精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理）试题（解析版）.doc

2017-2018学年度上学期高三年级七调考试 数学（理科）试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，全集，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】,所以,故选C. 2. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. -2 B. 4 C. D. -4 【答案】B 【解析】,虚部为,故选B. 3. 已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】依题意可知,所以. 4. 如图，5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ） A. 相关系数变大 B. 残差平方和变大 C. 相关指数变大 D. 解释变量与预报变量的相关性变强 【答案】B 【解析】依据线性相关的有关知识可知：去掉数据后相关系数变大；相关指数也变大；同时解释变量与预报变量的相关性也变强，相应的残差平方和变小，故应选答案C。 5. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由椭圆上存在点，使可得以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点， ∴， ∴，∴ ∴。 由， ∴，即椭圆离心率的取值范围为。选B。 点睛：求椭圆离心率或其范围的方法 (1)求出a，b，c的值，由直接求． (2)列出含有a，b，c的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解． 6. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】将四面体放在如图正方体中，得到如图四面体，得到如图的左视图，故选B. 7. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由于,故排除选项.,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除选项.,排除选项,故选B. 8. 更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入，，则输出的值是（ ） A. 68 B. 17 C. 34 D. 36 【答案】C 【解析】依据题设中提供的算法流程图可知：当 时，，此时，则；这时，，此时，，这时，输出，运算程序结束，应选答案C。 点睛：本题的求解要充分借助题设的算法流程图中提供的算法规则，按照程序中提供的算法步骤进行操作和运算，最终求出算法程序结束时输出的结论是。 9. 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,,故函数在区间上递增,,,故函数在上递减.所以,解得,故选B. 10. 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于，广告的总播放时长不少于，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ） A. 6，3 B. 5，2 C. 4，5 D. 2，7 【答案】A 【解析】依题意得,目标函数为,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值.故选A. 11. 已知在正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图，设正四面体的棱长是1，则，高，设点在底面内的射影是，则，所以即为所求异面直线所成角，则，应选答案B。 点睛：解答本题的关键是依据异面直线所成角的定义，先找出异面直线与 所成的角，再运用解直角三角形的知识求出，从而使得问题巧妙获解。 12. 已知，，其中，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】,,故,或,解得或.故选D. 【点睛】本小题主要考查数量积的坐标运算,考查利用辅助角公式进行三角函数式子的化简合并,考查函数零点个数的问题,考查运算求解能力.首先利用两个向量数量积的坐标运算,将题目所给向量的数量积表达式求解出来,用辅助角公式合并后结合函数的周期和零点列出不等式,求解得的取值范围. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 如图，在半径为2的扇形中，，为弧上的一点，若，则的值为__________． 【答案】 【解析】因为,所以 以O为坐标原点,OA为x轴建系，则 14. 若从区间（为自然对数的底数，）内随机选取两个数，则这两个数之积小于的概率为__________． 【答案】 【解析】设，由，得，所以所求概率． 点睛： (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． （3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 15. 已知在中，角，，的对边分别为，，，则下列四个论断中正确的是__________．（把你认为是正确论断的序号都写上） ①若，则； ②若，，，则满足条件的三角形共有两个； ③若，，成等差数列，，，成等比数列，则为正三角形； ④若，，的面积，则. 【答案】①③ 【解析】对于①,由正弦定理得,即,故,所以正确.对于②,由余弦定理得解得,故有唯一解,所以错误.对于③.由正弦定理得,而,所以为正三角形,所以正确.对于④:根据面积公式有,此时角应该对应两个解,一个钝角一个锐角,故错误.综上所述①③正确. 【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查同角三角函数的基本关系式,考查解三角形解的个数的判断和三角形的面积公式.第一问,由于两边的数量都是有一个,故可以考查用正弦定理将边转化为角.第三问是利用正弦定理将角转化为边,在边角互化的过程中要注意对称性. 16. 设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】画出图形如下图所示。 由椭圆的定义可知：。 ∵，∴， ∴。 ∵， ∴，∴。 在中，由余弦定理可得：, 在中，由余弦定理可得：。 ∵，∴， ∴,整理得， ∴。 答案：。 点睛：本题考查椭圆的离心率的求解，解决问题的关键是画出图形，由题意和椭圆的定义和已知关系并结合余弦定理，分别在和中得到关于a和c的等式；然后由可得，综合两式可得，进而由离心率的定义可求得答案。本题运算量较大，需要学生由较高的处理数据的能力。 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列的前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）.（2）. 【解析】【试题分析】(1)利用求得数列的通项公式.(2)利用错位相减求和法求得数列的前项和. 【试题解析】 （1）当时，，所以； 当时，，则， 即.又因为，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）得，所以， ① ， ② ②①，得 ， 所以. 18. 如图，在四棱柱中，底面是梯形，，侧面为菱形，. （1）求证：. （2）若，，在平面内的射影恰为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析.（2）. 【解析】试题分析：（1）考虑用向量法来证明，即计算来证明.具体方法是将转化为同起点的向量，即，利用，可求得；（2）设线段的中点为以射线射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值为. 试题解析： （1）解一：因为侧面为菱形，所以，又，所以，，． （2）设线段的中点为，连接，由题意知平面，因为侧面为菱形，所以，故可分别以射线射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系。 设，由可知，所以，从而，所以． 由可得，所以． 设平面的一个法向量为，由，得取，则，所以．又平面的法向量为，所以． 考点：空间向量证明垂直与求二面角. 19. 某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的所有岗位共分为，，三类工种，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）. （1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的，试分别确定各类工种每份保单保费的上限； （2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全体职工购买此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润. 【答案】（1）6.25元，12.5元，62.5元. （2）55000（元）. 【解析】试题分析：（I）设工种每份保单的保费，则需赔付时，收入为，根据概率分布可计算出保费的期望值为，令解得.同理可求得工种保费的期望值；（II）按照每个工种的人数计算出份数然后乘以（1）得到的期望值，即为总的利润. 试题解析： （Ⅰ）设工种的每份保单保费为元，设保险公司每单的收益为随机变量，则的分布列为 保险公司期望收益为 根据规则 解得元， 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元， 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元. （Ⅱ）购买类产品的份数为份， 购买类产品的份数为份， 购买类产品的份数为份， 企业支付的总保费为 元， 保险公司在这宗交易中的期望利润为元. 20. 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为.一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，且点在轴的同一侧. （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）是否存在题设中的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）..（2）. 【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得 ，再结合离心率为 ，解出，，由双曲线的顶点是该椭圆的焦点，得,再根据实轴长等于虚轴长得（2）设P点坐标，利用点斜式表示直线AB,CD方程,利用韦达定理及弦长公式求；根据椭圆性质确定直线AB,CD斜率关系，根据焦点三角形求向量夹角，综合条件可解得P点坐标 试题解析：解：（1）由题意知，椭圆离心率为 ，得，又 ，所以可解得， ，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为 （2）设，则，在双曲线上，，设 方程为， 的方程为，设，则 ， ， 同理，， 由题知， ，. ， ,. 点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法. 21. 已知函数，函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式在区间内恒成立，求实数的取值范围； （3）若，求证不等式成立. 【答案】（1）见解析.（2）.（3）见解析. 【解析】试题分析：对函数求导，讨论，确定单调区间和单调性；作差构造新函数，利用导数 判断函数的单调性，根据不等式恒成立条件，求出的范围；借助第二步的结论，证明不等式. 试题解析： （Ⅰ） ， 当时，增区间，无减区间 当时，增区间，减区间 （Ⅱ） 即在上恒成立 设，考虑到 ，在上为增函数 ，当时， 在上为增函数，恒成立 当时，， 在上为增函数 ，在上，，递减， ，这时不合题意， 综上所述， （Ⅲ）要证明在上， 只需证明 由（Ⅱ）当a=0时，在上，恒成立 再令 在上，，递增，所以 即，相加，得 所以原不等式成立. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，(为参数). （1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程； （2）设直线与曲线交于两点，求. 【答案】（1）..（2）1. 学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网... 【试题解析】 （1）由，得， 令，，得. 因为，消去得， 所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为. （2）点的直角坐标为，点在直线上. 设直线的参数方程为，（为参数），代入，得. 设点对应的参数分别为，，则，， 所以 . 23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数，. （1）求不等式的解集； （2）若，，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或.（2）. 【解析】【试题分析】(1)利用零点分段法去绝对值,将转化为分段函数来求得不等式的解集.(2)依题意有,对分类讨论函数的最小值,由此得到的取值范围. 【试题解析】 （1），即，此不等式等价于或或，解得或，所以的解集为或. （2）因为，，使得成立， 所以.又，所以. 当，即时，，解得，所以； 当，即时，，解得，所以； 当，即时，，解得或， 所以或.综上，实数的取值范围为.