精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底考试数学（理）试题（解析版）.doc

河北衡水中学2016-2017学年度 高三下学期数学第三次摸底考试（理科） 必考部分 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ,选D. 2. ，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设 ,则 ,选A. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 3. 数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前5项和等于 （ ） A. B. 41 C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以 ，选A. 4. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】由题意得渐近线斜率为 ，即 ，选D. 5. 在中，“ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】时，，所以必要性成立； 时，，所以充分性不成立，选B. 6. 已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A学|科|网... 【解析】由题意得 ，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为 ）： ，而 ，所以直线过C取最大值 ，过B点取最小值， 的取值范围是，选A. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 7. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高 ，因此底面积为 ，即底面为等腰直角三角形，直角边长为2，周长为 ，选C. 8. 20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数 ，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 无法确定 【答案】B 【解析】由题意得 ；，因此输入正整数的所有可能值的个数为4，选B. 9. 的展开式中各项系数的和为16，则展开式中 项的系数为（ ） A. B. C. 57 D. 33 【答案】A 【解析】由题意得 ,所以展开式中 项的系数为 ,选A. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数. 10. 数列为非常数列，满足：，且对任何的正整数都成立，则的值为（ ） A. 1475 B. 1425 C. 1325 D. 1275 【答案】B 【解析】因为，所以，即，所以,叠加得,，,即从第三项起成等差数列，设公差为 ，因为，所以解得，即 ，所以 ，满足， ，选B. 11. 已知向量 满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】因为所以 ；因为，所以 学|科|网... 的最大值与最小值之和为，选C. 12. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为偶函数满足，所以 ， 因为关于的不等式在上有且只有200个整数解，所以关于的不等式在上有且只有2个整数解，因为 ，所以 在 上单调递增，且，在 上单调递减，且，因此，只需在上有且只有2个整数解，因为 ，所以 ，选C. 点睛： 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上 13. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示： 价格 8.5 9 9.5 10 10.5 销售量 12 11 9 7 6 由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则__________． 【答案】39.4 【解析】 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点. 14. 将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以 学|科|网... 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数. 15. 已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60°，则四面体的体积为__________． 【答案】6 【解析】设平面ABC与平面交线为CE，取 ,则 16. 已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为__________． 【答案】 【解析】因为，所以 因此，所以 因为 ，所以 ，因此 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，已知关于边的对称图形为，延长边交于点，且， . （1）求边的长； （2）求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（1）先由同角三角函数关系及二倍角公式求出．再由余弦定理求出，最后根据角平分线性质定理得边的长；（2）先由余弦定理求出，再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求的值. 试题解析：解：（1）因为，所以，所以． 因为， 所以， 所以，又，所以． （2）由（1）知， 所以， 所以，因为， 所以， 所以 ．学|科|网... 18. 如图，已知圆锥和圆柱的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆半径为，为圆锥的母线，为圆柱的母线，为下底面圆上的两点，且，，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面，即有，最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面；（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解 试题解析：解：（1）依题易知，圆锥的高为，又圆柱的高为， 所以， 因为，所以， 连接，易知三点共线，， 所以， 所以， 解得，又因为，圆的直径为10，圆心在内， 所以易知，所以． 因为平面，所以，因为，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． （2）如图，以为原点，、所在的直线为轴，建立空间直角坐标系． 则． 所以， 设平面的法向理为， 所以，令，则． 可取平面的一个法向量为， 所以， 所以二面角的正弦值为． 19. 如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为． （1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率； （2）求的分布列和数学期望． 【答案】（1）（2）学|科|网... 【解析】试题分析：（1）根据等可能性知每次赢、平、输的概率皆为．再分两种情况分别计数：一种是小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；另一种是小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，逆推确定事件数及对应划拳的次数，最后利用互斥事件概率加法公式求概率，（2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望. 试题解析：解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第次划拳小华赢”为；事件“第 次划拳小华平”为；事件“第 次划拳小华输”为，所以． 因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况： 第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平； 其概率为， 第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输， 其概率为 所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为． （2）依题可知的可能取值为2、3、4、5， ， ， ， 所以的分布列为： 2 3 4 5 所以的数学期望为： ． 20. 如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点． （1）求椭圆的离心率； （2）若，求． 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组：，解方程组可得，，再根据离心率定义求椭圆的离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求． 试题解析：解：（1）依题知， 解得，所以椭圆的离心率； （2）依题知圆的圆心为原点，半径为， 所以原点到直线的距离为， 因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为． 所以直线的方程为，即， 所以，解得或． ①当时，此时直线的方程为， 所以的值为点纵坐标的两倍，即； ②当时，直线的方程为， 将它代入椭圆的方程，消去并整理，得， 设点坐标为，所以，解得， 所以． 点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法. 21. 已知函数，其中为自然对数的底数．（参考数据： ） （1）讨论函数的单调性； （2）若时，函数有三个零点，分别记为，证明：． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析：（1）先求函数导数,根据参数a讨论：当时，是常数函数，没有单调性．当时，先减后增；当时，先增后减；（2）先化简方程，整体设元转化为一元二次方程：．其中，再利用导数研究函数的图像，根据图像确定根的取值范围，进而可证不等式. 试题解析：解：（1）因为的定义域为实数， 所以． ①当时，是常数函数，没有单调性． ②当时，由，得；由，得． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． ③当时，由得，； 由，得，学|科|网... 所以函数在上单调递减，在上单调递增． （2）因为， 所以，即． 令，则有，即． 设方程的根为，则， 所以是方程的根． 由（1）知在单调递增，在上单调递减． 且当时，，当时，， 如图，依据题意，不妨取，所以， 因为， 易知，要证，即证． 所以，又函数在上单调递增， 所以，所以． 选考部分 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且． （1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程； （2）求证：为定值． 【答案】（1）,（2） 【解析】试题分析：（1）根据点斜式可得直线的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得，类似可得，相加即得结论. 试题解析：解：（1）因为直线的倾斜角为，且经过点， 当时，直线垂直于轴，所以其一般方程为， 当时，直线的斜率为，所以其方程为， 即一般方程为． 因为的极坐标方程为，所以， 因为，所以． 所以曲线的标准方程为． （2）设直线的参数方程为（为参数），学|科|网... 代入曲线的标准方程为， 可得，即， 则， 所以， 同理， 所以． 23. 选修4-5：不等式选讲 已知实数满足． （1）求的取值范围； （2）若，求证：． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】试题分析：（1）因为，所以，又，即得的取值范围； （2）因为，而，即证. 试题解析：解：（1）因为，所以． ①当时，，解得，即； ②当时，，解得 ，即， 所以，则， 而， 所以，即； （2）由（1）知， 因为 当且仅当时取等号， 所以 ．