精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期第二次调研考试理数试题解析（解析版）.doc

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.是的共轭复数，若为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：设，依题意有，故. 考点：复数概念及运算． 2.已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 试题分析：投影为. 考点：向量概念及运算． 3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长 安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先 至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ） A． 日 B．日 C． 日 D．日 【答案】D 【解析】 试题分析：设日相逢，，解得. 考点：实际应用问题，相遇问题，数列求和． 4.已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 5.动点满足，点为为原点，，则的最大值是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：依题意，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点取得最大值为. 考点：向量，线性规划． 6.如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（ ） A． B． [来源:Z。xx。k.Com] C． D． 【答案】C 考点：三视图． 7.已知函数是奇函数，其中,则函数的 图象（ ） A．关于点对称 B．可由函数的图象向右平移个单位得到 C．可由函数的图象向左平移个单位得到 D．可由函数的图象向左平移个单位得到 【答案】C 【解析】 考点：三角函数图象变换． 8.中，若，则（ ） A． B． C．是直角三角形 D．或 【答案】D 【解析】 试题分析：由三角形内角和定理，得，化简得，所以是直角三角形或者. 考点：解三角形． 9.已知数列满足，若， 且数列是单调递增数列，則实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：取倒数，得，故，故，. 考点：数列与不等式． 10.如图，正方形中，是的中点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 考点：向量运算． 11.已知函数，在处取得极大值，记,程序框图如图所示， 若输出的结果，则判断框中可以填人的关于的判断条件是（ ） A．？ B．？ C．？ D．？ 【答案】B 【解析】 试题分析：，程序框图的作用是求其前项和，由于，故再循环一次就满足，故填. 考点：算法与程序框图． 【思路点晴】本题考查裂项相消法，把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.[来源:Z。xx。k.Com] 12.已知满足，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 考点：数列求和． 【思路点晴】本题可用特殊值法迅速得到答案.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的．若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令，则两式错位相减并整理即得. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.数列满足：，且对任意的都有：，则 ． 【答案】 【解析】 试题分析：令，，令，，故. 考点：数列的基本概念，合情推理与演绎推理．[来源:Zxxk.Com] 14.在中，，则的 值为 ． 【答案】 【解析】 考点：向量运算． 15.在中,角、、所对的边分别为、、，，且， 则面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】 试题分析：，，，，外接圆直径为，由图可知，当在垂直平分线上时，面积取得最大值.设高，则由相交弦定理有，解得，故最大面积为. 考点：解三角形． 16.已知方程有个不同的实数根，則实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 试题分析：定义域为，令，这是一个偶函数，我们只需研究上的零点即可，此时，当时，函数单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当时，函数在区间上单调增，在区间上单调减，要有两个零点，只需，解得. 考点：函数图象与性质，零点问题． 【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，函数图象与性质，函数的奇偶性，函数的单调性，数形结合的数学思想方法，分类讨论的数学思想方法.此类题目有两种方法，一种是分离参数，但是本题分离参数法处理起来很麻烦，可以直接讨论，也就是先根据奇偶性，简化题目，然后根据导数画出函数的草图，讨论之后可得到的范围. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在中,角、、所对的边分别为、、,且 . （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 试题解析： （1）由正弦定理可得，,从而可得 ,又为三角形的内角, 所以,于是,又为三角形的内角, 因此. （2）,由可知, ,从而,因此,故的取值范围为. 考点：解三角形． 18.（本小题满分12分）设数列的前和为，. （1）求证：数列为等差数列, 并分别写出和关于的表达式； （2）是否存在自然数,使得？若存在,求出的值; 若不存在, 请说 明理由； （3）设,若不等式,对 恒成立, 求的最大值. 【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）. 【解析】 试题解析： （1）由,得,相减得. 故数列是以为首项, 以公差的等差数列.. （2）由（1）知, ,由 ,得,即存在满足条件的自然数. （3） 故符合条件的最大值为. 考点：数列的基本概念，数列求和，不等式． 19.（本小题满分12分）如图, 以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴交于点,点在单 位圆上, 且. （1）求的值； （2）若四边形是平行四边形. ①当在单位圆上运动时，求点的轨迹方程； ②设,点,且,求关于的函数的解析式, 并求 其单调增区间. 【答案】（1）；（2）①；②，增区间为和. 【解析】 试题分析：（1）由三角函数定义得，由齐次方程可计算的结果为；（2）①设中点为,,则,又,代入上式得点的轨迹方程；②依题意得，又由①知，，，代入正弦的单调区间，求得增区间为和. 试题解析： （1）由三角函数定义得,所以. （2）四边形是平行四边形, 所以与互相平分. ①设中点为,,则,又,代入上式得点的轨迹方程. 和. 考点：解三角形，轨迹方程，参数方程，三角恒等变换． 20.（本小题满分12分）已知函数. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）已知,当时, 有两个扱值 点,且,求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1）由已知可得在上恒成立,分离参数得，求右边函数的最大值为，故；（2），求导得，写出根与系数关系.化简，令换元后，利用导数可求得其最小值为. 试题解析： . 令, , ,单调递减, . 考点：函数导数与不等式． 21.（本小题满分12分）在单调递增数列中, ,且成等差数 列, 成等比数列，. （1）①求证：数列为等差数列； ②求数列通项公式； （2）设数列的前项和为,证明:. 【答案】（1）①证明见解析；②当为偶数时,当为奇数时；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）①根据等差中项和等比中项有，化简得，所以数列为等差数列；②由①得首项为公差为，所以，即，结合可得,因此,当为偶数时,当为奇数时；（2），另外，，故，所以，利用裂项求和法求得. 试题解析： （1）①因为数列单调递增数列,, 由题意 成等差数列, 成等比数列得. ,于是 , 化简得 , 所以数列为等差数列. ②又,所以数列的首项为,公差为,从而.结合可得,因此, 当为偶数时,当为奇数时. （2）求数列通项公式为:, 因为,所以, 则有. 考点：数列与不等式． 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图, 是圆上两点, 延长至点,满足,过作直线与圆相切于点 的平分线交于点. [来源:学。科。网] （1）证明:； （2）求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 试题解析： （1）由题可,, 故,故. （2）因为与分别为圆的切线和割线, 所以,得,又因为直线与圆相切于点,则,则,则,故. 考点：几何证明选讲． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程[来源:学科网] 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线上的点对应 的参数与曲线交于点. （1）求曲线,的普通方程； （2）是曲线上的两点, 求的值. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 试题解析： （1）将及时对应的参数,, 代入得, 所以的方程为,设圆的半径,则圆的方程为(或),将点代入得: 圆的方程为:( 或). （2）设曲线的方程为,将代入得,,所以. 考点：极坐标与参数方程． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知. （1）求证:； （2）若对任意实数都成立, 求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 试题分析：（1）利用零点分段法，按三个零点分段去掉绝对值，可求得最小值为，得证；（2）由（1）知: 的最大值等于 ,,“=” 成立,, 即当时, 取得最小值,当时,, 又因为对任意实数都成立, 所以,的取值范围. 考点：不等式选讲．