DHABkk 222312612kmkkk，整理得：，等号成立时.1k 2213mkk2331212kmkkk3 24 22k 故当截距最小为时，此时直线 的方程为.m3 2422k l230 xy21(12 分）已知函数，2(2)1lnf xxaxxaR（1）试判断函数的单调性；()f x（2）是否存在实数，使函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由a()f x0a【解析】（1）由题可得，函数的定义域为，()f x(0,)21(1)1axxxafxxx 当时，所以函数在上单调递增0a 1()0fxxx()f x(0,)当时，令，即，即，0a()0fx 210axxx210axx 14a 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞当，即时，故，所以函数在上单调递增0 14a210axx()0fx()f x(0,)当，即时，方程的两个实根分别为，14a 210axx 11142axa21142axa若，则，此时，所以函数在上单调递增；104a10 x 20 x()0fx()f x(0,)若，则，此时当时，当时，0a 10 x 20 x 2(0,)xx()0fx 2(,)xx()0fx 所以函数在上单调递增，在上单调递减()f x114(0,)2aa12)1,4(aa综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在单调递0a()f x(0,)0a()f x114(0,)2aa增，在上单调递减12)1,4(aa（2）由（1）可得，当时，函数在上单调递增，故函数无极值；0a()f x(0,)()f x当时，函数在上单调递增，在上单调递减，0a()f x114(0,)2aa12)1,4(aa此时函数有极大值，极大值为，其中()f x222221ln()2f xaxxx21142axa又，所以，即，所以2()0f x22210axx 2221axx2221l2)n(xf xx令，则，所以函数在上单调递增1ln(2)xh xx11(2)0h xx()h x(0,)又，所以当时，所以等价于，(1)0h1x()0h x 222()1ln02xf xx21x公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞即当时，即，显然当时，所以0a 11412aa1421aa0a 14|21|aa，即，解得，214(21)aa220aa02a故存在满足条件的实数，使函数的极值大于，此时实数的取值范围为a()f x0a(0,2)(二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22【极坐标与参数方程】（10 分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为xOyx1Ccos4（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标M1CPOM16OMOPP2C方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值A2,3B2CABO【解析】（1）设 P 的极坐标为（）（0），M 的极坐标为（）由题设知|OP|=，,1,10=.OM14cos由|OP|=16 得的极坐标方程OM 2C4cos0（）因此的直角坐标方程为.2C22x2y40 x（）（2）设点 B 的极坐标为（）.由题设知|OA|=2，于是OAB 面积,B0B4cosB13SAOB4cos|sin|2|sin2|232332BOAsin公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞当时，S 取得最大值.所以OAB 面积的最大值为.12 232323【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）已知关于的不等式对恒成立x|2|3|xxmxR（1）求实数的最小值；m（2）若，为正实数，为实数的最小值，且，求证：abckm11123kabc239abc【解析】（1）由，对恒成立，|1|2|(1)(2)|1xxxx|1|2|xxmxR，最大值为 11m m（2）由（1）知，即，1k 111123abc11123(23)()23abcabcabc223332332aabbccbcacab当且仅当时等号成立，2323322292332abacbcbacacb23abc239abc公众号：卷洞洞