精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三下学期第六次调研考试理数试题解析（解析版）.doc

第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若为纯虚数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】法一：，若其为纯虚数，则，解得. 法二：因为为纯虚数，设为纯虚数，设（为实数）， 则则，且，则.选B. 2.已知全集，集合，集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，若，则. 选D. 3.甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 4.已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率. 方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为. 选A. 5.已知成等差数列，成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D.或 【答案】B 考点：1、等差数列的性质；2、等比数列的性质. 6.执行如图所示的框图，若输出的的值为，则条件框中应填写的是（ ） A． B． C. D． 【答案】C 【解析】，故选. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.学科网 7.已知的展开式中，系数为有理数的项的个数为（ ） A． B． C. D． 【答案】D 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数. 8.如图，网格上小正方形的边长为，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球表面上，则球的表面积是（ ） A． B． C. D． 【答案】C 【解析】 [来源:学*科*网Z*X*X*K] 根据三视图知几何体是：三棱锥为棱长为的正方体一部分，直观图如图所示：该多面体的所有顶点都在球，且球心是正方体的中心，由正方体的性质得，球心到平面的距离，由正方体的性质可得，,设的外接圆的半径为，在中，由余弦定理得，,，则，由正弦定理可得，，则，则球的半径，球的表面积. 选C. 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 9.已知锐角满足，设，则下列判断正确的是（ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】解：若锐角满足，则，即；同理可得这与矛盾，故锐角满足，即且，，单调递减， 故选：. 10.以抛物线的一点为直角顶点作抛物线的两个内接，则线段与线段的交点的坐标为（ ） A． B． C. D． 【答案】B 【解析】设，则，的方程为因为，所以带入上式可得于是在直线上，同理点也在上，因为交点为.故选：. 11.将单位正方体放置在水平桌面上（一面与桌面完全接触），沿其一条棱翻动一次后，使得正方体的另一面与桌面完全接触，称一次翻转。如图，正方体的顶点，经任意翻转三次后，点与其终结位置的直线距离不可能为（ ） A． B． C. D． 【答案】B 考点：几何体翻转 12.已知为函数的导函数，且，若，则方程有且仅有一个根时，的取值范围是（ ） A． B． C. D． 【答案】C 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.[来源:学科网] 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.如图，是半径为的圆的两条直径，,则的值是 ． 【答案】 【解析】, 且. 14.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为“格点”，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为“阶格点函数”，下列函数中是“一阶格点函数”的有 ． ① ② ③ ④ ⑤ 【答案】② 15.已知实数x,y满足，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 ． 【答案】9 【解析】 设五个数分别为,则等差数列的公差 ,则 ,可设 ,由约束条件画出可行域,令 ,得 ,结合图像可知当经过点 时,目标函数有最大值 ,此时 有最大值.故本题填. 点睛:本题为线性规划问题.掌握常见的几种目标函数的最值的求法:①利用截距的几何意义;②利用斜率的几何意义;③利用距离的几何意义.往往是根据题中给出的不等式,求出的可行域,利用的条件约束,做出图形.数形结合求得目标函数的最值. 16.各项均为正数的数列首项为，且满足，公差不为零的等差数列的前项和为，，且成等比数列设，求数列的前项和 ． 【答案】[来源:学科网] . 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，,点在边上，，且 . （1）若的面积为，求； （2）若，求. 【答案】（1）（2）或. 试题解析：解：（1）因为，即，又，所以. 在中，由余弦定理得，，解得. （2）在中，，可设，则，又，由正弦定理，有，所以.在中，，由正弦定理得，，即， 化简得，于是， 因为，所以， 所以或， 解得或，故或. 18.如图所示，五面体中，正的边长为，平面,,且 （1）设与平面所成的角为，，若，求k的取值范围； （2）在（1）和条件下，当取得最大值时，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（1）先根据线面垂直确定线面角：取中点，则由正三角形性质得，又由面，得，因此面，所以为与平面所成角，再根据，由，求k的取值范围；（2）先作二面角平面角：延长交与点，计算易得，根据三垂线定理可知，即为平面与平面所成的角；最后利用直角三角形求余弦值为.学科网 试题解析：解：方法一： （Ⅱ）延长交与点，连，可知平面. 由，且，又因为从而， 又面,由三垂线定理可知，即为平面与平面所成的角； 则. 方法二：（Ⅰ）如图以为坐标原点，为轴，垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系（如图），则设，取的中点，则，易知，的一个法向量为，由题意,由，则，得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，最大值为，则当时，设平面法向量为，则 ，取，又平面法向量为，，平面与平面所成角余弦值为. 19.中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口断井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表： 井号 坐标 钻探深度 出油量 （1）～号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为，求，并估计的预报值； （2）现准备勘探新井，若通过号并计算出的的值（精确到）与（1）中的值差不超过，则使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？ （参考公式和计算结果：） （3）设出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有口井中任意勘探口井，求勘探优质井数的分布列与数学期望. 【答案】（1）24（2）使用位置最接近的已有旧井.（3） 【解析】试题分析：（1）先求平均值，再根据求，再求当时对应函数值为的预 报值；（2）先求平均值，再根据求，利用求，最后计算比值差，根据结果确定选择.（3）根据定义确定这口井是优质井，因此随机变量取值为，再利用组合求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.学科网 （Ⅱ）， ，即 ，均不超过，使用位置最接近的已有旧井. （Ⅲ）由题意，这口井是优质井，这两口井是非优质井，勘察优质井数的可能取值为，，可得 的分布列为： X 2 3 4 p . 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度. 20. 已知抛物线的方程为，点为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，曲线在一点的法线即与该点切线垂直的直线。 （1）若点的法线被抛物线所截的线段最短，求点坐标； （2）任意一条和轴平行的直线交曲线于点，关于在点Q的法线对称的直线为，直线通过一个定点，求定点坐标. 【答案】（1）见解析（2） 试题解析：解：（1）把 代入抛物线方程，解得， 抛物线方程为，设切点为， 显然点不为原点，在点处的法线方程为， 即， 消元得 ， 法线被抛物线截得的线段的长度为， （2）设直线：，其关于法线对称的直线为，[来源:学#科#网] 设与抛物线的交点交轴的点为，切线交轴的点为， 由于平行于轴，且与关于法线对称， 由此可以推出，因此为等腰三角形， 于是，从而，化简得， 所以，对称直线都过定点. 21.已知函数 . （1）若在处，和图象的切线平行，求的值； （2）设函数，讨论函数零点的个数. 【答案】（1）（2）见解析 【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得解得，（2）按正负讨论函数单调性及值域：当时，在单增，, 没有零点; 当时，有唯一的零点; 当时，在上单调递减，在上单调递增，;在单增，，所以时有个零点；时有个零点.学科网 （2）当时，显然有唯一的零点 （3）当时，设， 令有，故在上单调递增，在上单调递减， 所以，，即 在上单调递减，在上单调递增，（当且仅当等号成立）有两个根（当时只有一个根） 在单增，令为减函数， 故只有一个根. 时有个零点；时有个零点；时有个零点；时有个零点；时，有个零点. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），曲线的上点对应的参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线，直线的参数方程为 （1）说明曲线是哪种曲线，并将曲线转化为极坐标方程； （2）求曲线上的点到直线的距离的最小值. 【答案】（1），（2）[来源:学科网ZXXK] 【解析】试题分析：（1）先由对应的参数得，解得，再代入得，根据三角函数同角关系：消参数得普通方程，最后利用 将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）根据 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用参数方程表示点到直线距离公式得，最后利用三角函数有界性求最值. （2）直线的普通方程为，点到直线的方程距离为所以最小值为 23.选修4-5：不等式选讲已知函数 （1）求的解集； （2）若对任意的，都存在一个使得，求的取值范围. 【答案】（1）（2）或. （2）依题意可得 所以，解之得或.