精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理数试题解析（解析版）.doc

河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理科 数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合中至少有3个元素，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质. 2. 若，则等于（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：由得，所以，故选C. 考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算. 3. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A．5 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【解析】 试题分析：由题意可知，每层悬挂的灯数从上到下依次构成比差数列，公比为，设顶层的灯数为，则，解之得，故选D.[来源:Z&xx&k.Com] 考点：1.数学文化；2.等比数列的性质与求和. 4. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A． B． C. D． 【答案】C 考点：双曲线的标准议程与几何性质. 5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A．4 B．9 C.7 D．5 【答案】B 【解析】 试题分析：模拟算法，开始：输入； 不成立；[来源:学,科,网] 不成立； 不成立； 成立； 输出，结束得算法.故选B. 考点：程序框图. 6. 已知函数的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 C.函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增 【答案】D 考点：三角函数的图象和性质. 7. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题： ①； ②函数是偶函数； ③任意一个非零有理数，对任意恒成立； ④存在三个点，使得为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ） A．4 B．3 C.2 D．1 【答案】A 考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性；3.分段函数的表示与求值. 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．10 B．20 C.40 D．60 【答案】B 【解析】 试题分析：由三视图可知该几何体的直观图如下图所示，且三角形是以角为直角的直角三角形，,从而,又，且平面，故四边形中边长为的正方形，过作于，由易知平面，在直角三角形中可求得，从而,故选B. 考点：1.三视图；2.多面体和体积.学科网 9. 已知、是椭圆长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率分别为，若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ） A．1 B． C. D． 【答案】A 考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.基本不等式；3.斜率公式. 【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质、基本不等式、斜率公式，属中档题；双曲线的标准方程与几何性质是高考的热点，特别是双曲线的性质，几乎每年均有涉及，主要以选择题、填空题为主，解题时，应利用图形，挖掘题目中的隐含条件，结合图形求解. 10. 在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ） A．36 B． C. D． 【答案】A [来源:学+科+网] 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.轨迹方程的求法；3.多面体的体积. 11. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C. D． 【答案】B 【解析】 试题分析：在同一坐标系内作出函数与函数和图象，通过图象可知，当直线绕着原点从轴旋转到与图中直线重合时，符合题意，当时，，设直线与函数的切点为，则，解之得，所以直线的斜率，所以的取值范围为，故选B. 考点：1.函数与不等式；2.导数的几何意义. 【名师点睛】本题考查函数与不等式、导数的几何意义，属中档题；导数的几何意义是每年高考的必考内容，利用导数解决不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的范围；或参变分离，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；或通过数列结合解题. 12. 已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点（在轴上方），满足，，则以为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ） A． B． C. D． 【答案】C 考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；2.圆的标准方程. 【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、圆的标准方程，属难题；在解抛物线有关问题时，凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般要运用定义转化为到准线的距离处理；抛物线的焦点弦一直是高考的热点，对于焦点弦的性质应牢固掌握. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 若、满足约束条件，则的最大值为 ． 【答案】 考点：线性规划. 14. 在中，，若为外接圆的圆心（即满足），则的值为 ． 【答案】 考点：数量积的几何运算. 【名师点睛】本题考查数量积的几何运算，属中档题；平面向量的数量积有两种运算，一是依据长度与夹角，即数量积的几何意义运算，一是利用坐标运算，本题充分利用向量线性运算的几何意义与数量积的几何意义进行运算，运算量不大，考查子学生逻辑思维能力，体现了数形结合的数学思想. 15. 已知数列的各项均为正数，，若数列的前项和为5，则 ． 【答案】 【解析】 试题分析：数列的前项和为 ，所以， 又，所以，由此可得，即应填. 考点：1.数列求和；2.累和法求数列通项. 【名师点睛】本题考查数列求和，累和法求数列通项，属中档题；由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用. 16. 过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线的准线的的交点为，点在抛物线的准线上的射影为，若，则抛物线的方程为 ． 【答案】 考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.向量数量积的几何意义. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分） 在中，内角、、所对的边分别为，已知. （1）求的值； （2）求的面积. 【答案】（1）；（2）. 试题解析：（1）在中，，因为，所以，即 ，又，∴. （2）由（1）知，从而. 因此，.所以 ， 所以的面积为. 考点：1.正弦定理；2.三角恒等变换；3.三角形内角和与三角形面积公式.学科网 【名师点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换、三角形内角和与三角形面积公式，属中档题. 正、余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用正弦定理解决一类已知三角形两边及一角对边求其它元素，或已知两边及一边对角求其它元素的问题，这时要讨论三角形解的个数问题；利用余弦定理可以快捷求第三边直接运用余弦定理解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边. 18. （本小题满分12分） 如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，，平面平面. （1）求证：； （2）设点、分别是，的中点，试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； （3）求二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 平面；(3) . 试题解析：（1）连接，在正方形中，， 因为平面平面，平面平面，平面，所以 平面，因为平面，所以. 在菱形中，，因为面，平面，，所以 平面，因为平面，所以. （2）平面，理由如下： 取的中点，连接、，因为是的中点，所以，且，因为是 的中点，所以. 在正方形中，，所以，且. ∴四边形为平行四边形，所以. 因为，， 所以. （3）在平面内过点作， 由（1）可知：，以点为坐标原点，分别以、所在的直线为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则. 在菱形中，，所以，. 设平面的一个法向量为. 因为即， 所以即， 由（1）可知：是平面的一个法向量. 所以， 所以二面角的余弦值为. 考点：1.面面垂直的判定与性质；2.线面平行、垂直的判定与性质；3.空间向量的应用. 【名师点睛】本题考查.面面垂直的判定与性质、线面平行、垂直的判定与性质及空间向量的应用，属中档题；解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解.此时建立恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键所在. 19. （本小题满分12分） 如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于，. （1）若点在第一象限，且直线，互相垂直，求圆的方程； （2）若直线，的斜率存在，并记为，求的值； （3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）. 试题解析：（1）由圆的方程知圆的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即 ① 又点在椭圆上，所以 ② 联立①②，解得，所以，所求圆的方程为． （2）因为直线和都与圆相切，所以， ，化简得，因为点在椭圆上，所以，即 ，所以． （3）方法一（1）当直线、不落在坐标轴上时，设，， 由（2）知，所以，故，因为，，在椭圆上，所以，， 即，，所以， 整理得，所以， 所以. （2）当直线、落在坐标轴上时，显然有. 综上：. 考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.圆的标准方程；3.直线与圆的位置关系.学科网 20. （本小题满分12分） 设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过与垂直的直线交轴负半轴于点，且. （1）求椭圆的离心率； （2）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程； （3）过的直线与（2）中椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2) ；（3）的内切圆的面积的最大值为，此时直线的方程为. （3）设的内切圆的半径为，则的周长为，由此可得，设直线的方程为，与椭圆方程联立得，由根与系数关系代入，换元令，转化为，可知当时，有最大值，从而求出内切圆面积的最大值与相应的直线方程即可. 试题解析：（1）由题，为的中点.设，则， ，，由题，即， ∴即，∴. （2）由题外接圆圆心为斜边的中点，半径， ∵由题外接圆与直线相切，∴，即，即， ∴，，，故所求的椭圆的方程为. （3）设，，由题异号， 设的内切圆的半径为，则的周长为， ， 因此要使内切圆的面积最大，只需最大，此时也最大， ， 由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为， 由得， 由韦达定理得，，（） ， 令，则，， 当时，有最大值3，此时，，， 故的内切圆的面积的最大值为，此时直线的方程为. 考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系. 21. （本小题满分12分） 已知，设函数. （1）存在，使得是在上的最大值，求的取值范围； （2）对任意恒成立时，的最大值为1，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) . (2)，构造函数，道的最大值为，等价于在区间上恒成立，由于，则，此时恒成立，即在区间上单调递增，符合题意. 试题解析：（1）， ①当时，在上单调递增，在单调递减，在单调递增， ∴，由，得在时无解， ②当时，不合题意； ③当时，在单调递增，在递减，在单调递增， ∴即，∴， ④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件， 综上所述：时，存在，使得是在上的最大值. ∴，满足条件，∴的取值范围是. 考点：1.导数与函数的单调性、极值，最值；2.函数与不等式. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知圆锥曲线（为参数）和定点，、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线的直角坐标方程； （2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值. 【答案】(1) ；（2）. 试题解析：（1）曲线可化为， 其轨迹为椭圆，焦点为，. 经过和的直线方程为，即. （2）由（1）知，直线的斜率为，因为，所以的斜率为，倾斜角为， 所以的参数方程为(为参数). 代入椭圆的方程中，得. 因为在点的两侧，所以. 考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直线参数方程的应用.[来源:学_科_网] 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设. （1）解不等式； （2）若存在实数满足，试求实数的取值范围. 【答案】(1) ；（2） 【解析】 试题分析：（1）由绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数表示成分段函数的形式，作出函数的图象，数形结合可得到不等式的解集；（2）在同一坐标系内作出函数与函数的图象，数形结合可求出的范围. （2）函数的图象是过点的直线， 当且仅当函数与直线有公共点时，存在题设的. 由图象知，的取值范围为. 考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示与作图；3.函数与不等式. 20